2015高考数学（四川卷）评析(定稿).doc

注重基础与能力 突出方法和思想——2015年高考数学（四川卷）评析2015年高考数学试卷，遵循《考试大纲》及《考试说明（四川版）》要求，与近年来试题风格一致，切合当前数学教学实际，体现课程改革理念，符合高考考试性质，在平稳推进的基础上有所创新．试题设计立足于学科核心和主干，充分体现数学的科学价值和人文价值，将知识、能力和素质融为一体，深化能力立意，强化知识交汇，重点考查支撑数学学科体系的内容，充分考查基础知识、基本方法、基本思想，深入考查考生的运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力、空间想象能力、应用意识和创新意识，突出考查数学思维、数学思想方法，合理考查学生的探究意识和学习潜能．全卷难度设置符合高中学生数学学习现状，重视教材考基础，突出思维考能力，体现课改考探究，展现了数学的抽象性、逻辑性、应用性和创造性，突出试题的基础性、综合性、原创性和选拔性，试卷布局合理、层次分明，问题设计科学、表述规范，有利于准确测试不同层次考生的学习水平．一、基本数据科类理科文科年份2014年2015年2014年2015年选择题1-1036.3663732.59933填空题11-1512.39413.136512.0698.9792167.1929.347.9575.87177.6549.514.2337.10186.34810.635.0827.24195.2963.802.6113.25203.355.042.3143.29212.7291.951.561.34解答题合计32.56940.264723.75728.0897全卷合计81.32990.4068.42670.07分数段理科人数文科人数0分20883565135分282524424710分650455408315分1108995177120分570532432225分92703030合计291402233966二、总体特点1．重视教材与基础，突出核心内容试题高度重视教材价值的挖掘与联系，有的题目直接由教材的例题或习题改编，有的问题产生于教材背景．文理科1-8、11-13、6-19等题源于教材，又高于教材，充分发挥了教材在理解数学、理解教学等方面的价值．全卷重视基础知识的全面考查，覆盖了整个高中数学的所有知识板块；试题设计立足于高中数学的核心和主干，对高中数学中的函数与导数、三角函数、概率统计、解析几何、立体几何、数列、向量、不等式等进行了重点考查．理科4、8、9、13、15、21，文科4、5、8、15、21等题，全面考查函数概念、性质等基础知识；理科5、10、20，文科7、10、20等题，考查直线、圆、圆锥曲线的方程及其简单应用，是解析几何的基础和主体内容；理科14、18题考查空间线面关系和面面夹角的计算，文科14、18题考查空间线面关系、三视图和体积的计算；理科17题，文科3、17题，考查概率统计相关知识；文理科16题，考查数列相关知识；文科3题考查分层抽样的概念，需要考生认识其本质属性；理科14题考查空间线线角的计算，如果概念不清，即使运算无误也不能获得正确结果．例 (理科13) 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间设计192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 小时.例 (文理科18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N．(Ⅰ) 请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；(Ⅱ) 证明：直线MN∥平面BDH；(Ⅲ) 求二面角A－EG－M的余弦值．例 （理科19）如图，A，B，C，D为平面四边形的四个内角．(Ⅰ) 证明：；(Ⅱ) 若，，，求的值．例 （理科14）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 .以A为坐标原点，，，方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz．设AB=1，QM=m (0≤m≤1)，则．易知，EP⊥AF．过E作AF的平行线与DA的延长线相交于N，连接NQ．设AB=4，则AN=1，且，，．所以 ．从而易得答案．问题背景：正方体，线面角，线线角；线段，直线．(2014年理科8)如图，在正方体-中，点O为线段BD的中点．设点P段CC1上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是(A) (B) (C) (D) 法一：如图，可以证明，平面AA1C1C⊥平面A1BD．当P是线段CC1的中点P0时，，=；当P段C1P0上时，，；当P段P0C上时，，，所以的取值范围是．答案为(B)．法二：设棱长为1，CP=x，分别以DA，DC，DD1的方向为x，y，z轴的方向建立直角坐标系，则面的一个法向量为，，＝ ()，令，则，由，得或，可知当时，有最大值1，当时，有最小值．2．注重能力与方法，强化数学思维试卷以能力立意设计试题，多角度、多层次地考查了运算求解能力、推理论证能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力、应用意识和创新意识．在此基础上，特别突出了对数学思维的全面、深刻考查，大量题目充分考查了观察、联想、类比、猜想、估算等数学思维方法与能力，对函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、特殊与一般等数学思想进行了全面考查．理科15、16、21题，文科15、21题，既考查了几何直观、联想、猜想、估算等直觉思维，又要求考生进行精确计算、严密推理；理科13、17题，文科8、17题，考查了运算求解能力、应用意识；文理科15题，考查了直觉猜想、抽象概括、推理论证和创新意识，对数学思维进行了全面考查，其特点是运算量小、思维量大；文理科16-21等题重点考查运算求解能力和推理论证能力；文理科20、21题，要求考生具备高水平的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数学探究意识和创新意识，考查了多种数学思想与方法．全卷注重考查学生对数学基本概念、重要定理等的理解与应用，注意控制和减少繁琐的运算．理科7、9、10、14、15、20、21题，文科7、9、10、14、15、21等题，如果灵活运用数形结合、化归与转化、特殊与一般等数学思想，就可简化解题过程、避免繁琐运算；文理科15题，虽然思维要求高，但在深刻理解问题本质的基础上，运用函数与方程、数形结合思想解答，并不需要特殊技巧与复杂运算．例 （理科5）过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则(A) （B） （C）6 （D）（理科7）设四边形ABCD为平行四边形，，．若点M，N满足，，则（A）20 （B）15 （C）9 （D）6（理科8）设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（A）充要条件 （B）充分不必要条件（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件（理科9）如果函数 在区间上单调递减，那么mn的最大值为（A）16 （B）18 （C）25 （D）（理科12）的值是 .3．关注探究与创新，体现课改理念试卷从学科整体和思维价值的高度设置问题情境，注重知识间的内在联系与交汇；通过适当增强试题的综合性，分层次设置试题难度，能更好地体现考试的选拔功能．理科9题涉及函数单调性、线性规划与基本不等式，文理科10题联系抛物线、圆、圆的切线和数形结合思想，具有较强的综合性和一定的难度；理科19题综合三角恒等变换与解三角形，立意鲜明、情境新颖、形式优美，考查考生思维的灵活性；文理科21题，以对数函数、二次函数、导数、函数零点、不等式等知识为载体，考查考生综合运用数学知识、数学方法、数学思想的能力．试题设计紧密结合数学学科特点，通过对探究意识、应用意识和创新意识的考查，充分体现了课程改革理念．文理科10、15、20、21等题考查了探究意识，考生需要深入分析问题情境，从特殊到一般、从直观到抽象进行不同侧面的探究，并合理运用相应的数学方法和思想才能准确、迅速解答．理科20题要求考生探究定点是否存在，若假设定点坐标直接求解则有不少运算障碍；若通过特殊情形的解决，寻求一般的、运动变化的问题的解决思路和方法，对具体的对象进行抽象概括，完成解答则相对简单．理科13、17，文科8、17等题以考生熟悉的现实生活背景考查考生提炼数量关系、将现实问题转化为数学问题并构造数学模型加以解决的能力，体现了应用意识和实践能力的考查特点．文理21题展示了数学学科的抽象性和严谨性，要求考生具有高层次的理性思维，考生解答时可以采用“联系几何直观—探索解题思路—提出合情猜想—构造辅助函数—结合估算精算—进行推理证明”的思路，整个解答过程与数学研究的过程基本一致，能较好地促进考生在数学学习的过程中掌握数学知识、探究数学问题和发现数学规律．例 （理科10）设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（A） （B） （C） （D）例 （理科15） 已知函数，（其中）．对于不相等的实数，设，．现有如下命题：① 对于任意不相等的实数，都有；② 对于任意的a及任意不相等的实数，都有；③ 对于任意的a，存在不相等的实数，使得；④ 对于任意的a，存在不相等的实数，使得．其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）．三、教学反思1．关注课程改革的深化，关注数学教学的发展2．分析全国卷的特点与规律① 双向细目表的对比2014年四川卷与全国卷2015年四川卷与全国卷② 部分试题（知识点）的考查对比（四川卷理科7）设四边形ABCD为平行四边形，，．若点M，N满足，，则（A）20 （B）15 （C）9 （D）6（全国卷1理科7）设D为△ABC所在平面内一点，且，则（A） （B）（C） （D）（四川卷理科9）如果函数 在区间上单调递减，那么mn的最大值为（A）16 （B）18 （C）25 （D）（四川卷文科9）设实数x，y满足 则xy的最大值为（A） （B） （C）12 （D）16（全国卷1理科15）若x，y满足约束条件则z= 的最大值为__________.（全国卷2理科14）若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为__________.（四川卷理科16）设数列()的前n项和满足，且，，成等差数列．(Ⅰ) 求数列的通项公式；(Ⅱ) 记数列的前n项和为，求使得成立的n的最小值．（全国卷1理科17）设为数列的前n项和．已知，且．（Ⅰ）求通项公式：（Ⅱ）设，求数列的前n项和．（四川卷理科19）如图，A，B，C，D为平面四边形的四个内角．(Ⅰ) 证明：；(Ⅱ) 若，，，求的值．2014新课程卷Ⅱ文科第17题：已知四边形的内角与互补，，，．（Ⅰ）求和；（Ⅱ）求四边形的面积.2015全国卷Ⅱ理科第17题：在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD是△ADC面积的2倍．(Ⅰ) 求；(Ⅱ。