2017考研数一真题及解析收集.pdf

12017 年考研数学一真题及答案解析一、选择题：18 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . （1）若函数1 cos,0( ),0 xxf xaxb x在0 x处连续，则（）11( )22( )02A abB abC abD ab【答案】 A 【解析】0011 cos12limlim,( )2xxxxf xaxaxa在0 x处连续11.22baba选 A. （2）设函数( )fx可导，且( )( )0f x fx，则（）()(1)( 1)(1)( 1)()(1)( 1)(1)( 1)A ffB ffCffDff【答案】 C 【解析】( )0( )( )0,(1)( )0f xf x fxfx或( )0(2)( )0f xfx，只有 C 选项满足(1)且满足(2)，所以选 C3）函数22( , , )f x y zx yz在点(1,2,0)处沿向量1,2,2u的方向导数为（）( )12( )6( )4()2ABCD【答案】 D 【解析】2(1,2,0)1 2 22,2 ,4,1,04,1,0 ,2.|u |3 3 3fugradfxy xzgradfgradfu选 D. （4）甲乙两人赛跑， 计时开始时， 甲在乙前方10 （单位： m）处，图中实线表示甲的速度曲线1( )vv t（单位：/m s） ，虚线表示乙的速度曲线2( )vv t，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追2 2 上甲的时刻记为0t（单位： s） ，则（）051015202530( )t s(/ )v m s10200000( )10( )1520( )25()25A tBtC tD t【答案】 B 【解析】从0 到0t这段时间内甲乙的位移分别为001200(t),(t),ttvdtvdt则乙要追上甲，则0210(t)v (t)10tvdt，当025t时满足，故选C. （5）设是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）()()22TTTTA EB EC ED E不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】 A 【解析】选项A,由()0TE得()0TEx有非零解，故0TE。

即TE不可逆 选项 B,由()1Tr得T的特征值为n-1 个 0，1.故TE的特征值为n-1 个 1， 2.故可逆其它选项类似理解6）设矩阵200210100021 ,020 ,020001001002ABC,则（）(),(),A ACBCB ACBCCACBCD ACBC与相似与相似与相似与不相似与不相似与相似与不相似与不相似【答案】 B 【解析】由()0EA可知 A 的特征值为2,2,1 3因为3(2)1rEA， A 可相似对角化，且100020002A由0EB可知 B 特征值为2,2,1. 因为3(2)2rEB， B 不可相似对角化，显然C 可相似对角化，AC，且 B 不相似于C （7）设,A B为随机概率，若0()1,0()1P AP B，则()()P A BP A B的充分必要条件是（）( )()()() ()()() ()()()()()A P B AP B AB P B AP B AC P B AP B AD P B AP B A【答案】 A 【解析】按照条件概率定义展开，则选项符合题意8）设12,(2)nXXXn为来自总体( ,1)N的简单随机样本，记11niiXXn，则下列结论中不正确的是（）22221122221( )()2()( )()()nininiiAXBXXCXXD n X服从分布服从分布服从分布服从分布【答案】 B 【解析】221222122221( ,1),(0,1)()( ),(1)()(1)C1( ,),()(0,1), () (1),()(0,2),(1),B2iniiniinXNXNXn AnSXXnX Nn XNn XDnXXN正确，正确，正确,故错误.由于找不正确的结论，故B 符合题意。

4 4 二、填空题：9 14 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 . (9) 已知函数21( )1f xx，则(3)(0)f=_ 【答案】(0)6f【解析】22220023211( )()( 1)11()( )( 1) 2 (21)(22)(0)0nnnnnnnnf xxxxxfxnnnxf(10) 微分方程230yyy的通解为y_ 【答案】12(cos 2sin2 )xyecxcx， （12,c c为任意常数）【解析】齐次特征方程为21,223012i故通解为12(cos 2sin2 )xecxcx(11) 若曲线积分221Lxdxaydyxy在区域22( , ) |1Dx yxy内与路径无关，则a_ 【答案】1a【解析】22222222,(1)(1)PxyQaxyyxyxxy由积分与路径无关知1PQayx(12) 幂级数111( 1)nnnnx在区间( 1,1)内的和函数( )S x_ 【答案】21( )1s xx【解析】1112111( 1)( 1)1(1)nnnnnnxnxxxx（13）设矩阵101112011A，123,为线性无关的3 维列向量组，则向量组123,AAA的秩为_5【答案】 2 【解析】由123,线性无关，可知矩阵123,可逆，故123123,r AAArArA再由2r A得123,2r AAA（14）设随机变量X的分布函数为4( )0.5( )0.5()2xF xx，其中( )x为标准正态分布函数，则EX_ 【答案】 2 【解析】0.54( )0.5 ( )()22xFxx，故0.540.5( )()22xEXxx dxxdx( )0 xx dxEX。

令42xt，则4()2xxdx=242( )8 14( )8tt dttt dt因此()2E X. 三、解答题：1523 小题，共94 分.请将解答写在答题纸指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . （15） （本题满分10 分）设函数( , )f u v具有 2 阶连续偏导数，(,cos)xyf ex，求0 xdydx，220 xd ydx【答案】2111200(1,1),(1,1),xxdyd yffdxdx【解析】01212100222111221221222111220(,cos)(0)(1,1)sin(1,1) 1(1,1) 0(1,1)( sin )( sin )sincos(1,1)(1,1)(1,1)xxxxxxxxxxyf exyfdyf efxfffdxd yf ef exf exfxf efxdxd yfffdx结论：102111220(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)xxdyfdxd yfffdx6 6 （16） （本题满分10 分）求21limln 1nnkkknn【答案】14【解析】211122 1020001111 11limln(1)ln(1)ln(1)(ln(1)2214nnkkkxxx dxx dxxxdxnnx（17） （本题满分10 分）已知函数( )y x由方程333320 xyxy确定，求( )y x的极值【答案】极大值为(1)1y，极小值为( 1)0y【解析】两边求导得：2233 33 0 xy yy（1）令0y得1x对（ 1）式两边关于x 求导得22663 3 0 xyyy yy（2）将1x代入原题给的等式中，得1110 xxoryy，将1,1xy代入（ 2）得(1)10y将1,0 xy代入（ 2）得( 1)20y故1x为极大值点，(1)1y；1x为极小值点，( 1)0y（18） （本题满分10 分）设函数( )f x在区间0,1上具有 2 阶导数，且0( )(1)0, lim0 xf xfx，证明：( )方程( )0f x在区间(0,1)内至少存在一个实根；()方程2( )( )( )0f x fxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。

答案】【解析】（I）( )f x二阶导数，0( )(1)0, lim0 xf xfx7解： 1）由于0( )lim0 xf xx，根据极限的保号性得0,(0, )x有( )0fxx，即( )0f x进而0(0,)0 xf有又由于( )f x二阶可导，所以( )f x在0,1上必连续那么( )f x在 ,1上连续，由( )0,(1)0ff根据零点定理得：至少存在一点( ,1)，使( )0f，即得证（II ）由（ 1）可知(0)0f，(0,1),( )0f使，令( )( )( )F xf x fx，则(0)( )0ff由罗尔定理(0,),( )0f使，则(0)( )( )0FFF，对( )F x在(0, ),( , )分别使用罗尔定理：12(0, ),( , )且1212,(0,1),，使得12()()0FF，即2( )( )( )( )0Fxf x fxfx在(0,1)至少有两个不同实根19） （本题满分10 分）设薄片型物体S是圆锥面22zxy被柱面22zx割下的有限部分，其上任一点的密度为2229xyz记圆锥面与柱面的交线为C( )求C在xOy平面上的投影曲线的方程；()求S的M质量。

答案】 64 【解析】（1）由题设条件知，C的方程为2222222zxyxyxzx则C在xoy平面的方程为2220 xyxz（2）8 8 2222222:22cos2202(x, y,z)99 221864ssD xyxmdSxyz dSxydxdydr dr（20） （本题满分11 分）设 3 阶矩阵123,A有 3 个不同的特征值，且3122 )证明( )2r A；()若123，求方程组Ax的通解答案】（I）略； （II）通解为1121 ,11kkR【解析】（I）证明：由3122可得12320，即123,线性相关，因此，1230A，即 A 的特征值必有0又因为 A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1 个 0，另外两个非0. 且由于 A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为1212,00( )()2r Ar（II ）由（ 1）( )2r A，知3()1r A，即0Ax的基础解系只有1 个解向量，由12320可得12311,22011A，则0Ax的基础解系为121，又123，即12311,1111A，则Ax的一个特解为111，综上，Ax的通解为1121 ,11kkR9（21） （本题满分11 分）设二次型222123123121323(,)2282f x xxxxaxx xx xx x在正交变换XQY下的标准型221122yy，求a的值及一个正交矩阵Q【答案】2212111326122;0,3636111326aQf xQyyy【解析】123(,)Tf x x xX AX，其中21411141Aa由于123(,)Tf x xxX AX经正交变换后，得到的标准形为221122yy，故214()2|01110241r AAaa，将2a代入，满足()2r A，因此2a符合题意，此时214111412A，则123214|11103,0,6412EA，由( 3)0EA x，可得 A 的属于特征值-3 的特征向量为1111；由(6)0EA x，可得 A 的属于特征值6 的特征向量为2101由(0)0EA x，可得 A 的属于特征值0 的特征向量为312110 10 令123,P， 则1360PA P， 由 于123,彼 此 正 交 ， 故 只 需 单 位 化 即 可 ：1231111, 1,1,1,0,1,1,2,1,326TTT，则12311132612036111326Q，360TQ AQ221236x Qyfyy（22） （本题满分11 分）设随机变量,X Y相互独立， 且X的概率分布为1(0)(2)2P XP X，Y的概率密度为201( )0,yyf y，其他( )求()P YEY()求ZXY的概率密度。

答案】,014(I);(II)( )2,239ZzzP YEYfzzz【解析】102302( ) ( )2324()。