代数学发展简史及线性代数简史.ppt

代数学发展简史代数学(algebra)是数学中最重要的分支之 一代数学的历史悠久，它随着人类生活 的提高，生产技术的进步，科学和数学本 身的需要而产生和发展在这个过程中， 代数学的研究对象和研究方法发生了重大 的变化代数学可分为初等代数学和抽象 代数学两部分初等代数学是更古老的算 术的推广和发展，而抽象代数学则是在初 等代数学的基础上产生和发展起来的代数学的西文名称algebra来源于9世纪阿拉 伯数学家花拉子米的重要著作的名称该 著作名为”ilm al-jabr wa’I muqabalah”，原意 是“还原与对消的科学”这本书传到欧洲后 ，简译为algebra清初曾传入中国两卷无作 者的代数书，被译为《阿尔热巴拉新法》 后改译为《代数学》(李善兰译，1853)初等代数学是指19世纪上半叶以前的方程理 论，主要研究某一方程（组）是否可解， 怎样求出方程所有的根（包括近似根）以 及方程的根所具有的各种性质等代数与算术的区别是什么？四大文明古国中，除古代希腊外，都曾对算 术和代数的发展做出非常杰出的贡献从中世纪的欧洲一直到19世纪上半期，代数 学在欧洲得到了长足的发展19世纪，代数学发生了革命性的变革。

一系列新的代数领域被建立起来，大大地 扩充了代数学的研究范围，形成了所谓的 近世代数学包括抽象代数和线性代数抽象代数学是以研究数字、文字和更一般 元素的代数运算的规律和由这些运算适合 的公理而定义的各种代数结构的性质为其 中心问题的由于代数结构及其中元素的一般性，近世代 数学的研究在数学中是最具有基本性的， 它的方法和结果渗透到那些与它相接近的 各个不同的数学分支中，成为一些有着新 面貌和新内容的数学领域――代数数论、 代数几何、拓扑代数、李氏代数、代数拓 扑、泛函分析等，这样，近世代数学就对 于全部现代数学发展有着显著的影响，并 且对于其它一些科学领域如理论物理、计 算机原理等也有较直接的应用代数学发展简史--------线性代数线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结 合的有限维向量空间及其线性变换理论的一 门学科主要研究对象有行列式、线性方程 组、矩阵、线性空间等主要理论成熟于十九世纪，而第一块基 石（二、三元线性方程组的解法）则早在两 千年前出现（见于我国古代数学名著《九章 算术》） 1、学科概述《九章算术》的“方程术”《九章算术》中的“方程章”，是世界上最早的系统研 究代数方程的专门论著。

它在世界数学历史上，最早创 立了多元一次方程组的筹式表示方法，以及它的多种求 解方法《九章算术》把这些线性方程组的解法称为“方程术 ”，其实质相当于现今的矩阵变形方法方程术是通过 对方程的系数矩阵实施遍乘、直除的变换（即连续相减 ）实现减元、获取方程解的过程1、学科概述在“方程章”问题的解法中还可以发现下述方程变 形的性质：如果方程的两边都加上（或减去）同一数，那么所得 的方程和原方程是同解方程如果方程两边同乘以（或 除以）一个不等于零的数，那么所得的方程和原方程是 同解方程刘徽：“程，课程也群物总杂，各列有数，总言 其实令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物 数程之，并列为行，故谓之方程其中“课”为比较的意思，而“程”则为表达的意思 可见，按照“方程”的原义可以把它理解为“方形表达式” ，与现在的“增广矩阵”类似1、学科概述线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种 重要应用，因而它在各种代数分支中占据首要地位；在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅 助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理 论和算法基础的一部分；随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关 系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题 在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性 化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题 的有力工具。

1、学科概述历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的 问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵 论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性 代数教材的主要部分最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是 实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展另外， 近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性 代数的进一步发展1、学科概述行列式出现于线性方程组的求解，它最早是 一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非 常有用的工具行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发 明的1693 年 4 月，莱布尼茨在写给洛必达的 一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组 的系数行列式为零的条件同时代的日本数学 家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了 行列式的概念与算法2、矩阵和行列式1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分 析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出 了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们 所称的解线性方程组的克莱姆法则稍后，数学家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将 确定行列式每一项符号的方法进行了系统化， 利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次 线性方程组有非零解。

2、矩阵和行列式在行列式的发展史上，第一个对行列式理论 做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性 方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对 数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院 院士特别地，他给出了用二阶子式和它们的余 子式来展开行列式的法则就对行列式本身这一 点来说，他是这门理论的奠基人 1772 年，拉 普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规 则，推广了他的展开行列式的方法 2、矩阵和行列式继范德蒙之后，法国数学家柯西在行列式理 论方面做出了突出贡献 1815 年，柯西在一篇论文中给出了行列式 的第一个系统的、几乎是近代的处理其中主要结果之一是行列式的乘法定理另 外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用 双足标记法；引进了行列式特征方程的术语； 给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行 列式展开定理并给出了一个证明2、矩阵和行列式19 世纪的半个多世纪中，詹姆士.西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1897)对行列式理论研究始终 不渝他的重要成就之一是改进了从一个m 次 和一个n 次的多项式中消去 x 的方法，他称之 为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个 多项式方程有公共根充分必要条件这一结果， 但没有给出证明。

2、矩阵和行列式西尔维斯特（James Joseph Sylvester，公元 1814年9月3日─公元1897年3月15日）是英国数学 家生于伦敦，卒于牛津西尔维斯特的贡献主要在代数学方面他同 凯莱一起，发展了行列式理论，创立了代数型的 理论，共同奠定了关于代数不变量的理论基础， 他在数论方面也做出了突出的工作，特别是在整 数分拆和丢番图分析方面他创造了许多数学名 词，当代数学中常用到的术语，如不变式、判别 式、雅可比行列式等都是他引入的他一生发表 了几百篇论文，著有《椭圆函数专论》一书西 尔维斯特是《美国数学杂志》的创始人，为发展 美国数学研究做出了贡献曾获得英国皇家勋章 、科普利奖章，以及都柏林、爱丁堡、牛津、剑 桥等大学授予的名誉学位2、矩阵和行列式继柯西之后，在行列式理论方面最多产的 人就是德国数学家雅可比 (J.Jacobi,1804-1851) ，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”， 指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作 用，给出了函数行列式的导数公式雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质 》标志着行列式系统理论的建成由于行列式 在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次 型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身 在 19 世纪也得到了很大发展。

整个 19 世纪都 有行列式的新结果除了一般行列式的大量定 理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理 都相继得到2、矩阵和行列式矩阵是代数学的一个主要研究对象，也是数 学研究和应用的一个重要工具矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他 是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了 这个术语而实际上，矩阵这个课题在诞生之前 就已经发展的很好了从行列式的大量工作中明 显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值 是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用， 矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立 起来的在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的 概念，然而在历史上次序正好相反 2、矩阵和行列式英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公认 为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立 的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系 列文章凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进 矩阵以简化记号 1858 年，他发表了关于这一课题的第 一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩 阵的理论文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则 、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了 矩阵加法的可交换性与可结合性。

另外，凯莱还给出了 方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一 些基本结果2、矩阵和行列式英国数学家 英国纯粹数学 的近代学派带头人凯莱最主要的贡献是与 J.J.西尔维斯特一起 ，创立 了代数型的理论，共同奠定 了关于代数不变量理论的基 础他是矩阵论的创立者 他对几何学的统一研究也作 了重要的贡献凯莱在劝说 剑桥大学接受女学生中起了 很大的作用他曾任剑桥哲 学会、伦敦数学会、皇家天 文学会的会长2、矩阵和行列式凯莱（1821～1895）Cayley，Arthur1855 年，埃米特 (C.Hermite,1822-1901) 证明 了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊 性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等 后来 ，克莱伯施 (A.Clebsch,1831-1872) 、布克海 姆 (A.Buchheim) 等证明了对称矩阵的特征根性质 泰伯 (H.Taber) 引入矩阵的迹的概念并给出了 一些有关的结论 2、矩阵和行列式在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯 (G.Frobenius,1849-1917) 的贡献是不可磨灭的 他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩 、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似 变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理 了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩 阵与合同矩阵的一些重要性质。

1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题 1892 年，梅茨勒 (H.Metzler) 引进了矩阵的超越 函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式傅立 叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵 问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的2、矩阵和行列式矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质， 矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展 ，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论 而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广 义逆矩阵论等矩阵的现代理论矩阵及其理论现 已广泛地应用于现代科技的各个领域2、矩阵和行列式线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《 九章算术 》方程章中已作了比较完整的论述其中所 述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初 等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法在西方，线性方程组的研究是在 17 世纪后期由莱 布尼茨开创的他曾研究含两个未知量的三个线性方程 组组成的方程组麦克劳林在 18 世纪上半叶研究了具 有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为 克莱姆法则的结果克莱姆不久也发表了这个法则 18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理 论进行了一系列研究，证明了 n元齐次线性方程组有非 零解的条件是系数行列式等于零。