[研究生入学考试题库]考研数学一分类模拟题概率论与数理统计假设检验.docx

[研究生入学考试题库]考研数学一分类模拟题概率论与数理统计假设检验一、选择题问题:1. 假设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均为未知参数，则下列统计假设中属于简单假设的是A.H0：μ：0，σ＞1．B.H0：μ=0，σ=1．C.H0：μ＜3，σ=1．D.H0：0＜μ＜3．答案:B[解析] 若(B)成立，则总体X～N(0，1)，其分布完全被确定，因此(B)属于简单假设，而其他三个选项的原假H0成立时还不能确定总体的分布，因而都是复合假设．故应选(B)．问题:2. 自动装袋机装出的物品每袋重量服从正态分布N(μ，σ2)，规定每袋重量的方差不超过a．为了检验自动装袋机的生产是否正常，对它生产的产品进行抽样检查，取零假设H0：σ2≤a，显著性水平α=0.05，则下列说法正确的是A.如果生产正常，则检验结果也认为生产是正常的概率为95%．B.如果生产不正常，则检验结果也认为生产是不正常的概率为95%．C.如果检验结果认为生产正常，则生产确实正常的概率为95%．D.如果检验结果认为生产不正常，则生产确实不正常的概率为95%．答案:A[解析] 由显著性水平α=0.05，即得 P{弃真}=P{拒绝H0|H0为真}=α=0.05， 1-α=0.95=P{接受H0|H0为真}， 此结果表明：如果生产正常，检验结果也认为生产是正常的概率为95%，所以(A)正确．其余三项的概率分别为 P{拒绝H0|H0不成立}，P{H0为真|接受H0}，P{H0不成立|拒绝H0}， 都不能由α确定． 问题:3. 假设某种元件寿命(单位：千小时)原来服从正态分布N(5，0.32)，现采用新工艺加工，所得的产品寿命服从正态分布N(μ，0.32)．为检验这种工艺是否提高元件的使用寿命，为此需要做统计检验，如果检验者对新工艺持保守态度，将元件寿命没有提高作为原假设H0，那么原假设，备择假设应该是A.H0：μ=5；H1：μ≠5．B.H0：μ=5；H1：μ＞5．C.H0：μ=5；H1：μ＜5．D.H0：μ≤5；H1：μ＞5．答案:B[解析] 依题意H0应取“μ=5”，而我们关心的是元件寿命是否提高，因此H1应取“μ＞5”，所以正确选项为(B)．问题:4. 在假设检验中，如果待检验的原假设为H0，那么犯第二类错误是指A.H0成立，接受H0．B.H0不成立，接受H0．C.H0成立，拒绝H0．D.H0不成立，拒绝H0．答案:C[解析] 直接应用二类错误的定义即可判定正确选项．事实上“犯第一类错误”=“弃真”，即为选项(C)．“犯第二类错误”=“取伪”，因而选择(B)．(A)、(D)两个选项是假设检验中最理想的结果，它们都不会导致检验结果出现错误的情况．问题:5. 在产品质量检验时，原假设H0：产品合格．为了使次品混入正品的可能性很小，则在样本容量n固定的条件下，显著性水平α(0＜α＜1)A.应取大些．B.应取小些．C.应取定数．D.可以取(0，1)中的任意数．答案:A[解析] α是“弃真”的概率，题意要求“次品混入正品的可能性小”，即P{接受H0|H0不成立}=P{取伪}=P{犯第二类错误}很小，因此在n同定条件下，α应取大些．故应选(A)．问题:6. 对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著性水平α=0.05下接受H0：μ=μ0，H1：μ＞μ0，则在显著性水平α=0.01下A.必接受H0．B.必拒绝H0，接受H1．C.可能接受也可能拒绝H0．D.拒绝H0，可能接受也可能拒绝H1．答案:A[解析] 直接由α的概率意义可断定正确选项是(A)．事实上，α=P{否定H0|H0成立}即在H0成立条件下否定H0的概率，α越小，否定H0即“弃真”的概率越小，接受H0的概率越大． 因此在同样容量、检验统计量及否定域形式下，当α1＜α2时，α2接受域接受域(见图)，因此在α2=0.05时接受H0，那么在α1=0.01时必接受H0． 问题:7. 对取显著性水平为α的假设检验问题，犯第一类错误(弃真)的概率为p，则A.p≤1-α．B.p≥1-α．C.p≤α．D.p≥α．答案:C[解析] 由α=P{拒绝H0|H0为真}即知，当检验统计量分布已知时有p=α；而对于某些检验问题，所采用的统计量分布未知，但可以求值，例如H0：μ≤μ0或μ≥μ0，此时有p≤α，因而正确选项是(C)．问题:8. 假设总体X服从正态分布已知．检验假设H0：μ=μ0；H1：μ＞μ0．如果取H0的否定域为{(x1，…，xn)：＞C}，其中为样本均值，则对固定的样本容量n，犯第一类错误的概率αA.随C的增大而增大．B.随C的增大而减小．C.随C的增大保持不变．D.随C的增大增减性不定．答案:B[解析] C越大，否定域越小，因而“弃真”的概率α就减小，故选(B)．事实上，若H0：μ=μ0成立，即 则犯第一类错误的概率 固定n，σ0，μ0，当C增大时，增大，从而使α减小．问题:9. 假设总体X服从正态分布N(μ，1)，关于总体X的数学期望μ有两个假设H0：p=0；H1：μ=1．已知X1，…，X9是来自总体X的简单随机样本，为其均值．以uα表示标准正态分布上α分位数，H0的4个否定域分别取为 ①； ②； ③； ④． 设相应的犯第一类错误的概率为αi，犯第二类错误的概率为βi(i=1，2，3，4)，则 A.αi相等，βi相等．B.αi相等，βi不相等．C.αi不相等，βi相等．D.αi不相等，βi不相等．答案:B[解析] 由题设知αi=P{Vi|H0}=0.05，故应在(A)、(B)中选取正确选项．一般说来，对相同的显著性水平α，不同的否定域，其犯第二类错误概率是不同的，因而选择(B)．事实上，我们可以计算任意二个βi即可判定其结果，例如： 查正态分布表知： 所以 =1-[Ф(-2.94)-Ф(-3.06)]=0.9995， 显然 β1≠β2．所以选择(B)． 问题:10. 在假设检验中，显著性水平α的意义是A.原假设H0成立，经检验被拒绝的概率．B.原假设H0成立，经检验被接受的概率．C.原假设H0不成立，经检验被拒绝的概率．D.原假设H0不成立，经检验被接受的概率答案:A[解析] 显著性水平α是确定小概率事件的一个界限，由检验准则知，α=P{拒绝H0|H0)为真}，所以正确选项为(A)．选项(B)是P{接受H0|H0为真}=1-α；(D)是P{接受H0|H0不成立}=P{犯第二类错误}=β；(C)是P{拒绝H0|H0不成立}=1-β．问题:11. 在假设检验中，显著性水平α是A.第一类错误概率．B.第一类错误概率的上界．C.第二类错误概率．D.第二类错误概率的上界．答案:B[解析] 构造显著性检验的否定域，一般依据的是所谓“小概率原则”：指定一个可以认为是“充分小”的数α(0＜α＜1)，并且认为概率小于α的事件V是“实际不可能事件”，即认为这样的事件在一次试验或观测中实际上不会出现．对于只控制第一类错误概率的显著性检验，小概率原则中所规定的第一类错误概率上界α就是检验的显著性水平．因此应选(B)．问题:12. 设X1，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ和σ2未知，样本均值与方差分别为，S2，则假设H0：μ=μ0选用的检验统计量为 (A) (B) (C) (D) 答案:D[解析] 由于μ，σ未知，待检验假设为μ=μ0，选项(A)、(B)、(C)均含有未知参数，因而不正确，应选(D)．二、填空题问题:1. 假设总体X服从正态分布，其中总体方差σ0=0.3．基于来自总体X的容量为9的简单随机样本，得样本均值．关于未知参数μ有如下假设H0：μ=5，则检验假设H0使用统计量______；假设H0的水平0.05的否定域为______．答案:，[解析] 熟知，在总体方差已知的情况下，检验关于总体数学期望的假设使用统计量 假设H0的水平0.05的否定域为 其中uα是标准正态分布水平α双侧分位数． 问题:2. 假设总体X～N(μ，1)，关于总体X的数学期望μ的假设H0：μ=0；基于来自总体X的容量为9的简单随机样本，得样本均值，则假设H0的水平0.05的否定域为______．答案:[解析] 在已知σ2=1的情况下，假设H0：μ=0的检验的统计量 因此假设H0的水平α=0.05的否定域为 问题:3. 假设总体X～N(μ，σ2)，且X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，设 则假设H0：μ=0的t检验使用统计量______． 答案:[解析] 样本方差S2=Q/(n-1)，假设H0：μ=0的t检验的统计量为 问题:4. 已知总体X服从正态分布N(μ，1)，关于期望μ的待检假设H0：μ=0，H1：μ=1．已知X1，…，X9是来自总体X的简单随机样本，其均值为，若H0的否定域为{3≥1.96}，则犯第一类错误的概率α=______；犯第二类错误的概率β=______．答案:05，0.1492[解析] 考查犯两类错误的概念，直接应用定义求解． 设H0：μ=0成立，则X～N(0，1)，，故 =2[1-Ф(1.96)]=2(1-0.975)=0.05． 设H1：μ=1成立，则X～N(1，1)，，故 =Ф[3(0.653-1)]-Ф[3(-0.653-1)]=Ф(-1.04)-Ф(-4.96) ≈1-Ф(1.04)=0.1492． 三、解答题问题:1. 某工厂生产零件长度X服从正态分布N(μ，σ2)，根据其精度要求，零件长度标准差不得超过0.9，现从该产品中取出19个样本，测得样本标准差S=1.2．问在显著性水平α=0.01下能否认为这批零件标准差显著偏大．如果α=0.05，结论又如何?(分布上α分位数=28.869)答案:我们的问题是在正态总体均值未知条件下对其方差σ2进行单边假设检验． 1° H0：σ2=0.9，H1：σ2＞0.9． 2° μ未知，考虑σ2的无偏估计量S2，选取检验统计量． 3° 样本方差S2偏小有利于接受原假设H0，因此可以考虑H0的否定域为{S2＞c}． 当α=0.01时，由P{}=0.01，查表得=34.805，于是H0否定域为． 4° 样本值S2=1.22=1.44，代入得 接受H0，即认为这批零件标准差没有显著偏大． 如果α=0.05，则． 这时拒绝H0认为这批零件标准差显著偏大．。