圆锥曲线题型总结：最值问题的转化【精品】.pdf

陈爱梅老师资料版权所有1 课题 3：圆锥曲线中最值问题的转化求解最值问题的大体思考方法是几何法，常用工具是圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论； 二是代数法， 将圆锥曲线中的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用函数的单调性、均值不等式或三角函数的有界性等知识来求解. 一、焦点间的相互转化（核心用三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）1. 设椭圆12222byax（ab0） ，F1,F2分别为椭圆的左右焦点，P（x0,y0）为平面内的一个定点， M为椭圆上的任意一点若定点P（x0,y0）在椭圆内部，则2a-1PF2MF+MP2a+1PF若定点P（x0,y0）在椭圆外部，则2PF2MF+MP2a+1PF2. 设双曲线1-2222byax（a0,b0 ） ，F1,F2分别为双曲线的左右焦点，P （ x0,y0）为平面内的一个定点， M为双曲线上的任意一点若定点P（x0,y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则1PF-2a 2MF+MP，最大值不存在若定点P（x0,y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则2PF2MF+MP，最大值不存在常考类型PAPF的最值 其中，点A 为曲线 C（椭圆，双曲线或抛物线）内一定点（异于焦点） ，P是曲线 C上的一个动点，F 是曲线 C的一个焦点， e 是曲线 C的离心率。

1、椭圆【例 1】P(-2,3),F2为椭圆1162522yx的右焦点，点M在椭圆上移动，求MP +MF2的最大值和最小值答案】 12,8. 【分析 】欲求 MP +MF2的最大值和最小值可转化为距离差再求由此想到椭圆第一定义MF2=2a- MF1, F1为椭圆的左焦点陈爱梅老师资料版权所有2 【解析】 MP +MF2=MP +2a-MF1连接 PF1延长 PF1交椭圆于点M1, 延长 F1P 交椭圆于点 M2由三角形三边关系知PF1MP - MF1PF1当且仅当M与 M1重合时取右等号， M与 M2重合时取左等号因为2a=10, PF1=2所以（ MP +MF2）max=12, （ MP + MF2）min=8 【例 2】P(-2,6),F2为椭圆1162522yx的右焦点，点M在椭圆上移动，求MP +MF2的最大值和最小值答案】 最大值是10+37，最小值是41【分析 】 点 P在椭圆外PF2交椭圆于M ， 此点使 MP +MF2值最小， 求最大值方法同例1解析】 MP +MF2=MP +2a-MF1连接 PF1并延长交椭圆于点M1，则 M在 M1处时MP - MF1取最大值PF1。

MP +MF2最大值是10+37，最小值是41例 3】已知1F是椭圆22195xy的左焦点， P是椭圆上的动点，1,1A为定点，则1PAPF的最小值是（）A、92 B 、62 C 、32 D 、62【答案】 B 【解析】 连接2F A并延长交椭圆P是椭圆上一动点，连接12,PF PF PA1212PFPAAFPFPF，而121212PFPFPFP FP FP AAF，1212PFPAAFP FP AAF，1112262PFPAP FP AP FP FAF（当P与P重合时取“ =”号）【例4】 已知)2,2(),0,4(BA是椭圆1925:22yxC内的点，M是椭圆上的动点，求|MBMA的最大值与最小值F2FM1M2 o O P A F2 F1 y x P/ 陈爱梅老师资料版权所有3 【解析】 由题意，点A即椭圆右焦点2F（如图三），设椭圆左焦点1F，则)0 ,4(1F，由椭圆定义可知|10|2|11MFMFaMA，则|10|1MFMBMBMA，显然，当M、1F、B三点共线时，102|1maxBFMBMA，所以10210|)|(|maxMBMA，10210|)|(|minMBMA2、双曲线【2009?辽宁理 16】已知 F 是双曲线的左焦点， A （1，4） ，P是双曲线右支上的动点，则 |PF|+|PA| 的最小值为【答案】 9【解析】 A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F（ 4，0） ，由双曲线性质|PF| |PF|=2a=4 而|PA|+|PF | |AF|=5 两式相加得 |PF|+|PA|9，当且仅当A、P、F三点共线时等号成立【2006 江西理 9】P是双曲线22xy1916的右支上一点，M 、N分别是圆（ x5）2y24和（ x5）2y2 1 上的点，则 |PM| |PN| 的最大值为（）A. 6 B.7 C.8 D.9 【答案】 D【解析】 如图，两定圆的圆心)0, 5(1F、) 0 , 5(2F即双曲线C的左右焦点，由双曲线定义可知6|21PFPF。

又2|111maxPFrPFPM，1|222minPFrPFPN，所以93612|)|(|21minmaxmaxPFPFPNPMPNPMA P/ P Y XF F/ O 陈爱梅老师资料版权所有4 【2009 重庆卷文20】已知以原点O为中心的双曲线2214yx如图，点A的坐标为(5,0)，B是圆22(5)1xy上的点，点M在双曲线右支上，求MAMB的最小值，并求此时M点的坐标；【解析】 设点 D的坐标为( 5,0)，则点 A、D为双曲线的焦点，|22MAMDa所以| 2|2|MAMBMBMDBD，B是圆22(5)1xy上的点，其圆心为(0,5)C，半径为1，故| | 1101BDCD从而|2|101MAMBBD当,M B段 CD上时取等号，此时|MAMB的最小值为101直线 CD的方程为5yx，因点 M在双曲线右支上，故0 x由方程组22445xyyx解得54 24 54 2,33xy所以M点的坐标为54 2 4 54 2(,)33；3、抛物线【例】 已知抛物线24yx，定点 A(3,1) ，F 是抛物线的焦点，在抛物线上求一点 P, 使|AP|+|PF| 取最小值，并求的最小值M P N F1F2x y 陈爱梅老师资料版权所有5 【解析】 由点 A引准线的垂线，垂足Q，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值。

如图，24 ,2yxp, 焦点 F(1,0) 由点 A 引准线 x= -1的垂线，垂足 Q ，则|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值 . min(|)4APPF. 由241yxy, 得1(,1)4P为所求点 . 若另取一点P， 显然| | |APP FAPP QAPPQ感悟】 利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法在利用时技巧性较强，但可以避繁就简，化难为易又如已知圆锥曲线内一点A 与其上一动点P，求|PFAPe的最值时，常考虑圆锥曲线第二定义二、焦点与相应准线的转换椭圆的第二定义：平面上任意一点到定点F（焦点）的距离与到相应定直线（准线，且F 不再该直线上）的距离之比为常数e（离心率且e1）的点的轨迹为圆锥曲线; 当 0e1 时，轨迹为椭圆；122, 则 x=2时 PA min=a2（3）若 a0且 x1+x20,解之得12k, 且 M221(,)11kkk, 又由 P （-2 ，0） ，M221(,)11kkk，Q （0，b）共线，得22211122221bkkkkk，即陈爱梅老师资料版权所有13 2222bkk下面可利用函数f(k)=-2k2+k+2 在(1, 2)上是减函数，可得222bb或。

例 4】已知A，B，C三点在曲线yx上，其横坐标依次为1，m,4(1m4)，当ABC的面积最大时，m等于 ( ) A3 B.94 C.52 D.32【答案】 B 【解析】 由题意知A(1,1) ，B(m，m)，C(4,2) 直线AC所在的方程为x3y20，点B到该直线的距离为d|m3m2|10.SABC12|AC| d1210|m3m 2|1012|m3m 2| 12|(m32)214|. m(1,4) ，当m32时，SABC有最大值，此时m94. 2. 参数法参数为三角函数（ 若椭圆12222byax上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时, 可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值例 1】 椭圆14222yx上的点 M(x,y) 到直线 l ：x+2y=4 的距离记为d, 求 d 的最值分析】 若按上例那样d=542yx转化为 x 或 y 的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆的参数方程，即三角换元 解 析 】 d=542yx14222yx 令Ryxs i nc o s2则d=54sin2cos2=2)4sin(252当 sin)4(=1时,dmin=510254, 当 sin)4(=1 时,dmax=510254【例 2】 求椭圆1121622yx上的点到直线0122:yxl的最大距离和最小距离. 【解析】椭圆1121622yx的参数方程为)20(sin32cos4yx则椭圆上任意一点P陈爱梅老师资料版权所有14 坐标为)sin32,cos4(P. 到直线的距离为51234cos4d=23sin22cos2158=23)6sin(5820666111)6sin(1时当1)6sin(，d 取最大值，即54最大值d；时当1)6sin(，d 取最小值，即554最小值d【例 3】已知点P 是椭圆221169xy上任意一点，则点P 到直线70 xy的距离最大值为【解析】 由椭圆的方程221169xy，则可设4cos3sinxy（为参数）设点4cos ,3sinP，则点 P到直线的距离为5sin74cos3cos722d当sin1，距离d的最大值为max126 22d【例 4】 椭圆222210 xyabab的切线与两坐标轴分别交于A,B 两点， 求三角形OAB 的最小面积【解析】 写出椭圆参数方程sinxaconyb，设切点坐标为, sinaconb，可得切线方程cossin1xyab，令 y=0，得切线与x 轴交点,0aAcon：令0 x，得切线与y 轴交点,sinbB o122sincossin2AOBababSOA OBab，即minAOBSab陈爱梅老师资料版权所有15 【例 5】 已知 P是椭圆2214xy在第一象限内的点，A （2，0） ，B（0，1） ，O为原点，求四边形 OAPB 的面积的最大值。

解析】 设 P（2cos,sin ） ，(0 0 得45x，当45x时，由解得4121yy，2214522122)(212221221xyyyyyy，可得221yy，由，可得1y，2y，由即得相应的1x，2x故 AB的中点 M距 y 轴最短距离为450 x， 且相应的中点坐标为)22,45(或)22,45(法二：121xy222xy212221xxyyyxxyyk212121221222122)(41(9)()2(13yyyyyy2221212yyxxx212yyy陈爱梅老师资料版权所有17 由得212242yyyx 得2212)(44yyyx代入得4551924419422xyyx当且仅当1441922yy212y22y时等式成立45minx)22,45(M4、三点共线法【2008 新课标 11】已知点P在抛物线24yx上，那么点P到点(21)Q，的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A114，B 114，C (12)，D(12)，【答案】 A【解析】 点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PFPQPSPQ, 故最小值在,S P Q三点共线时取得，此时,P Q的纵坐标都是1，所以选 A。

（点P坐标为1(, 1)4）【例 1】 已知15922yx的焦点为 F1、F2，在直线06:yxl上找一点M,求以 F1、F2为焦点，通过点M且点 M到两焦点的距离之和最小时的椭圆方程. 【解析】 F1（-2，0） 、 F2（2，0） ， F1关于l的对称点为F1(-6,-4),连接 F1、F2交l于点 M即为所求，54221FFa,c=2, b2=16，所求椭圆为1162022yx. 陈爱梅老师资料版权所有18 y l P 1FO 2Fx 1FM 【例 2】已知椭圆221123xy。