高中数学 1-4 条件概率、乘法公式.doc

1.4条件概率、乘法公式一、条件概率二、乘法定理三、全概率公式与贝叶斯公式四、小结一、条件概率1. 引例 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反 两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”,事 件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已 经发生的条件下事件 B 发生的概率.分析 设 H 为正面 , HT为反面TT }. 2 1 4 2 事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 P ( B A), 则 P( B A { HH , HT ,TH }, B { HH ,TT }, P( B) .S { HH , TH , .A)1 31 4 3 4P( AB) P( A)≠ P( B).2. 定义设 A, B 是两个事件 ,且 P( A) 0,称P( B A)P( AB) P( A)为在事件 A 发生的条件下事件 B发生的条件概率.同理可得P( A B)P( AB) P( B)为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.3. 性质(1) 非负性 : P ( B A)≥ 0;(2) 规范性 : P ( S B) 1, P(∅ B) 0;(3) P(A U A2 B) P(A B) P(A2 B)− P(A A2 B);(4) P ( A B) 1− P( A B)., B件 , 则有⎝ i1⎠ i1(5)可列可加性 : 设 B1 2 , L是两两不相容的事1 1 1⎛∞⎞ P⎜⎜ U Bi A⎟⎟∑ P ( Bi A).∞二、 乘法定理设 P( A) 0, 则有 P( AB) P( B A)P( A).设 A, B, C 为事件,且 P( AB) 0, 则有P( ABC ) P (C AB)P( B A)P( A).推广 设 A1 , A2 ,L, An 为 n 个事件, n≥ 2,且 P( A1 A2 L An−1 ) 0, 则有P( A1 A2 L An ) P ( An A1 A2 L An−1 )P( An−1 A1 A2 L An− 2 ) L P ( A2 A1 )P( A1 ).例1 一盒子装有4 只产品, 其中有3 只一等品、1只 二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽 样. 设事件A为“第一次取到的是一等品” 、事件B 为 “第二次取到的是一等品”．试求条件概率 P(B|A).解 将产品编号, 1, 2, 3 为一等品 ; 4 号为二等品 .以 (i , j ) 表示第一次、第二次分 别取到第 i 号、第j 号产品, 则试验的样本空间为S {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4) ,L,(4,1), (4,2), (4,3)}, .A {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4),(3,1), (3,2), (3,4)},AB {(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)},由条件概率的公式得P( B A)P( AB) P( A)6 12 9 122 3例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 解设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,则有P( B A)P( AB) P( A).因为 P( A) 0.8, P( B) 0.4,P( AB) P ( B), 所以 P( B A) .P( AB) P( A)0.4 1 0.8 2抓阄是否与次序有关?例3 五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字， 三个阄内不写字 ，五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?解 设 Ai 表示“第 i 人抓到有字阄”的事件 ,i 1,2,3,4,5.2 5则有 P ( A1 ) ,2 2 1 1P( A ) P( A S) P( A2 I ( A U A )) P( A A U A A ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 ) P ( A1 )P ( A2 A1 ) P ( A1 )P( A2 A1 )2 1 3 2 5 4 5 42 5P ( A3 ) P ( A3 S ) P ( A3 ( A1 A2 U A1 A2 U A1 A2 ))1 2 1 2 , P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A )P( A2 A )P( A3 A A2 ) P( A )P( A2 A )P( A3 A A2 ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )2 3 1 3 2 1 3 2 2 5 4 3 5 4 3 5 4 3故 抓 阄 与 次 序 无 关.2 51 1 1 1 1 1 ,依此类推 P( A4 ) P( A5 ) .2 5摸球试验例4 设袋中装有 r 只红球、t 只白球.每次自袋中任取一只球 , 观察其颜色然后放回 , 并再放入 a只与所取出的那只球同色 的球, 若在袋中连续取球四次, 试求第一、二次取到红 球且第三、四次取到白球的概率 .解 设 Ai (i 1,2,3,4) 为事件“第 i 次取到红球”则 A3 、 A4 为事件第三、四次取到白球 .⋅⋅⋅因此所求概率为P ( A1 A2 A3 A4 ) P( A4 A1 A2 A3 )P ( A3 A1 A2 )P( A2 A1 )P( A1 )t a t r a r r t 3a r t 2a r t a r t.此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.例5 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时 打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落 下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未 打破的概率.解 以Ai (i 1,2,3)表示事件“透镜第 i 次落下打破“,以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.因为 B A1 A2 A3 ,所以 P( B) P( A1 A2 A3 ) P( A3 A1 A2 )P( A2 A1 )P( A1 ))(1− ) (1−910)(1−7 101 23200.三、全概率公式与贝叶斯公式1. 样本空间的划分, BE 的一组事件 ,若(i) Bi B j∅, i≠ j, i , j 1, 2,L, n;(ii) B1 U B2 U L U Bn S . , B B3定义 设 S 为试验E的样本空间, B1 2 ,L, Bn 为则称 B1 2 ,L, Bn 为样本空间 S 的一个划分 .B 2B1L B n− 1 B n2. 全概率公式定理设试验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件 ,B1 , B2 ,L , Bn为 S 的一个划分 ,且 P ( Bi ) 0(i1, 2,L , n), 则P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) L  P ( A Bn ) P ( Bn )全概率公式证明A AS A I ( B1 U B2 U L U Bn ) AB1 U AB2 U L U ABn .由 Bi B j∅⇒ ( ABi )( AB j )∅⇒ P( A) P( AB1 ) P( AB2 ) L P( ABn ) P(AB )P(B ) P(AB2)P(B2)L P(ABn)P(Bn).图示B2B3AL Bn−11 1B1Bn化整为 零 各个击 破说明 全概率公式的主要用处在于它 可以将一个复杂事件的概率计算问题, 分解为若干个简单事件的概率计算问 题,最后应用概率的可加性求出最终 结果.B2 AB1B3L Bn−1Bn例6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂 生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生 产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别 为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件 是次品的概率是多少?解设事件 A 为“任取一件为次品”,事件 Bi 为“任取一件为 i 厂的产品 ” , i 1, 2, 3.B1 U B2 U B3 S ,Bi B j∅, i , j 1,2,3.30% 2%1%1%50%20%S由全概率公式得P(A) P(AB )P(B ) P(AB2)P(B2) P(AB3)P(B3).P ( B1 ) 0.3, P ( B2 ) 0.5, P ( B3 ) 0.2,P( A B1 ) 0.02, P( A B2 ) 0.01, P( A B3 ) 0.01,故 P(A) P(AB )P(B ) P(AB2)P(B2) P(AB3)P(B3)1 11 1 0.02 0.3 0.01 0.5 0.01 0.2 0.013 .∑j1 P ( A B j j )3. 贝叶斯公式定理设试验 E 的样本空间为 S . A为 E的事件 , B1B2 ,L, Bn 为 S 的一个划分 ,且 P ( A) 0, P ( Bi ) 0,(i 1,2,L, n), 则P ( Bi A)nP ( A Bi ) P ( Bi )) P ( B, i 1,2,L, n.称此为贝叶斯公式.∑j1 P ( A B j j )证明P( Bi A)P( Bi A) P( A)nP ( A Bi ) P ( Bi )) P ( B, i 1,2,L, n.例7 某电子设备制造厂所用 的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下 的数据 : 元件制造厂1 2 3次品率0.02 0.01 0.03提供元件的份额0.15 0.80 0.05设这三家工厂的产品在 仓库中是均匀混合的 ,且无区别的标志.(1) 在仓库中随机地取一只 元件 ,求它是次品的概率;(2) 在仓库中随机地取一只 元件 , 若已知取到的是次品, 为分析此次品出自何厂 , 需求出此次品由三家工厂生产的概率分别 是多少 . 试求这些概率 .解 设 A 表示“取到的是一只次品”, Bi (i 1,2,3)表示“所取到的产品是由第 i 家工厂提供的”.则B1 , B2 , B3 是样本空间 S 的一个划分 , 且P ( B1 ) 0.15,P( B2 ) 0.80,P( B3 ) 0.05,P ( A B1 ) 0.02, P( A B2 ) 0.01, P ( A B3 ) 0.03.(1) 由全概率公式得P( A) P( A B1 )P(B1 ) P( A B2 )P(B2 ) P( A B3 )P(B3 ) 0.0125.(2) 由贝叶斯公式得P( B1 A)P( A B1 )P( B1 ) P( A)0. 02 0. 15 0.0125 0.24.P( B2 A)P( B3 A)P ( A B2 。