高中数学：函数的极值和最值.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,函数的极值和最值,,本节内容提要:,一、极值及其求法,,1.极值的定义,,2.极值存在的必要条件和充分条件,二、最大值与最小值,,本节重点,:,,极值的定义,极值存在的必要条件和充分条件,求极值的方法,求最值的方法,,,,本节难点,:,,极值和最值的关系,极值点和驻点,、,不可导点之间的关系, 求极值和最值的方法,,,一、极值及其求法,,1.极值的定义:,,定义:设,y=f(x),在 某一邻域内有定义,如果对于该邻域内异于 的任意点,x,都有:,,(1),f(x)< f( ),,则称,f( ),为,f(x),的极大值, 称为,f(x),的极大值点;,,(2),f(x)> f( ),,则称,f( ),为,f(x),的极小值, 称为,f(x),的极小值点;,,极大值,极小值统称为极值;极大值点,极小值点统称为极值点.,,注: (1) 极值是局部概念,极值不一定是最值;,,(2) 极值不唯一,,极大值不一定比极小值大,,2.极值存在的必要条件和充分条件:,(1)必要条件,,定理 若函数,f(x),在 可导,且在 处取得极值,则,,注：极值点是驻点或不可导点，反之不成立。

例,x=0,是函数 的驻点而非极值点;,,,（2）极值存在的第一充分条件,,定理：设函数,f (x),在点 的某一邻域内可导且,,(1)若,x<,时， ;当,x>,时 ,则,f (x),在点 处取得极大值,f ( ),,(2),若,x<,时， ;当,x>,时， , 则,f (x),在点 处取得极小值,f ( ),,(3）,若,x,从 的左侧变化到右侧时， 不变号，则,f (x),在 处无极值.,,注：此定理也可以判断不可导点是否为极值点,,,x,(-∞,0),0,(0,1),1,(1,+∞),,+,不存在,-,0,+,y,↗,极大值0,↘,极小值-3,↗,函数有极大值,f(0)=0,极小值,f (1)=-3,,（3）第二充分条件,,定理：设,f (x),在点 的某邻域内一阶可导，,,在,x=,处二阶可导，且 , , (1)若 ,则,f(x),在点 取得极大值,,(2)若 ,则,f(x),在点 取得极小值。

x,(-∞,-1),-,1,(-1,3),3,(3,+∞),,+,0,-,0,+,f(x),↗,极大值10,↘,极小值-22,↗,,二、最大值与最小值,,1.设,f(x),在[,a,b],上连续，则,f(x),在[,a,b],上必有最值,,,求最值的方法：,,①求,,②求出,f(x),在[,a,b],内的所有驻点和不可导点 (,i=1,2,…n),,③,求,f(a),f(b),f( ),,其中最大(小)的即为,f(x),在[,a,b],上的最大(小)值2．,f(x),在某区间内可导且只有一个驻点，根据实际问题的性质知,f(x),的最大（小）值一定存在，则在驻点处取得最值例4从一块边长为,a,的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后沿虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子，问要截去多大的小方块，可使盒子的容积最大？,解：设小正方形的边长为,a,,盒子的容积,,函数在定义区间驻点唯一，由问题性质知最大容积一定存在，,,所以，当正方形的边长为 ，即从四角各截去一边长为 的小正方形，可使盒子的容积最大,,例5：一张1.4米高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛1.8米，问观察者应站在据墙多远处看图才清楚，（即视角最大）？,,返回,,。