第2讲 不等式的性质及其解法学校____________ 姓名____________ 班级____________ 一、知识梳理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)证明不等式还常用综合法、反证法和分析法.2.不等式的性质(1)不等式的性质①可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；②可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb，b>c⇒a>c；④对称性：a>b⇔bc⇔a>c－b；②同向不等式相加：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；③同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；④可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n>1)；⑤可开方性：a>b>0⇒>.3.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.4.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅5.一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)·(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).6.分式不等式及其解法(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.二、 考点和典型例题1、 不等式的性质【典例1-1】（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（文））已知，且，则以下不正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，，故A，B正确；，即，故C正确；对两边同除得，故D错误.故选：D.【典例1-2】（2022·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A：当，时不成立，故A错误；对于B：当，，所以，，即，故C错误；对于C：当时不成立，故C错误；对于D：因为，所以，又，所以（等号成立的条件是），故D正确.故选：D.【典例1-3】（2022·重庆八中模拟预测）（多选）已知，，且，则下列不等关系成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】对于A，由 ， ，当且仅当 时等号成立， ， ， ，当且仅当 时等号成立，故A正确；对于B，由，得 ，由基本不等式得 ，当且仅当a=b=1时成立；故B正确；对于C，若 满足， ，故C错误；对于D，∵，∴ ，由B的结论得 ， ， ，故D正确；故选：ABD.【典例1-4】（2022·广东汕头·二模）（多选）已知a，b，c满足c0 B．c（b-a）<0 C． D．【答案】BCD【详解】解：因为a，b，c满足c0时，不等式的解集为或；当a=0时，不等式的解集为且；当a<0时，不等式的解集为或.【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，求证：(1)；(2).【解析】(1)由题意，因为，且，所以，当且仅当时，取“=”，所以，所以．(2)由，所以，，所以，所以，所以，所以．【典例2-4】（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知函数．(1)求函数的值域；(2)已知，，且，不等式恒成立，求实数x的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：当时，；当时，；当时，，所以 ，综上函数的值域为(2)因为，，当且仅当，即时等号成立，要使不等式恒成立，只需，即恒成立，由（1）知当时，不合题意；当时，恒成立；当时，，解得，综上，所以x的取值范围为.【典例2-5】（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a，b，c为正数.(1)求的最小值；(2)求证：.【解析】(1)因为，当且仅当“”时等号成立，所以当时，的最小值为.(2)因为，同理，，所以三式相加得，所以，当且仅当“”时等号成立3、 不等式的综合应用【典例3-1】（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三阶段练习（文））若函数对任意有恒成立，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，函数对任意有（1）当时，成立；（2）当时，函数为二次函数，若满足对任意有，则综上：故选：A【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为不等式的解集中恰有个正整数，即不等式的解集中恰有个正整数，所以，所以不等式的解集为所以这三个正整数为，所以，即故选：D【典例3-3】（2022·浙江·高三专题练习）若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为_______.【答案】【解析】【详解】当m=0时不等式为,显然对于任意实数x恒成立；当m≠0时，不等式对任意实数x恒成立等价于,解得,所以m的取值范围是,故答案为：.【典例3-4】（2021·福建省南平市高级中学高三阶段练习）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】若原命题为假命题，则其否定“，”为真命题，这等价于，解得,故答案为：.【典例3-5】（2021·黑龙江·嫩江市高级中学高三阶段练习（理））已知函数，（1）若恒成立，求的范围．（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）．【详解】解：（1），，，，，当且仅当时成立，∴，．（2）当即时，；当即时，，综上，．。
