求极限过程中洛必达法则的使用技巧.docx

          求极限过程中洛必达法则的使用技巧                    文中对极限运算中如何巧妙的使用好洛比达法则做了一些探讨，指出了初学者容易犯的错误，并提出了一些建议供大家参考关键词：极限、微积分、洛比达法则、不定式极限是高等数学中的一个极为重要的基础概念，对微积分的学习影响深远理工类专业的学生初次接触极限概念都难以准确理解和掌握，在使用极限运算法则求极限时经常出现运算错误，如：两个重要极限应用不恰当，洛必达法则使用不规范等下面只就求极限过程中如何正确使用洛必达法则做一些探讨一、若干重要的极限等式1. , 推广的形式为：2. ，推广的形式为：3. ，推广的形式为：其中 可以是一个代数式由上述极限还可以导出下面一些重要极限式：，同样它们也有类似的推广的形式二、洛必达法则的两个标准形态1. 型不定式定理1.若 在 或 内有定义，并满足（1） （或 ）， （或 ）；（2） 在 或 内可导，且 ；（3） （或 ）存在或为 ；则 （或 ）2. 型不定式定理2.若 在 或 内有定义，并满足（1） （或 ）， （或 ）；（2） 在 或 内可导，且 ；（3） （或 ）存在或为 ；则 （或 ）。

三、求极限举例例1.求解：本题极限形式是 型不定式，直接使用洛必达法则计算，则计算非常复杂，若先对表达式进行恒等变形，并结合拉格朗日中值定理，再适当使用洛必达法则计算就容易多了其中介于与之间，当时有）+=例2.求解：分母为无穷小因子的乘积，可以用相应的等价无穷小量替换有通过以上两个例题可以发现在求不定式极限时，不要一上手就立即使用洛必达法则，首先需要对所求极限表达式进行观察、分析与变形，然后再进行具体计算洛必达法则使用过程中要注意以下几点：1.只有 或 型不定式才能直接使用洛必达法则；2. 洛必达法则可连续使用，但每次使用该法则时必须检查表达式是否为 或 型；3.使用洛必达法则之前可以对表达式中的无穷小因子用较简便的等价无穷小替换，每用一次洛必达法则后，都要对表达式进行整理化简，如可以将其中乘积因子中的非零极限先行求出，使表达式得到化简或瘦身等，简化后续计算；4.当用洛必达法则求不出极限时，不能做出该表达式进行不存在的结论，只能说用洛必达法则求此极限失效，此时需采用其他方法求此极限四、洛必达法则使用误区及难点分析搞清楚洛必达法则使用条件是用好该法则的基本前提，以下是学生或初学者常犯错误。

例3.求解：此极限为 型不定式，于是用洛必达法则，得原式=在上式右端中，由于不存在，所以原极限不存在此处显然是误用了洛必达法则，在该法则中，若 存在或为 ，则有，若 不存在（也不是 ），就不能断定 不存在，大多数初学者都有这种错误理解此时应理解为洛必达法则失效，应改用其它方法来求其实本题可用如下方法求出===1 例4.设 在 内具有一阶导数，且 存在，试证明：证明：= =以上证明过程从表面看似乎很合理，但仔细研究，此处第二次使用洛必达法则就有明显的问题，题中只给出存在，并没有给出在 内具有二阶导数，更看不出在处连续，上述解法当然错误正确的做法是：由于 存在，即有： ，于是=五、结语极限运算是高等数学中的一种基本运算，贯彻微积分学的始终从以上例题分析，极限运算特别是洛比达法则应用于求极限时，一定要检查相应条件是否满足同时在求极限时要善于对表达式进行重组，并及时地进行分项运算，从而简化表达式参考文献】[1]景慧丽,李应岐.“以学员为中心”理念下一道求函数极限题目的解法探讨[J].河南教育学院学报(自然科学版),2020,29(04):42-45.[2]张金生.谈谈高考中用“高等数学知识”和“二级结论”答题的那些事[J].高中数理化,2020(20):25-26.[3]纪定春,曾小华,唐蓓蕾.高等数学视角下高考压轴题的背景探究——以近年的导数压轴题为例[J].上海中学数学,2020(09):33-36+41.[4]苏艺伟.从2020年福建省质检导数压轴题谈求参数取值范围[J].数理化学习(高中版),2020(09):35-38.[5]王文宏.给我一个空间，还你一片精彩——一道试题讲评所引发的教学思考[J].教学考试,2019(47):76-79.[6]苏长鑫.基于等价无穷小及导数定义的洛必达法则的简洁证明及几何意义[J].智库时代,2019(43):232+287.[7]刘薇,沈恒,顾建伟.一次说题的尝试——以2018年浙江导数试题为例[J].中学数学,2019(15):3-6.[8]于平洋.让探究成为一种素养——对一道函数与导数题的解法探究[J].试题与研究,2019(18):138.[9]桂校生.借洛必达之光 解高考题之难——由2014年高考数学北京理科卷第18题引发的思考[J].数学学习与研究,2019(10):91+94.[10]杨育池.致思辨古音 细研识蹊径——对2018年全国卷(Ⅲ)导数压轴题的研究思考[J].数学通讯,2019(06):19-23+28.[11]李波,张晓斌,陈艳艳.曲径通幽 拨云见日——对一道导函数含参题解法的探究[J].中学数学月刊,2019(02):55-58.[12]张金生.我命我超纲,你用你高明——对用高等数学知识解答高考题的一点反思[J].中学数学研究,2018(09):46-48.[13]罗光俊.导数的应用——洛必达法则求极限之高职教学探讨[J].考试周刊,2018(55):72-73.[14]董保珠,汲守峰.浅谈高等数学的微课教学设计——以“洛必达法则的证明及其应用”为例[J].科技视界,2018(16):134+129.[15]杨刚.用洛必达法则巧解“恒成立时参数取值范围”型高考压轴题[J].数学教学通讯,2018(12):79-80.[16]甘大旺.用洛必达法则和公切线简解2017年高考理数卷Ⅰ导数题[J].高中数理化,2017(17):2.[17]李仲青.2015年高考福建理科卷压轴试题解法探究——洛必达法则在压轴题中的解题应用[J].数理化解题研究,2017(10):8-9.[18]布仁白乙拉,苏雅拉图.某些含有Dini导数的微分中值定理“中间点”的渐近性[J].井冈山大学学报(自然科学版),2017,38(02):25-29.[19]季长征.倾听学生 反思教学 方能提高——由一道无法分离参变量的题引发的教学思考[J].中学数学,2016(13):4-7.[20]李云杰.将高等数学知识融于教研中——以泰勒公式,洛必达法则为例[J].福建中学数学,2016(06):20-24.（本文获湖南省教育厅教改项目资助，项目编号：HNJG-2020-0807.）  -全文完-。