精编数学学案同步精致讲义选修21北师大版：第二章　空间向量与立体几何 疑难规律方法 第二章 Word版含答案.doc

精编北师大版数学资料1　空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算．第1层　用已知向量表示未知向量例1　如图所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和.解　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋×(＋)＝＋＋；＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋×(＋)＝＋＋.点评　用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．第2层　化简向量例2　如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD.设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．(1)＋(＋)；(2)－(＋)．解　(1)＋(＋)＝＋＋＝＋＋＝.(2)－(＋)＝－＝.，，如图所示．点评　要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则．第3层　证明立体几何问题例3　如图，已知M，N分别为四面体ABCD的平面BCD与平面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．证明　设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c＝.∴∥，即B，G，N三点共线．2　空间向量易错点扫描易错点1　对向量夹角与数量积的关系理解不清例1　“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)错解　a·b<0⇔cos〈a，b〉＝<0⇔〈a，b〉为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的充要条件．错因分析　错解中忽略了两个向量共线且反向的情况．剖析　当〈a，b〉＝π时，a·b<0，但此时夹角不为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件．正解　必要不充分总结　a·b<0⇔a与b的夹角为钝角或a与b方向相反，a·b>0⇔a与b夹角为锐角或a与b方向相同．易错点2　判断是否共面出错例2　已知O，A，B，C为空间不共面的四点，a＝＋＋，b＝＋－，则与a，b不能构成空间的一个基底的是(　　)A. B.C. D.或错解　a＝＋＋，b＝＋－，相加得＋＝(a＋b)，所以，都与a，b共面，不能构成空间的一个基底，故选D.剖析　＋＝(a＋b)，说明＋与a，b共面，但不能认为，都与a，b共面．对A，B：设＝xa＋yb，因为a＝＋＋，b＝＋－，代入整理得(x＋y－1)＋(x＋y)＋(x－y)＝0，因为O，A，B，C四点不共面，所以，，不共面，所以x＋y－1＝0，x＋y＝0，x－y＝0，此时，x，y不存在，所以a，b与不共面，故a，b与可构成空间的一个基底．同理a，b与也可构成空间的一个基底．对C：因为a＝＋＋，b＝＋－，相减有＝(a－b)，所以与a，b共面，故不能构成空间的一个基底．正解　C易错点4　混淆向量运算和实数运算例4　阅读下列各式，其中正确的是(　　)A．a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝cB．a·b＝0⇒a＝0或b＝0C．(a·b)·c＝a·(b·c)D.·＝||||cos(180°－∠AOB)错解　A(或B或C)剖析　想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错．向量的数量积运算不满足消去律，结合律，故A，C错误；a·b＝0⇒a＝0或b＝0或a⊥b，故B错误；·的夹角是180°－∠AOB.正解　D易错点4　忽略建系的前提例4　四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AE＝2，F为CE中点，试建立合理的坐标系，求，夹角的余弦值．错解　以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz.此时＝(1,1,1)，＝(0,2,0)，所以cos〈，〉＝.剖析　空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB与AD不垂直．正解　设AC，BD交于点O，则AC⊥BD.因为F为CE中点，所以OF∥AE，因为AE⊥平面ABCD，所以OF⊥平面ABCD，OF⊥AC，OF⊥BD，以O为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.此时＝(1,0,1)，＝(1，，0)，所以cos〈，〉＝.易错点5　求空间角时，因对所求角与向量夹角的关系不理解致误例5　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求平面ABD1与平面BD1C的夹角的大小．错解　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)．由题意知是平面ABD1的一个法向量，＝(－1,0，－1)，是平面BCD1的一个法向量，＝(0,1,1)，所以cos〈，〉＝＝－，所以〈，〉＝120°.所以平面ABD1与平面BD1C夹角的大小为120°.剖析　利用向量法求所成角问题，需注意所求的角的取值范围．正解　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)．由题意知＝(－1,0，－1)是平面ABD1的一个法向量，＝(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量．所以cos〈，〉＝＝－，所以〈，〉＝120°.所以平面ABD1与平面BD1C夹角的大小为60°.3　空间直角坐标系构建三策略利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如．1．利用共顶点的互相垂直的三条棱例1　已知在直四棱柱中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠DAB为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，试求直线BC1与CD夹角的余弦值．解　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，所以＝(－2，－3,2)，＝(0，－1,0)．所以cos〈，〉＝＝.故直线BC1与CD夹角的余弦值为.点评　本例以直四棱柱为背景，求直线与直线的夹角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两直线的方向向量的夹角即可．2．利用线面垂直关系例2　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，E为棱C1C的中点，已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．解　过B点作BP垂直于BB1交C1C于P点，因为AB⊥平面BB1C1C，所以BP⊥平面ABB1A1，以B为坐标原点，分别以BP，BB1，BA所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz，如图．因为AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝，所以CP＝，C1P＝，BP＝，则各点坐标分别为B(0，0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C，C1，E，A1.点评　空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB⊥平面BB1C1C”，可作为建系的突破口．3．利用面面垂直关系例3　如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如图2)，连接BC，BD.求平面ABE与平面BCD夹角的大小．解　取AE中点M，连接BM，DM.因为在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，所以△ABE与△ADE都是等边三角形，所以BM⊥AE，DM⊥AE.又平面BAE⊥平面AEC，所以BM⊥MD.以M为坐标原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Mxyz，如图，则E(1,0,0)，B(0,0，)，C(2，，0)，D(0，，0)，所以＝(2,0,0)，＝(0，，－)，设平面BCD的法向量为m＝(x，y，z)，由取y＝1，得m＝(0,1,1)，又因为平面ABE的一个法向量为＝(0，，0)，所以cos〈m，〉＝＝，所以平面ABE与平面BCD夹角为45°.点评　本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面夹角的大小．　　　　　　　　　　　　　　　4　用向量法研究“动态”立体几何问题“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活．本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法宝——向量法，教你如何以静制动．1．求解、证明问题例1　在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.证明　以O为坐标原点，OA，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设AE＝BF＝x(0≤x≤G)，∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)．∵·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，∴⊥，即A1F⊥C1E.2．定位问题例2　如图，已知四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，在DG上是否存在点M，使得直线MB与平面BEF的夹角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．解题提示　假设存在点M，设平面BEF的法向量为n，设BM与平面BEF所成的角为θ，利用sinθ＝求出点M的坐标，若满足条件则存在．解　因为四边形CDGF，ADGE均为正方形，所以GD⊥DA，GD⊥DC.又DA∩DC＝D，DA，DC?平面ABCD，所以GD⊥平面ABCD.又DA⊥DC，所以DA，DG，DC两两互相垂直．如图，以D为坐标原点，DA，DC，DG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)．因为点M在DG上，假设存在点M(0,0，t)(0≤t≤1)使得直线BM与平面BEF的夹角为45°.设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)．因为＝(0，－1,1)，＝(。