第十章能量法I.ppt

能量法能量法I-I-静定结构变形计算静定结构变形计算四、图形互乘法四、图形互乘法二、卡氏第二定理二、卡氏第二定理三、单位力法三、单位力法能量法能量法I-I-静定结构变形计算静定结构变形计算一、杆件的应变能一、杆件的应变能 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能弹性应变能，简，简称称应变能应变能 ( (又称又称变形能变形能) ) 一、杆件的应变能一、杆件的应变能 物体在外力作用下发生变形，物体的变形物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即移上所做的功，即★★ 杆件应变能计算杆件应变能计算1 1、轴向拉伸和压缩、轴向拉伸和压缩一般地一般地2 2、扭转、扭转一般地一般地3 3、弯曲、弯曲一般地一般地纯弯曲：纯弯曲：横力弯曲时剪力影响：横力弯曲时剪力影响：•一般地一般地 对横力弯曲的梁，截面上弯矩和剪力，当高跨对横力弯曲的梁，截面上弯矩和剪力，当高跨比较大（长梁）时，比较大（长梁）时，剪切变形能影响较小，可忽剪切变形能影响较小，可忽略不计略不计，对短梁应考虑剪切变形的影响。

对短梁应考虑剪切变形的影响长梁应变能：长梁应变能：组合变形应变能：组合变形应变能： 对于线弹性体，其应变能对某一荷载对于线弹性体，其应变能对某一荷载 的偏的偏导数，等于该荷载的相应位移导数，等于该荷载的相应位移ΔΔi 用卡氏第二定理求结构某处的位移时，用卡氏第二定理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的荷载该处需要有与所求位移相应的荷载 如需计算某处的位移，而该处并无与位如需计算某处的位移，而该处并无与位移对应的荷载，则可采取移对应的荷载，则可采取附加力法附加力法二、卡氏第二定理二、卡氏第二定理卡氏第二定理应用于计算卡氏第二定理应用于计算梁梁的截面转角和挠度的截面转角和挠度计算梁截面转角计算梁截面转角计算梁的截面挠度计算梁的截面挠度例例2 2图示平面折杆图示平面折杆AB与与BC垂直，在自由端垂直，在自由端C受集中受集中力力P作用已知各段弯曲刚度均为作用已知各段弯曲刚度均为EI, ,拉伸刚度为拉伸刚度为EA 试用卡氏第二定理求截面试用卡氏第二定理求截面C的水平位移和铅的水平位移和铅垂位移A AC CB BPaaA AC CB BP解：解：1.计算计算C处铅垂位移处铅垂位移任意截面弯矩方程任意截面弯矩方程,轴力方程轴力方程为为( )2.计算计算C处水平位移处水平位移( )*三、单位力法三、单位力法（单位载荷法）（单位载荷法）对于梁对于梁,弯矩应用弯矩应用完全叠加法完全叠加法表示表示应用卡氏第二定理应用卡氏第二定理应变能应变能对于梁对于梁,有有莫尔积分莫尔积分对应于对应于去掉去掉原结构中外力原结构中外力,只在只在i处处加相应单位力加相应单位力后的弯矩方程后的弯矩方程对应于对应于原结构原结构的弯矩方程的弯矩方程。

● ●计算梁截面转角时计算梁截面转角时,加单位力偶矩加单位力偶矩1● ●计算梁截面挠度时计算梁截面挠度时,加单位集中力加单位集中力1对于组合变形时对于组合变形时,推广为推广为对于平面桁架对于平面桁架对应于对应于去掉去掉原结构中外力原结构中外力,只在只在i处处加相应单位力加相应单位力后的弯矩方程后的弯矩方程例例3.3.已知悬臂梁长为已知悬臂梁长为l, ,弯曲刚度为弯曲刚度为EI , , 受力大受力大小为小为F , ,计算自由端计算自由端B处挠度和转角处挠度和转角解：解：1.计算计算B处挠度处挠度( )2.计算计算B处转角处转角( )*四、图形互乘法四、图形互乘法 在应用莫尔积分求在应用莫尔积分求梁梁位移时，需计算下列位移时，需计算下列形式的积分：形式的积分： 对于等直杆，对于等直杆，EI=const=const，，可以提到积分号可以提到积分号外，故只需计算积分外，故只需计算积分直杆直杆 图必定是直线或折线图必定是直线或折线图图分段面积分段面积图图形心形心图图中对应于中对应于C下纵坐标下纵坐标在在平面刚架平面刚架, ,组合结构组合结构时，用下列形式计算时，用下列形式计算注意注意: : 分段必须为分段必须为直线段直线段★★在取面积的图中找形心在取面积的图中找形心, ,另图找对应的纵坐标另图找对应的纵坐标 M分段为直线段时分段为直线段时, ,也可以也可以★★找纵坐标的图必须为找纵坐标的图必须为直线段直线段 顶点顶点顶点顶点二次抛物线二次抛物线★★参考用图参考用图 例例4.4.已知悬臂梁长为已知悬臂梁长为l, ,弯曲刚度为弯曲刚度为EI , , 受分布受分布力集度为力集度为q , ,计算自由端计算自由端B处转角。

处转角解：解：1.画画M图图2.画画 图图(请同学画出请同学画出)(请同学画出请同学画出)3. 图乘图乘练习题1.1.已知悬臂梁长为已知悬臂梁长为l, ,弯曲刚度为弯曲刚度为EI , , 受力大小受力大小为为F , ,用图乘法计算自由端用图乘法计算自由端B处挠度和转角处挠度和转角(↓)2.2.已知悬臂梁长弯曲刚度为已知悬臂梁长弯曲刚度为EI , , 受力如图受力如图 , ,用用图乘法计算自由端图乘法计算自由端B处挠度和转角处挠度和转角叠加法叠加法3.3.已知悬臂梁长弯曲刚度为已知悬臂梁长弯曲刚度为EI , , 受力如图受力如图 , ,用卡氏用卡氏第二定理计算自由端第二定理计算自由端B处挠度时，有（处挠度时，有（ ）A.A.弯矩方程不分段弯矩方程不分段B.B.弯矩方程分二段后，用卡氏第二定理，应变能弯矩方程分二段后，用卡氏第二定理，应变能要对要对 F 求导C.C.弯矩方程分二段写时，可令弯矩方程分二段写时，可令B B处的力为处的力为 ，，用用卡卡氏第二定理，应变能要对氏第二定理，应变能要对 求导D.D.以上均错以上均错FFll4.4.已知杆拉伸刚度为已知杆拉伸刚度为EA, , 则应变能大小为（则应变能大小为（ ）。

A.A.B.B.C.C.D.D.5.5.已知杆拉伸刚度为已知杆拉伸刚度为EA , , 应变能大小为应变能大小为 , ,则则代表的意义为（代表的意义为（ ) )FFll6.6.已知杆件拉伸刚度为已知杆件拉伸刚度为EA , ,弯曲刚度为弯曲刚度为EI , ,忽略剪忽略剪切切应变能，总应变能大小为（应变能，总应变能大小为（ ）FFl7.7.已知杆件拉伸刚度为已知杆件拉伸刚度为EA , ,弯曲刚度为弯曲刚度为EI , , 设自由设自由端单独竖向力作用时位移为端单独竖向力作用时位移为f，单独水平力作用时，单独水平力作用时位移为位移为v，，忽略剪切对变形影响忽略剪切对变形影响，总应变能大小为（，总应变能大小为（ ）FFlA.A.B.B.C.C.D.D.以上均错误以上均错误m2llm17.7.已知梁已知梁弯曲刚度为弯曲刚度为EI , ,m1 1= =m2 2，， 设自由端单独设自由端单独力偶作用时转角为力偶作用时转角为θ2 2, ,中部单独力偶作用时，转中部单独力偶作用时，转角为角为θ1 1 ，则，则总应变能大小为（总应变能大小为（ ）。

A.A.B.B.C.0C.0D.D.以上均错误以上均错误8.8.已知杆拉伸刚度为已知杆拉伸刚度为EA, , ，先作用，先作用 ，再作用，再作用 则则 做的功大小为（做的功大小为（ ）F1F2ll。