同济大学高等数学考研复习讲义.pdf

专业课复习资料（最新版）专业课复习资料（最新版） 封封 面面 一、一、 引入实例 二、 引入实例 二、 函数的定义 三、 函数的定义 三、 函数的几种简单性态 四、 函数的几种简单性态 四、 反函数 五、 反函数 五、 显函数和隐函数 六、 显函数和隐函数 六、 基本初等函数 七、 基本初等函数 七、 初等函数和复合函数初等函数和复合函数 函数的概念函数的概念 一、一、 引入实例引入实例 ht距离，可以很容易求出下降如果知道了下降时间 2 2 1 gth 是重力加速度其中g 例例1 例例2 2 rA 的关系是和下降时间降距离在自由落体运动中，下th 的关系是和半径在一个圆当中，面积rA Ar，可以求出面积如果知道了圆的半径 在这些变量中，有些量叫自变量；对自变量的变化范围内， 每一个确定的值，通过依赖关系，总能得到一个因变量值 二、二、 函数的定义函数的定义 的函数，记作上的义在 是定与之对应，则称，都有确定的实数个对应法则 ，按照某中的每一个于是非空实数集，如果对设 xD yyf xDD )(xfy  0 )( )( )( 0 00 0 xx yxf xxxfy xfyx    或值，记作叫做函数在该点的函数 的对应值有定义。

函数在点在点函数 则称的定义域中的一个值，是函数如果 定义：定义： 因变量因变量 自变量自变量 对应法则对应法则 做函数的值域对应的函数值的全体叫 值时，在定义域内取每一个数当自变量x D定义域M值域 0 x )( 0 xf x)(xf f对应法则 f对应法则 例如：例如：  算术平方根减去自变量的平方再取对应法则是 ，，值域是的定义域是函数 9 3 , 03 , 39)( 2 xxf 注意：注意： 以前的学习是不一样的多个因变量，这与我们 以是一个自变量对应着高等数学里面的函数可 三、三、 函数的几种简单性态函数的几种简单性态 1. 奇偶性奇偶性 为偶函数，则称，恒有对于若 为奇函数；，则称，恒有对于若 )()()()( )()()()( xfxfxfDxxfy xfxfxfDxxfy   奇函数偶函数 )(xfy  A A x O x y x )(xfy  A A x O x y x 轴对称称；偶函数图像关于奇函数图像关于原点对y 2. 单调性单调性 叫做单调减区间 上单调减少，，则称此函数在时，有当 I Ixfxfxx)()( 2121  ，、上任意两点对于区间如果函数 21 )(xxIxfy  叫做单调增区间 上单调增加，，则称此函数在时，有当 I Ixfxfxx)()( 2121  )(xfy  )( 1 xf )( 2 xf x y o I )(xfy  )( 1 xf )( 2 xf x y o I 增函数减函数增函数减函数 3. 周期性周期性 的周期叫做为周期函数，其中则称 ，，且恒有，必有使得对于 ，，若存在一个常数对于函数 )()( )()( 0)( xfTxfy xfTxfDTxDx Txfy    -10-5510 -1 -0.5 0.5 1 所画的正弦函数使用aMathematic 4. 有界性有界性 ，，都有，使得对于个正数 上有定义，如果存在一在区间设函数 MxfDxM Ixfy   )( )( 上的无界函数为无界，也称否则称 上的有界函数；为上有界，也称在则称函数 Ixfxf IxfIxf )()( )()( 注意：有界性是依赖于区间的注意：有界性是依赖于区间的 内有界内无界，但在在例如，函数)2 , 1 () 1 , 0( 1 x y  四、四、 反函数反函数 值与之对应，则其对应的唯一的中有使值，在 中的每一个，若对于，值域为的定义域为设 xxfyDy MMDxfy )( )(   它们互为反函数。

的反函数，或称上的函数叫做，这个定义在法则记作)( 1 xfyMf  DMxyxfy MDyxxfy ，值域，定义域，因变量，自变量函数 ，值域，定义域，因变量，自变量函数 )( )( 1   的反函数是互换，即、习惯上，)()( 1 xfyxfyyx  x y o )(xfy  )( 1 xfy   ),(yx ),(xy 对称关于直线和从图像上来看，xyxfyxfy  )()( 1 五、五、 显函数和隐函数显函数和隐函数 等，例如 则称该函数为显函数成如果函数的解析式能写 xyxy xfy lnsin )(   值存在，足该方程的惟一一个个值时，相应地总有满 在某一区间内取任意一中，当如果在方程 y xyxF0),( 所确定的隐函数是由方程则称 ，满足从而确定一个函数 0),()( ]0))(,()[(   yxFxfy xfxFxfy 1ln1 01 3 3   yxyxy yx 显函数，如；有些隐函数难以化为 可化为函数，如有些隐函数可以化为显 六、六、 基本初等函数基本初等函数 cy 常数函数 x y O cy  ，只有一个函数值函数定义域为R )0(  xy幂函数 为减函数时，为增函数；时，内当在 ，中都有定义；经过点而不同，但在随着    xx00), 0( ) 1 , 1 (), 0(   o x y x y 1  2 xy xy  xy  ) 1 , 1 ( ) 1, 0(aaay x 指数函数 为增函数时，为减函数；当时，当 。

轴上方，且都过点图形在 xx aaaa x 110 ) 1 , 0(  -2-112 1 2 3 4 ) 10 (aay x) 10(aay x 2468 -3 -2 -1 1 2 3 )1(logaxy a )10(logaxy a ) 10(logaaxy a 且对数函数 为减函数为增函数；当时，时，当 轴右侧，且过点图像在 xyxya y aa loglog0 )0 , 1 (  Rxy，定义域为正弦函数sin 11 2 yy，上界为且下界为 为周期的奇函数，是以 -4-224 -1 -0.5 0.5 1 Rxy，定义域为余弦函数cos 11 2 yy，上界为且下界为 为周期的偶函数，是以 -4-224 -1 -0.5 0.5 1 Zkkkxy，，定义域为正切函数) 2 , 2 (tan     内是增函数在 义域上无界，为周期的奇函数，在定是以 ) 2 , 2 (      kk -6-4-2246 -30 -20 -10 10 20 30 Zkkkxy，，定义域为余切函数),(cot 内是减函数在 义域上无界，为周期的奇函数，在定是以 ),(  kk -6-4-2246 -30 -20 -10 10 20 30 Zkkkxy，，定义域为正割函数) 2 , 2 (sec     义域上无界为周期的偶函数，在定是以 -6-4-2246 -15 -10 -5 5 10 15 Zkkkxy，，定义域为余割函数),(csc 义域上无界为周期的偶函数，在定是以 -6-4-2246 -15 -10 -5 5 10 15 ] 2 , 2 [] 1 , 1[arcsin  ，值域为，定义域为反正弦函数xy 周期单调递增，奇函数，无的反函数，在定义域上是xysin -1-0.50.51 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 ], 0[] 1 , 1[arccos，值域为，定义域为反余弦函数xy 无周期单调递减，非奇非偶，的反函数，在定义域上是xycos -1-0.50.51 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ) 2 , 2 (arctan  ，值域为，定义域为反正切函数Rxy 22 tan    yy xy ，下界奇函数，无周期，上界 单调递增，的反函数，在定义域上是 ), 0(cot，值域为，定义域为反余切函数Rxarcy  0 cot   yy xy ，下界界非奇非偶，无周期，上 单调递减，的反函数，在定义域上是  七、七、 复合函数与初等函数复合函数与初等函数 称为中间变量其中， 的复合函数。

为的函数，称的联系成为通过定义域内，那么 的的值域包含在函数，且函数，而设    xyxy fxxfy)()()()( 复合函数：复合函数： 是经过多次复合产生的 些中间变量间变量可以有多个，这就不行；复合函数的中 和构成复合函数，如并非任意两个函数都能 2 lnxy 注意：注意： 初等函数：初等函数： 等函数析式表示的函数成为初所构成的并可用一个解 复合限次四则运算和有限次由基本初等函数经过有 ，也不是复合函数取绝对值不是四则运算 数，这是因为，这并非是一个初等函初等函数，如 但未必是个解析式而且很简单，有些函数看起来只有一 xy  数函数而实际上是初等函 不是初等来分成几段表示，好像相反的，有些函数看起 例题：将下列函数进行分解例题：将下列函数进行分解 x xy xyxy   、 、 、 3 )]ln[sin(cos2sin11 3 xxey exy xy xy xxx ln, 3 cos,sin,ln2 sin,1,1 ln 3         、 、 、解：  分段函数：分段函数： 的函数称为分段函数 子分段表达，函数关系用不同的式把定义域分成若干部分                   01 00 01 sgn x x x xy 当 当 当 当 当 当 例如示性函数惑称为符号函数例如示性函数惑称为符号函数 1 -1 x y o 小小 结结 函数是高等数学里面最重要的概念之一，也是 高等数学的主要研究对象。

本节我们学习了函 数的定义及其相关的概念；了解了函数的一些 简单性态，即奇偶性、单调性、有界性和周期 性；接触了反函数、显函数和隐函数的的定义 理解了基本初等函数、基本函数和复合函数， 以及学习了复合函数的分解 函数是高等数学里面最重要的概念之一，也是 高等数学的主要研究对象本节我们学习了函 数的定义及其相关的概念；了解了函数的一些 简单性态，即奇偶性、单调性、有界性和周期 性；接触了反函数、显函数和隐函数的的定义 理解了基本初等函数、基本函数和复合函数， 以及学习了复合函数的分解 函数的分类函数的分类: 函数函数 初等函数 非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数) 初等函数 非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数) 代数函数 超越函数 代数函数 超越函数 有理函数 无理函数 有理函数 无理函数 有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数) 有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数) 一、一、 引入问题 二、 引入问题 二、 数列极限的定义 三、 数列极限的定义 三、 函数极限的定义函数极限的定义 极极 限限 一、一、 引入问题引入问题 零逐渐变小，无限接近于无限增加时，的函数，在时间间 是时转速机，当切断电源后，其：一部正在运行的电动问题   tt 1 积？的圆，我们如何求其面：对于一个半径为问题R2 O  R R ? 2 2 2 算为。

那么圆的面积可否计 ，面积为，高为角形，其底为 扇形看作是三非常小时，可把每个小 圆心角分成若干个小扇形，当将圆          RR S RR RR O 问题问题3： 庄子曾说过： ： 庄子曾说过：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭 ; 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ; 2 1 1 2 2 2 1 n n Xn X X     天截下的杖长总和为第 为。