2019版一轮优化探究理数第五章第三节平面向量的数量积及平面向量应用举例练习.doc

苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习1一、填空题1．已知点 A(－1,0)、B(1,3)，向量 a＝(2k－1,2)，若⊥a，则实数 k 的值为AB→________．解析：＝(2,3)，a＝(2k－1,2)，由⊥a 得 2×(2k－1)＋6＝0，解得 k＝－1.AB→AB→答案：－12．已知 A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC 的形状是________．解析：＝(1,1)，＝(－3,3)，知·＝0，AB→AC→AB→AC→故△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形3．设 O 为△ABC 的外心，OD⊥BC 于 D，且||＝，||＝1，则·(－AB→3AC→AD→AB→)的值是________．AC→解析：由已知，D 为 BC 的中点，＝ (＋)，AD→12AB→AC→∴·(－)＝ (＋)·(－)AD→AB→AC→12AB→AC→AB→AC→＝ (||2－||2)＝1.12AB→AC→答案：14．设向量 a＝(cos 55°，sin 55°)，b＝(cos 25°，sin 25°)，若 t 是实数，则|a－t b|的最小值为________．解析：因为|a－t b|＝＝＝，a－t b2|a|2＋|t b|2－2t a·b1＋t2－2ta·b而 a·b＝(cos 55°，sin 55°)·(cos 25°，sin 25°)＝cos 55°×cos 25°＋sin 55°×sin 25°＝cos (55°－25°)＝，32所以|a－t b|＝＝1＋t2－2t a·bt2－ 3t＋1苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习2＝，故|a－t b|的最小值为 .t－322＋1412答案：125．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是________．解析：a·b 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上的投影的乘积，而cos〈a，b〉＝＝－ ，∴|a|·cos〈a，b〉＝6×(－ )＝－4.a·b|a|·|b|2323答案：－46．已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj 且 a 与 b 的夹角为锐角，则实数 λ 的取值范围是________．解析：a·b＝(i－2j)·(i＋λj)＝1－2λ>0，λ0，∴a＝kb(k>0)，i－2j＝k(i＋λj)，∴Error!∴λ＝－2，∴a、b 夹角为锐角的 λ 的取值范围是(－∞，－2)∪(－2， )．12答案：(－∞，－2)∪(－2， )127．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若·＝·＝1，那么 c＝________.AB→AC→BA→BC→解析：由题知·＋·＝2，即·－·＝·(＋)＝()AB→AC→BA→BC→AB→AC→AB→BC→AB→AC→CB→AB→2＝2⇒c＝||＝.AB→2答案：28．已知单位向量 a，b 满足|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)，则 a·b 的最小值为3________．苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习3解析：把|ka＋b|＝|a－kb|两边平方并化简得 a·b＝＝ (k＋ )3k2＋14k141k≥ (∵k>0)．故 a·b 的最小值为 .1212答案：129．已知△ABO 三顶点坐标为 A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．AP→OA→BP→OB→OP→AB→解析：由已知得(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，且(x，y－2)·(0,2)＝2 (y－2)≥0，即x≤1 且 y≥2，所以·＝(x，y)·(－1,2)＝－x＋2y≥－1＋4＝3.OP→AB→答案：3二、解答题10．已知向量 a＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.(1)求|a|2＋|b|2的值；(2)若 a⊥b，求 θ；(3)若 θ＝，求证：a∥b.π20解析：(1)因为|a|＝，cos2λθ＋cos2[10－λθ]|b|＝，sin2[10－λθ]＋sin2λθ所以|a|2＋|b|2＝2.(2)因为 a⊥b，所以 cos λθ·sin (10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0.所以 sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以 sin 10θ＝0，所以 10θ＝kπ，k∈Z，所以 θ＝，k∈Z.kπ10(3)证明：因为 θ＝，所以π20cos λθ·sin λθ－cos(10－λ)θ·sin (10－λ)θ苏教版 2019 版高三数学一轮优化探究练习4＝cos ·sin －cos( －)·sin( －)λπ20λπ20π2λπ20π2λπ20＝cos ·sin －sin ·cos ＝0，λπ20λπ20λπ20λπ20所以 a∥b.11．设两个向量 e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与 e2的夹角为 ，若向量π32te1＋7e2与 e1＋te2的夹角为钝角，求实数 t 的范围．解析：由向量 2te1＋7e2与 e1＋te2的夹角为钝角，得<0，2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2|·|e1＋te2|即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化简即得 2t2＋15t＋7<0，解得－7