Stolz定理地若干应用.doc

Stolz定理的若干应用XXXX（XXXXXX 大学 XXXXXX 专业 XXX 级 XX 班）摘要极限思想是许多科学领域的重要思想之一．为了解决求极限的问题，本文介绍了计 算极限的一种方法——Stolz定理，并对Stolz定理的结论进行了推广.本文先叙述有关Stolz定理的一些已知结论，然后通过实例说明Stolz定理及其推广 的有关结论在极限求解中的应用.Stolz定理可以说是数列的L' Hospital法则，它对求 数列的极限很有用.Stolz定理可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz定理可 变得十分容易.Stolz定理是证明数列和函数极限存在性的重要定理，文中给出了Stolz 定理的数列情形、函数情形.关键词 Stolz定理；数列；函数；极限Some applications of Stolz theoremsZHANG Ran(Grade 2004 Class (2)Information and Computing ScienceCollege of Mathematics and PhysicsUniversity of Science and Technology of Suzhou)AbstractThe limit thought is one of many scientific field important thoughts．In order to solve asks the limit the question ， this article introduced the computation limit's one method — — Stolz theorem ， and has popularized the conclusion of Stolz theorem．This article first narrates related Stolz theorem some known conclusion，s then in the limit solution through the example explained the application of the Stolz theorem and its popularizedrelated conclusion．The Stolz theorem canbe said to be sequence L'Hospital principle，it is very useful to asks the sequence the limit．The Stolz theorem can be popularized to the situation with the limit of function，some questions use the Stolz theorem to become very easy．The Stolz theorem is important theorem to prove the limit existence of the sequence and function．This article has given the Stolz theorem the situation of sequence and the situation of function．Keywords Stolz theorem; sequence; function; limit目录摘要关键词 丨Abstract Keywords II1 引言 ……………………………………………………………………………………12 序列形式的Stolz定理 12.1 —型 Stolz 公式 g12.2 0型Stolz公式 302.3序列形式的Stolz定理应用 43 函数形式的Stolz定理 10—3.1 型 Stolz 公式 10—3.2 0型Stolz公式 1303.3函数形式的Stolz定理应用 14结论 ………………………………………………………………………………………18致 ……………………………………………………………………………………… 19参考文献 …………………………………………………………………………………1 引言极限论是数学分析的基础，极限问题是数学分析中困难问题之一．中心问题有两个： 一是证明极限存在，二是求极限的值．两问题有密切关系：若求出了极限的值，自然极 限的存在也被证明．反之，证明了存在性，常常也就为计算极限铺平了道路．讲述极限论，通常先讲序列极限，然后讲函数极限．两类极限，有平行的理论，类 似的方法，彼此有着深刻的在联系．极限思想是许多科学领域的重要思想之一．因为极限的重要性，从而怎样求极限也 显得尤其重要．对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常局限，不仅计 算量大，而且不一定能求出结果．为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极 限的方法.本文介绍了计算极限的一种方法——Stolz定理，并对Stolz定理的结论进行 了推广，讨论如何利用Stolz定理计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想.本文先叙述有关Stolz定理的一些已知结论，然后通过实例说明Stolz定理及其推广 的有关结论在极限求解中的应用.Stolz定理可以说是数列的L' Hospita丨法则，它对求 数列的极限很有用.Stolz定理可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz定理可 变得十分容易.Stolz定理是证明数列和函数极限存在性的重要定理，文中给出了Stolz 定理的数列情形、函数情形.2序列形式的Stolz定理2.1 丫型Stolz公式定理2.1（—型Stolz公式） 设｛x ｝严格递增（即Vn e N有x < x ），且g n n n +1lim x 二+g.nns若lim巴—= a，则lim乙=a (其中a为有限数，+ —或-—). n t— x — x nT— xn n -1 n证 1°（a 为有限数的情况）因为（x ｝严格递增，所以Vn e N， x -x > 0 .记n n n-1-a.(1)y - y—n n—1x - xn n -1按已知条件有lima = 0，即Ve > 0，BN > 0，当n > N时，有仪|nnnTg由(1)得y=n+ (a + a)( x - x )n-1 n n n-1y + (a + a)( x - x ) + (a + a)( x - x )n - 2 n -1 n -1 n - 2 n nn-1yNyN+ (a + a)(x — x ) + •…+ (a + a)(xN+1 N+1 N n n+ a (x — x ) + •…+ a (xN+1 N+1 Nn-xn n n-1- xn -1)) + a(x - x )N两边同时除以X，再同时减去a ,y—n-XnaN+1 1lx — x'N+N+…+anx — xn n -1xn得+y - axn Nxn8.+ —•2x 一 x —n Nxny - axN Nxny - axn :xn因为 lim xnnTg=，故 BN1> N ，使得 n > N 时有1y - axn N88< + =8 .2 2所以lim人=a .n Tg xn2° (a = +a的情况)且有因为 lim 二——士一i = +g , nTg x - xn所以对M二1,BN > 0,当n > N时,n-1n > N 时， y - yn n -1> x - xn n -1>0．所以当 n > N 时,x - x lim n-inTg y - y n n-1｛y ｝严格递增.(2)式中令n = N +1,N + 2,…,k , nyk - yN >x - x > 0. kNx - xlim —n n-= 0 .由1°nTg y - yn n-1y ― yn n-1 > 1，艮卩x - xn n-1(2)然后相加,可得即 lim y =+g .于是｛y ｝严格递增，lim ynnTg= +g ,且nx x - x的结论得 lim n = lim n — = 0 ,nTg y nTg y - yn n n-1故 lim = +g . n Tg xny 一 y汪 lim n i = g ,nTg X 一 Xn n 一1{—n,22,0,42,0,62,…}.这时虽然lim二———nTg X 一 Xn=2,0,4,0,6,…}不趋向 g .n 一1注 若 lim a = a ,nns在Stolz定理中设x = n , y = a + a * * a .因为n n 1 2 nlim ——= lim ax 一 x n *1nT+g nTgn *1 n=a ,所以lim"1 *"2 *——上2 = a .因而Stolz定理是它的推广形ns式．2.2 0型 Stolz 公式0定理2.2（9型Stolz公式）设n T g时y T 0,0nx严格、0（严格单调下降趋向 n零）.若lim —n——= a，则lim 乙=a （其中a为有限数，+ g或—g）. nTg x 一 x nTg xn n 一1 n证 1°（a 为有限数的情况）因为n t g时y T 0 ,nx严格、0（严格单调下降趋向零）.所以 ny 一 y >0，n n *1x 一 x > 0 . n n *13° （a = s的情况）只要令y二—z即可转化为2°中的情况. nn一般推不出lim乙=g .例如ns x可知Vs > 0,3N > 0，当n > N时，有a — s 0 , 3N > 0 ,当 n > N 时，有 y” _ y” + i > M . x —xn 。