曲边梯形面积的_几何画板_构造方法_兼谈_几何画板_中的迭代法.pdf

曲 边 梯 形 面 积 的 《 几 何 画 板 》 构 造 方 法— — — 兼 谈 《 几 何 画 板 》 中 的 迭 代 法张 加 红 　 (江 苏 省 常 州 市 第 二 中 学 　 213000)定 积 分 是 数 学 新 课 程 教 材 选 修 222 中 的 内 容 ,如 何 让学 生 在 “ 问 题 情 境 — 建 立 模 型 — 解 释 · 应 用 与 拓 展 ” 过 程中 经 历 定 积 分 知 识 的 建 构 过 程 ,曲 边 梯 形 面 积 的 理 解 与 认识 既 是 基 础 也 是 核 心 . 借 助 信 息 技 术 创 设 实 验 平 台 ,让 学生 在 直 观 体 会 中 认 识 局 部 “ 以 直 代 曲 ” 的 方 法 和 极 限 思 想无 疑 是 一 条 行 之 有 效 的 捷 径 . 笔 者 构 造 曲 边 梯 形 求 解 平 台(以 《 几 何 画 板 》 4107 版 本 为 软 件 平 台 ) 中 遇 到 了 不 少 迭 代中 的 问 题 ,现 将 构 造 过 程 实 录 于 下 ,与 各 位 读 者 分 享 . 考 虑到 曲 边 梯 形 的 面 积 求 解 是 按 “ 分 割 — 以 直 代 曲 — 作 和 —逼 近 ” 的 过 程 实 现 的 ,本 文 的 构 造 步 骤 也 基 本 按 这 一 过 程加 以 展 开 .问 题 1 　 如 何 实 现 曲 边 梯 形 的 均 匀 分 割 ?图 1步 骤 1 　 如 图 1 , 绘 制 函数 f ( x) 的 图 象 (本 例 中 取f ( x) = 12 x2 ) ,在 x 轴 上 构 造点 A ,度 量 其 横 坐 标 xA , 并 计算 其 函 数 值 f ( xA ) . 先 后 选 中xA , f ( xA ) , 单 击 【 图 表 】 菜 单中 的 【 绘 制 点 】 命 令 , 得 到 点A′ ,构 造 线 段 AA′ . 同 理 构 造线 段 BB′ ,图 中 阴 影 所 示 即 待 求 面 积 的 曲 边 梯 形 .步 骤 2 　 新 建 【 参 数 】 n(初 值 不 妨 设 定 为 6) ,计 算 “ n -1” ,将 两 个 参 数 的 标 签 分 别 修 改 为 “ 分 割 次 数 ” 、“ 迭 代 次数 ” .(分 割 次 数 与 迭 代 次 数 有 差 异 ,主 要 原 因 在 于 《 几 何 画板 》 是 面 对 对 象 的 数 学 软 件 ,它 的 迭 代 功 能 依 赖 于 前 面 作图 过 程 . 在 后 述 步 骤 4 中 我 们 可 以 发 现 点 C的 构 造 已 然 实现 了 一 次 分 割 ,因 此 只 需 再 迭 代 5 次 即 可 . )步 骤 3 　 选 中 A , B两 点 ,度 量 AB 的 长 度 ,计 算 ABn ,并将 计 算 值 的 标 签 改 为 “ Δ x” ,选 中 计 算 值 “ Δ x” ,单 击 【 变 换 】菜 单 中 的 【 标 记 距 离 】 ;选 中 点 A ,单 击 【 变 换 】 菜 单 中 的 【 平移 】 ,在 弹 出 窗 口 中 设 定 角 度 属 性 为 0° , 平 移 得 到 的 点 为C(如 图 2 所 示 ) .步 骤 4 　 先 后 选 中 A 、 参 数 “ 迭 代 次 数 ” ,按 住 shift 键 ,单 击 【 变 换 】 菜 单 中 的 【 带 参 数 的 迭 代 】 ,作 A ○R C的 迭 代 .(《 几 何 画 板 》 中 有 两 种 迭 代 ,不 按 shift 键 【 变 换 】 菜 单中 只 会 出 现 【 迭 代 】 命 令 ,按 住 shift 键 则 会 出 现 【 带 参 数 的迭 代 】 ,默 认 选 中 的 最 后 一 个 参 数 为 迭 代 深 度 ,因 此 在 选 择点 和 参 数 时 要 注 意 选 择 的 先 后 顺 序 . )图 2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 图 3表 1n AB Δ x0 3140 厘 米 0157 厘 米1 2183 厘 米 0147 厘 米2 2136 厘 米 0139 厘 米3 1197 厘 米 0133 厘 米4 1164 厘 米 0127 厘 米5 1137 厘 米 0123 厘 米依 上 述 步 骤 操 作 得 到 的 迭 代 图 象 (如 图 3) 并 没 有 出现 预 设 的 等 分 效 果 . 借 助 步 骤 4 得 到 的 “ 迭 代 数 据 表 ” (如表 1) 进 行 算 法 分 析 ,我 们 可 以 发 现 每 一 次 循 环 Δ x 的 值 都会 发 生 改 变 (如 果 要 等 分 ,Δ x 的 值 就 应 是 恒 定 不 变 的 ) . 究其 原 因 ,原 来 是 点 A 参 与 了 循 环 ,这 样 每 次 循 环 过 程 中 A点 都 发 生 了 改 变 ,从 而 AB 的 距 离 以 及 Δ x 的 值 都 发 生 了改 变 . 如 果 要 保 证 Δ x的 值 在 循 环 过 程 中 保 持 不 变 ,则 需 将A , B 两 点 置 身 事 外 (不 参 与 循 环 ) ,步 骤 3 ,4 改 进 如 下 :步 骤 3 　 在 x轴 上 另 取 一 点 C ,度 量 其 横 坐 标 xC ,并 计算 f ( xC) . 先 后 选 中 两 度 量 值 绘 制 相 应 点 C′ ,并 构 造 线 段CC′ . 选 中 计 算 值 “ Δ x” 标 记 距 离 ,选 中 点 C按 前 述 方 法 平移 得 到 点 D .步 骤 4 　 先 后 选 中 点 C、 参 数 “ 迭 代 次 数 ” 作 “ 带 参 数的 迭 代 ” (其 中 C ○R D) ,即 得 到 如 图 4 的 效 果 .图 4 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 图 5(在 本 步 骤 中 ,迭 代 循 环 的 直 接 作 用 对 象 是 点 C 而 非·42· 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 中 学 数 学 月 刊 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 2009 年 第 3 期点 A ,因 此 实 现 了 等 分 割 的 效 果 . )步 骤 5 　 选 中 点 C,单 击 【 编 辑 】 菜 单 中 的 【 从 线 段 中分 离 点 】 命 令 ,先 后 选 中 点 C、 点 A ,单 击 【 编 辑 】 菜 单 中 的【 合 并 点 】 命 令 ,从 而 即 可 实 现 将 区 间 分 割 (如 图 5) 的 效果 .(只 有 在 点 C为 自 由 点 时 ,才 可 将 它 与 另 一 点 合 并 ,原先 点 C为 x 轴 上 的 点 ,构 造 过 程 中 通 过 分 离 使 之 成 为 自 由点 . 而 当 点 C与 点 A 合 并 后 ,前 面 步 骤 4 中 的 迭 代 看 起 来就 像 是 对 点 A 进 行 的 了 ,是 不 是 有 点 “ 明 修 栈 道 ,暗 渡 陈仓 ” 的 味 道 呢 ?)问 题 2 　 如 何 保 存 迭 代 结 果 ?上 述 过 程 是 将 大 的 曲 边 梯 形 分 割 成 若 干 个 小 的 曲 边梯 形 ,但 小 的 曲 边 梯 形 面 积 同 样 比 较 难 求 ,因 此 需 要 构 造一 个 矩 形 来 近 似 替 代 相 应 的 曲 边 梯 形 ,从 而 需 将 上 述 步 骤加 以 改 进 .步 骤 321 　 (表 示 在 步 骤 3 的 基 础 上 增 加 的 操 作 ,以 下类 似 ) 选 中 点 C, C′ ,线 段 CC′ ,按 标 记 距 离 “ Δ x” 进 行 平 移 ,得 到 点 D , D′ , 线 段 DD′ . 连 结 点 C′ , D′ , 构 造 四 边 形CDD′ C′ 内 部 (如 图 6) .图 6重 复 上 述 步 骤 4、 5 ,其 效果 如 图 7、 8 所 示 .以 上 结 果 实 现 了 “ 以 直代 曲 ” ,但 还 需 要 求 出 各 矩 形面 积 的 和 , 因 此 还 需 进 一 步优 化 构 造 过 程 :步 骤 322 　 选 中 四 边 形CDD′ C′ 内 部 ,单 击 【 度 量 】 菜单 中 的 【 面 积 】 命 令 , 得 到 度量 值 “ 四 边 形 面 积 ” ;选 中 原 点图 7 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 图 8和 坐 标 轴 单 位 点 度 量 得 到 “ 单 位 长 度 ” , 并 计 算四 边 形 面 积单 位 长 度 2 ,将 度 量 值 的 标 签 改 为 S.(如 果 只 是 计 算 “ 四 边 形 面 积 ” ,得 到 的 将 是 绝 对 值 ,而我 们 需 要 的 是 相 对 值 ,因 此 要 计 算 四 边 形 面 积单 位 长 度 2 . )步 骤 4 　 新 建 参 数 T ,参 数 值 为 0 ,计 算 S + T;先 后 选中 点 C、 参 数 T、 参 数 “ 迭 代 次 数 ” 作 “ 带 参 数 的 迭 代 ” (其 中C ○R D , T ○R S + T) .重 复 步 骤 5 ,则 “ 迭 代 数 据 表 ” (如 表 2) 中 变 量 S + T的终 值 就 是 我 们 要 求 的 和 了 .表 2n xA S S + S00 0153 0104 01041 0181 0109 01132 1110 0117 01313 1139 0127 01584 1167 0140 01985 1196 0155 1153 图 9我 们 已 经 求 出 相 应 的 矩 形 的 和 了 ,但 如 何 将 变 量 S +T 的 终 值 从 图 表 中 分 离 出 来 则 是 不 可 回 避 的 一 个 问 题 . 考虑 到 《 几 何 画 板 》 面 对 对 象 的 特 点 ,我 们 将 每 一 次 循 环 中变 量 S + T 的 结 果 用 几 何 图 形 显 现 出 来 .步 骤 323 　 新 建 参 数 t ,其 初 值 设 为 0 ,先 后 选 中 参 数t、 度 量 值 S + T ,单 击 【 图 表 】 菜 单 中 的 【 绘 制 点 】 命 令 绘 制相 应 的 点 P.重 复 步 骤 4、 5.步 骤 6 　 选 中 点 P 的 迭 代 象 ,单 击 【 变 换 】 菜 单 中 的【 终 点 】 得 到 点 P的 迭 代 象 终 点 Q ,度 量 点 Q的 纵 坐 标 y Q ,将 其 标 签 改 为 “ 曲 边 梯 形 的 面 积 ” (最 后 效 果 如 图 9 所 示 ) .图 10问 题 3 　 如 何 体 现 逼 近 思想 ?步 骤 7 　 双 击 参 数 “ 分 割次 数 ” ,修 改 相 应 的 参 数 值 , 将参 数 分 别 赋 值 为 10 ,100 ,1 000 (其 图 形 分 别 如 图 10、 11、12所 示 ) . 从 图 中 可 以 直 观 地 发现 ,当 “ 分 割 次 数 n” → + ∞ 时 ,矩 形 面 积 之 和 逼 近 曲 边 梯 形 的图 11 　 　 　 　 　 　 　 　 　 图 12面 积 . 为 了 方 便 观 察 ,可 以 分 别 选 中 参 数 值 “ 分 割 次 数 ” 、 度量 值 “ 曲 边 梯 形 的 面 积 ” ,单 击 【 图 表 】 菜 单 中 的 【 制 表 】 命令 ,得 到 一 表 格 ,每 改 变 一 次 参 数 值 ,双 击 一 次 表 格 ,最 终 表格 如 表 3 所 示 .可 以 直 观 发 现 “ 曲 边 梯 形 的 面 积 ” 随 着 “ 分 割次 数 ” 的 增 大 而 逐 步 收 敛 ,最 后 接 近 于 一 常 数 11963.表 3分 割 次 数 曲 边 梯 形。