高等流体力学笔记第4讲.doc

2.5有涡流动的有关概念与性质一、 有涡流动的有关概念有涡流动：流体微团的旋转角速度，称为有涡流动，否则称为无涡流动或有势流动有涡流动是流体微团绕自身轴旋转，圆周运动并不一定有旋流动涡量的定义：涡量是一个矢量场涡线的定义：某一瞬时，在涡场场中划出的曲线，在该曲线上任意一点的切向方向与该点流体的涡量的方向一致其数学表达式： 其中为涡线的微元长度涡量的正方向规定为按右手螺旋法则确定涡线的微分方程：由涡线的定义：==0可得或 在轴对称及平面流动中涡线与流线是正角的，同一瞬时过一点只能作一条涡线，对于定常流动涡线是不随时间变化的，因此用涡线可几何地表示涡量场，可看成是流体微团转动瞬时轴线涡管的定义：过一个非涡线的封闭曲线的各点做涡线，由其形成的管状曲面称为涡管涡通量：通过某一开口曲面的涡量的总和 涡通量也称为涡管强度，其中为开口曲面的面积，为上的涡量，为的外发线单位矢量速度环量：流场中速度向量沿某一封闭曲线的线积分 速度环量一般规定绕封闭曲线L为逆时针绕行时为正值涡量的散度：根据散度的定义及涡量的定义可知二、有关定理及推论 斯托克斯定理：封闭曲线L上的速度环量等于，穿过以该曲线为周界的任意开口曲面A的涡通量。

斯托克斯定定理可以让我们根据封闭曲线上的速度环量确定以其为周界任意开口曲面的涡通量流场易于求知涡管强度守恒定理：同一时刻，同一涡管的各个以绕涡管壁面的封闭曲线为边界的曲面上涡通量相同 = 由斯托克斯定理与涡管强度守恒定理可得如下几个推论：（1） 对于同一微元涡管而言，截面积越小，流体旋转角速度就越大；（2） 涡管截面积不可能收缩为零，因此涡管不能始或终于流体中；（3） 在涡管上绕涡管的任意封闭曲线的速度换量相等凯尔文定理：封闭流体线的速度环量对于时间的变化率等于此封闭流体线的加速度的环量即： 式中L为封闭流体线，为封闭流体线上的有向微元长度2.6无涡流动的有关概念及性质无涡流动（无旋流动）：刘体微团旋转角速度为零的流动称为无涡流动即： 或流速势函数：无涡流动必然存在一个标量函数，其梯度即为速度向量，即证明: 由无涡流动条件可得： =0 =0 → =0 上面表达式即为与一个标量函数满足的充分与必要条件。

因此无旋流动必然存在流速势函数，反之势函数存在必无旋 ， ，，引入速度势后，可以将一个速度场（三个未知量）与一个标量联系起来，若能够求解得到，则可确定速度场速度势与速度环量： 代入速度势的定义 ， ，，后可得：上式表示速度势的全微分与速度环量的全微分是相等的对于无涡流场中的任意两点的连线进行积分可得： 或注意，上面积分的结果与积分路径和所讨论的积分区域有关，可以给出两种情况讨论：1、 在单连域内，上面积分与路径无关，速度势与速度环量之间的关系为： L为连接p与p0的任意路径 =0 L为连接p与p0的任意封闭路径证明： 如果沿p0到p在回到p0的逆时针应用斯托克斯定理可得： 其中A为以p0pp0为周界的任意开口的曲面 若流动是无旋的，则由上式可得： ， 这表明该积分与路径无关，因此可得（或）2、对于双连通域，与积分路径有关，积分结果为 其中为双连域绕内环的速度环量值。

n为绕内边界的次数证明：如图所示为一个双连域，其内环（边界）为，其外环为（外边界）其绕内边界的速度环量 首先让我们证明，对于任意的包围封闭曲线，有： == 作一隔面AB，并按沿（逆时针绕行）→AB+→（顺时针绕行）→AB-的路线就可将双环内的双连域变成一个以隔面AB+和AB-为端面的单连域 根据前面单连域，速度环量与积分路径无关的结论可得： 在AB+和AB-上，的大小方向一样，但的方向恰好相反，因此可得二者积分之和为零因此： 因为所以 因此可证得：在双连域无旋流场中，包围内边界的任意封闭曲线上的速度环量等于内边界周线上的速度环量 因此对于双连域内两点p与p0的速度势与速度环量可表达为： n=1 n=1 因此一般而言有这表明在双连域中某点的为多值函数，但差值只是环量的n倍加速度势：可以证明在无旋流动条件下，加速度有势，且加速度势为 加速度也是一个矢量场；如果也存在一个标量函数U，其梯度恰好等于加速度时（=），则称为加速度有逝，U就称为加速度势（函数）。

也就是要证明=存在证明省略）例题：已知柱坐标上的速度场，其中c为任意常数，为方向上的单位，求：（1）曲线的速度环量；（2）通过上述圆平面的涡通量解：（1）在曲线的圆周上速度向量应为，圆周上的微元长度向量，因此该曲线上的速度环量应为：（2）速度场为圆周切线方向其速度分量为： 相应的涡量＝圆平面处单位处法线矢量，故通过其面积上的涡通量为：上面结果也可通过斯托可斯定理直接得出，由斯托可斯定理（已经求出）。