[数学教案]解三角形_8.doc

1解三角形本资料为 WORD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 来源莲 山课件 5 Y K J.cOm 解三角形（一）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.(二) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．第 1 课时 三角形中的有关问题2变式训练 1：(1) 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b 、c，若a、 b、c 成等比数列，且 ，则 （ ）A． B． C． D． 解： B 提示：利用余弦定理（2）在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）A. B. C. D. 解： C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（3）在△ABC 中，已知 ， ，则 的值为（ ）A B C 或 D 解： A 提示:在△ABC 中，由 知角 B 为锐角（4）若钝角三角形三边长为 、 、 ，则 的取值范围是 ．解： 提示：由 可得（5）在△ABC 中， = ．解： 提示：由面积公式可求得 ，由余弦定理可求得 例 3. 已知在△ABC 中，sinA(sinB＋cosB)－sinC ＝0 ，sinB ＋cos2C＝0，求角 A、B 、C ．解：由 sinA(sinB＋ cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋ sinAcosB－sin(A ＋B) ＝0，3所以 sinB(sinA－cosA)＝0∵B∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA＝sinA，由 A∈(0, π)，知 A＝ 从而 B＋C ＝ ，由 sinB＋cos2C ＝0 得 sinB＋cos2( －B)＝0cos＝( －2B)＝cos[2π－( ＋2B)]＝cos( ＋2B)＝－sin2B得 sinB－sin2B＝0 ，亦即 sinB－2sinBcosB＝0，由此各 cosB＝ ，B＝ ，C＝ ∴A＝ B＝ C＝ 变式训练 3：已知△ABC 中，2 （sin2A－sin2C）=（a－b ）sinB，△ABC 外接圆半径为 .（1）求∠C；（2）求△ABC 面积的最大值.解：（ 1）由 2 （sin2A－sin2C）=（a－b）sinB 得2 （ － ）= （a －b） .又∵R= ，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2 － c2=ab.∴cosC= = .又∵0°＜C＜180°， ∴C=60°.（2）S= absinC= × ab=2 sinAsinB=2 sinAsin（120° －A）=2 sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+ sin2A= sin2A－ cos2A+ = sin（2A －30°） + .∴当 2A=120°，即 A=60°时，Smax= .第 2 课时 应用性问题41．三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等） ；２．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；３．实际问题中有关术语、名称．（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．例 1．(1) 某人朝正东方走 km 后，向左转 1500，然后朝新方向走 3km，结果它离出发点恰好 km，那么 等于 （ ）（ A） （B） （C） 或 （D）3解： C 提示：利用余弦定理（2）甲、乙两楼相距 ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 ，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 ，则甲、乙两楼的高分别是 （ ）A B C D 解： A（3）一只汽球在 的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座5山顶上 A 点处的俯角为 ，汽球向前飞行了 后，又测得 A 点处的俯角为 ，则山的高度为（ ）A B C D 解： B （4）已知轮船 A 和轮船 B 同时离开 C 岛，A 向北偏东 方向，B向西偏北 方向，若 A 的航行速度为 25 nmi/h，B 的速度是 A 的 ，过三小时后，A、B 的距离是 ．解： 90.8 nmi(5) 货轮在海上以 40km/h 的速度由 B 到 C 航行，航向为方位角 ，A 处有灯塔， 其方位角 ，在 C 处观测灯塔 A 的 方位角 ，由 B 到 C 需航行半小时， 则 C 到灯塔 A 的距离是 解： km 提示：由题意知 ，利用余弦定理或解直角三角形可得变式训练 1：如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到 1 ）？6解：连接 BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10×cos120°=700.于是 ,BC=10 .∵ , ∴sin∠ACB= ,∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东 71°方向沿直线前往 B 处救援.例 2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南 方向 300 km 的海面 P 处，并以 20 km / h 的速度向西偏北 的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60 km ，并以 10 km / h 的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？解：设在时刻 t(h)台风中心为 Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)若在时刻 t 城市 O 受到台风的侵袭,则 由余弦定理知 由于 PO=300,PQ=20t故 即 解得 答： 12 小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续 12 小时．变式训练 2：如图所示, 海岛 A 周围 38 海里内有暗礁，一艘船向7正南方向航行，在 B 处测得岛 A 在船的南偏东 方向上，船航行 30海里后，在 C 处测得岛 A 在船的南偏东 方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？解：由题意得，在△ABC 中，BC=30， ， 所以 ，由正弦定理可知： 所以 ，于是 A 到 BC 所在直线的距离为 所以船继续向南航行无触礁危险。

例 3. 如图所示，公园内有一块边长 的等边△ABC 形状的三角地，现修成草坪，图中 DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在 AB上，E 在 AC 上.（1）设 AD ，ED ，求用 表示 的函数关系式；（2）如果 DE 是灌溉水管，为节约成本希望它最短， DE 的位置应该在哪里？如果 DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又在哪里？请给予证明.解：（ 1）在△ABC 中，D 在 AB 上， S△ADE= S△ABC ，在 △ADE 中，由余弦定理得：（2）令 ，则 则 8令 ，则 ； 有最小值 ，此时 DE∥BC，且 有最大值 ，此时 DE 为△ABC的边 AB 或 AC 的中线上.变式训练 3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为 ，梯形面积为 S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角 应该是多少？解：设 ，则 ，所以 设两腰与下底之和为 ，则 当且仅当 时，上式取等号，即当 时，上式取等号，所以下角 时，梯形两腰及下底之和达到最小．例 4. 如图，半圆 O 的直径为 2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以 AB 为一边作等边三角形 ABC。

问：点 B 在什么位置时，四边形 OACB 面积最大？解：设 ，在△AOB 中，由余弦定理得：9于是，四边形 OACB 的面积为S=S△AOB+ S△ABC 因为 ，所以当 ， ，即 时，四边形 OACB 面积最大．变式训练 4：如图所示，某海岛上一观察哨 A 上午 11 时测得一轮船在海岛北偏东 的 C 处，12 时 20 分测得船在海岛北偏西 的 B处，12 时 40 分轮船到达位于海岛正西方且距海岛 5 km 的 E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？解：轮船从 C 到 B 用时 80 分钟，从 B 到 E 用时 20 分钟， 而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设 EB= ，则则 BC=4 ，由已知得 在△AEC 中，由正弦定理得：在△ABC 中，由正弦定理得： 在△ABE 中，由余弦定理得： 所以船速 答：该船的速度为 km/h10解三角形章节测试题一、选择题1．在 中， ， ， ，则 的面积是（　　）A． 　　　　　B． 　　　　 C． 　　　 　D． 2．在 中，若 ，则 的值为（　　）A． 　　 　　B． 　　　　 C． 　　　 D． 3．在 中，若 ，则这个三角形中角 的值是（　　）A． 或 　　　B． 或 　　　C． 或 　　　D． 或 4．在 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（　　）A． ， ， 　　　　B． ， ， 　C． ， ， 　　　　 　D． ， ， 　5．已知三角形的两边长分别为 4,5，它们夹角的余弦是方程 的根，则第三边长是（　　）A． 　　　　　B． 　　　　 C． 　　　 　D． 6．在 中，如果 ，那么角 等于（　　）A． 　　　　　B． 　　　　 C． 　　 　D． 7．在 中，若 ， ，此三角形面积 ，则 的值是（　　）A． 　　　　　B． 　　　　　C． 　　　　 D． 8．在△ABC 中，AB=3，BC= ，AC=4，则边 AC 上的高为（ ）A． 　 　B． C． D． 9．在 中，若 ， ， ，则（　　）11A． 　 　B． C． 　 D． 10．如果满足 ， ， 的△ABC 恰有一个，那么 的取值范围是（　　）A． 　B． 　C ． 　D． 或 二、填空题11．在 中，若 ，则最大角的余弦值等于 _________________．12．在 中， ， ， ，则此三角形的最大边的长为____________________．13．在 中，已知 ， ， ，则 __________________．14．在 中， ， ， ，则 _______________， _______________．三、解答题15．△ABC 中，D 在边 BC 上，且BD＝ 2，DC＝1 ，∠B＝60o，∠ADC ＝150o ，求 AC 的长及△ABC的面积． 16．在△ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且bcosB＋ccosC＝acosA，试判断△ABC 的形状． 17. 如图，海中有一小岛，周围 3.8 海里内有暗礁。

一军舰从 A地出发由西向东航行，望见小岛 B 在北偏东 75°，航行 8 海里到达C 处，望见小岛 B 在北端东 60°若此舰不改变舰行的方向继续前12进，问此舰有没有角礁的危险？ 18．如图，货轮在海上以 35n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为 152o 的方向航行．为了确定船位，在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 122o．半小时后，货轮到达 C 点处，观测到灯塔 A 的方位角为 32o．求此时货轮与灯塔之间的距离．19. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔 10000m,速度为 180km（千米） /h（小时）飞机先看到山顶的俯角为 150，经过 420s（秒）后又看到山顶的俯角为450，求山顶的海拔高度（取 ＝1.4, ＝1.7） ． 20．如图所示，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在 a 上点 A 处有一个水声监测点，另两个监测点 B，C 分别在 A 的正东方20 km 处和 54 km 处。