格林公式及其应用16课件.ppt

机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束第三节第三节一、格林公式一、格林公式 三、平面上曲线积分与路径无关的三、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用格林公式及其应用 二、格林公式简单应用二、格林公式简单应用四、小结四、小结机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束引言引言牛牛————莱公式：莱公式：特点特点：：格林公式格林公式特点特点：：在平面闭区域在平面闭区域D上的二重积分可通过沿闭区域上的二重积分可通过沿闭区域D的边界曲线的边界曲线L上的曲线积分来表达上的曲线积分来表达. .两者共性两者共性（（实质实质）：）：把把内部内部问题转化为问题转化为边界边界问题来处理问题来处理. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束区域区域 D 分类分类单单连通区域连通区域 ( 无无“洞洞”区域区域 )多多(复复)连通区域连通区域 ( 有有“洞洞”区域区域 )域域 D 边界边界L 的的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左【【定理定理1】】 设区域设区域 D 是由分段光滑是由分段光滑正向曲线正向曲线 L 围成围成,则有则有( 格林公式格林公式 )函数函数在在 D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数,一、一、 格林公式格林公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【【应用格林公式时应注意应用格林公式时应注意】】1. .积分曲线积分曲线L必须是必须是封闭封闭曲线，取曲线，取D的正向边界的正向边界. .2. . （三条缺一不可）（三条缺一不可）3. .D可为可为单单连通域，也可为连通域，也可为复复连通域；连通域；当当D为复连通域时，为复连通域时，L包括包括D的所有正向边界的所有正向边界. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束推论推论: 正向闭曲线正向闭曲线 L 所围区域所围区域 D 的面积的面积格林公式格林公式例如例如, 椭圆椭圆所围面积所围面积机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束二、格林公式简单应用二、格林公式简单应用【例【例1】】设设 L 是分段光滑的闭曲线是分段光滑的闭曲线, 证明证明【【证证】】 令令则则利用格林公式利用格林公式 , 得得1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分 xyoLAB机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束其中其中L 为上半为上半从从 O (0, 0) 到到 A (4, 0).【【解解】】 为了使用格林公式为了使用格林公式, 添加辅助线添加辅助线段段它与它与L 所围所围圆周圆周区域为区域为D , 则则【例【例3】计算】计算原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束其中其中D 是以是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域为顶点的三角形闭域 . 【【解解】】 令令, 则则利用格林公式利用格林公式 , 有有有多种取法有多种取法, ,则选最简单的则选最简单的2. 简化二重积分简化二重积分【例【例4】】 计算计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束其中其中L L为一无重点且不过原点为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线的分段光滑正向闭曲线. .【解】【解】令令设设L所围区域为所围区域为D, ,由格林公式知由格林公式知【例【例5】】计算计算由于由于P,Q在在 (0,0)点无定义，不满足格林公式条点无定义，不满足格林公式条件件机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束记记 L 和和 lˉ 所围的区域为所围的区域为 , 在在D 内作圆周内作圆周取逆时取逆时针方向，针方向，对区域对区域应用格应用格林公式林公式 得得为了使用格林公式为了使用格林公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3. 计算平面面积计算平面面积机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【【解解】】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束三、平面上曲线积分与路径无关的等价条件三、平面上曲线积分与路径无关的等价条件GyxoBA机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【【定理定理2】】 设设D 是是单连通域单连通域 ,在在D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1) 沿沿D 中中任意光滑闭曲线任意光滑闭曲线 L , 有有(2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分(3)(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束根据定理根据定理2 , 若在某区域内若在某区域内则则2) 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求可用积分法求d u = P dx + Q dy在域在域 D 内的原函数内的原函数:及动点及动点或或则原函数为则原函数为若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可可添加辅助线添加辅助线;取定点取定点1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;【说明】【说明】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例7】】【【解解】】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束是某个函数的全微分是某个函数的全微分, 并求并求出这个函数出这个函数. 【【解解Ⅰ】】则则由定理由定理2 可知可知, 存在函数存在函数 u (x , y) 使使。

［利用曲线积分与路径无关］［利用曲线积分与路径无关］设设【【注注】】所取起点不同，所所取起点不同，所求函数的最后结果求函数的最后结果中的常数可能不同中的常数可能不同. .【例【例8】】验证验证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【【解解Ⅱ Ⅱ 】】 ［不定积分法］［不定积分法］(求原函数的方法求原函数的方法)由于由于故故由由(1)式得式得求导得求导得结合结合(2)式得式得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束在右半平面在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函内存在原函数数 , 并求出它并求出它. 【【证证】】 令令则则由由定理定理 2 可知存在原函数可知存在原函数【例【例9】验证】验证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束或或还可用不定积分法还可用不定积分法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【【解解】】【例【例10】】如图如图与路径无关与路径无关机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束四、小结四、小结1. 格林公式格林公式2. 等价条件等价条件在在 D 内与路径无关内与路径无关.在在 D 内有内有对对 D 内任意闭曲线内任意闭曲线 L 有有在在 D 内有内有设设 P, Q 在在 单连通域单连通域D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, 则有则有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1. 设设且都取正向且都取正向, 问下列计算是否正确问下列计算是否正确 ?提示提示:【思考与练习】【思考与练习】。