第二章____热传导方程ppt.ppt

第二章第二章 热传导方程热传导方程第一节第一节 热传导方程的导出和定解条件热传导方程的导出和定解条件一、热传导方程的导出：一、热传导方程的导出：给定一空间内物体给定一空间内物体 ，设其上的点，设其上的点 在时刻在时刻 的温度为的温度为 问题的数学提法：（建立直角坐标系）问题的数学提法：（建立直角坐标系）问题：问题：研究温度研究温度 的运动规律的运动规律在三维空间中，考虑一物体，假定它内部有热源，在三维空间中，考虑一物体，假定它内部有热源，并且与周围介质有热交换，研究物体内部温度的并且与周围介质有热交换，研究物体内部温度的分布和变化例如：水坝坝体内温度的变化、分布和变化例如：水坝坝体内温度的变化、公路地基内温度的变化）公路地基内温度的变化）物理物理问题：问题：分析：（两个物理定律）分析：（两个物理定律） 1 1、热量守恒定律、热量守恒定律: :2 2、傅里叶、傅里叶（（Fourier））热传导定律热传导定律: : 单位时间内，流出单位时间内，流出单位面积区域的热量与单位面积区域的热量与 成正比，即成正比，即 温度变温度变化吸收化吸收的热量的热量通过边通过边界流入界流入的热量的热量热源放热源放出的热出的热量量为热传导系数，为热传导系数，“-”表示热量是从表示热量是从温度高处向温度低处流。

温度高处向温度低处流任取物体任取物体 内一个由光滑闭曲面内一个由光滑闭曲面 所围成的区域所围成的区域 ，研究物体在该区域，研究物体在该区域 内热量变化规律内热量变化规律热传导方程的推导：热传导方程的推导：热量热量守恒守恒定律定律区域区域 内各点的温度从时刻内各点的温度从时刻 的温度的温度 改变为时刻改变为时刻 的温度的温度 所吸收（或所吸收（或放出）的热量，应放出）的热量，应等于等于从时刻从时刻 到时刻到时刻 这段这段时间内通过曲面时间内通过曲面 流入（或流出）流入（或流出） 内的热内的热量和热源提供（或吸收）的热量之和即量和热源提供（或吸收）的热量之和即 内温度变化所需要的热量内温度变化所需要的热量 =通过曲面通过曲面 流入流入 内的热量内的热量 +热源提供的热量热源提供的热量 下面分别计算这些热量下面分别计算这些热量 （（1）） 内温度变化所需要的能量内温度变化所需要的能量那么包含点那么包含点 的体积微元的体积微元 的温度从的温度从 变为变为 所需要的热量为所需要的热量为 设物体设物体的比热（单位质量的物体温度改变的比热（单位质量的物体温度改变所需要的热量）为所需要的热量）为密度为密度为 整个整个 内温度变化所需要的能量内温度变化所需要的能量 （（2）通过曲面）通过曲面 进入进入 内的热量内的热量由傅里叶热传导定律，从由傅里叶热传导定律，从 到到 这段时间内通过这段时间内通过 进入进入 内的热量为内的热量为由高斯公式由高斯公式知知 （（3）热源提供的热量）热源提供的热量用用 表示热源强度，即单位时间内从单位表示热源强度，即单位时间内从单位体积内放出的热量，则从体积内放出的热量，则从 到到 这段时间内这段时间内 内热内热源所提供的热量为源所提供的热量为由热量守恒定律得：由热量守恒定律得：由由 及及 的任意性知的任意性知三维无热源热传导方程：三维无热源热传导方程：三维有热源的热传导方程：三维有热源的热传导方程： （（均匀且各向同性物均匀且各向同性物体，即体，即 都为常数的物体都为常数的物体））其中其中称为非齐次项（非自由项）。

称为非齐次项（非自由项）通常称（通常称（1.5）为）为非齐次的热传导方程非齐次的热传导方程，而称（，而称（1.6））为为齐次热传导方程齐次热传导方程二、定解条件（初始条件和边界条件）二、定解条件（初始条件和边界条件）初始条件：初始条件：边界条件：边界条件：1 1、第一边界条件、第一边界条件（（ Dirichlet 边界条件）边界条件）特别地：特别地： 时，物体表面保持恒温时，物体表面保持恒温2 2、第二边界条件、第二边界条件（（ Neumann 边界条件）边界条件）特别地：特别地： 时，表示物体绝热时，表示物体绝热3 3、第三边界条件、第三边界条件 ( ( D-N 混合边界条件混合边界条件 ) )其中：其中： 表示表示 沿边界沿边界 上的单位外法线方向上的单位外法线方向 的方的方向导数向导数注：注：注意第三边界条件的推导：注意第三边界条件的推导：研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题 把一个温度变化规律为把一个温度变化规律为 的物体放入的物体放入 空气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温空气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度为度为 ，它与物体表面的温度，它与物体表面的温度 并不相同。

这给出了第三边界条件的提法并不相同这给出了第三边界条件的提法热传导试热传导试验定律或验定律或牛顿定律牛顿定律从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：其中比例常数其中比例常数 称为称为热交换系数热交换系数流过物体表面流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶的流量可以从物质内部（傅里叶定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：或或即得到（即得到（1.10）：）：三、定解问题三、定解问题定义定义1 在区域在区域上，由方程（上，由方程（1.5）、初）、初始条件（始条件（1.7）组成的定解问题称为）组成的定解问题称为初值问题或柯西问初值问题或柯西问题题例如三维热传导方程的初值问题为：例如三维热传导方程的初值问题为：定义定义2 在区域在区域上，由方程（上，由方程（1.5）和初）和初始条件（始条件（1.7）和边界条件（）和边界条件（1.9）、（）、（1.10）、）、（（1.11）中的其中之一组成的定解问题称为）中的其中之一组成的定解问题称为初边值问初边值问题或混合问题题或混合问题。

例如三维热传导方程的第一初边值问例如三维热传导方程的第一初边值问题为：题为：2 2、、上述界条件形式上与波动方程的边界条件一上述界条件形式上与波动方程的边界条件一样，但表示的物理意义不一样；样，但表示的物理意义不一样；3 3、、热传导方程的初始条件只有一个，而波动方热传导方程的初始条件只有一个，而波动方程有两个初始条件程有两个初始条件1 1、、方程（方程（1.61.6）不仅仅描述热传导现象，也可以刻）不仅仅描述热传导现象，也可以刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程画分子、气体的扩散等，也称扩散方程( (推导略）推导略）注注4 4、、除了三维热传导方程外，物理上，除了三维热传导方程外，物理上，温度的分温度的分布在同一个界面上是相同的布在同一个界面上是相同的，可得，可得一维热传导方一维热传导方程：程：而对于薄片的热传导，而对于薄片的热传导，可得可得二维热传导方程：二维热传导方程：第二节第二节 初边值问题的分离变量法初边值问题的分离变量法考虑一维热传导方程的初边值问题考虑一维热传导方程的初边值问题不失一般性，考虑齐次边界条件的初边值问题不失一般性，考虑齐次边界条件的初边值问题和和上述定解问题可分解为下面两个混合问题：上述定解问题可分解为下面两个混合问题：则则（（II））的解为的解为: 问题问题问题问题（（（（I I））））的通解形式为：的通解形式为：的通解形式为：的通解形式为：其中其中 由下面给出：由下面给出：考虑齐次方程、齐次边界条件的混合问题考虑齐次方程、齐次边界条件的混合问题（（I））：：问题问题（（II））的解：的解：其中其中非齐次方程混合问题的解：非齐次方程混合问题的解：定理定理 2 2.1：：则则由公式由公式 (2.14) 给出的级数给出的级数 是是混合问题混合问题 (2.1)-(2.4) 的古典解。

的古典解设设齐次方程、齐次边界条件的混合问题的解为：齐次方程、齐次边界条件的混合问题的解为：► 当当 为有界函数有界函数时，， (2.14) 式给出的形式解关式给出的形式解关于于 以及以及 均是任意次连续可导的，且满足方程均是任意次连续可导的，且满足方程 (2.1) 和边界条件和边界条件 (2.3)- (2. 4) 分离变量法的解题步骤：分离变量法的解题步骤：1、令、令 代入方程和边界条件，确代入方程和边界条件，确 定定 所满足的常微分方程的特征值问题以及所满足的常微分方程的特征值问题以及 所满足的方程；所满足的方程；2、解常微分方程的特征值问题，求出全部特征值和、解常微分方程的特征值问题，求出全部特征值和特征函数，并求出相应特征函数，并求出相应 的表达式；的表达式；3、将所有变量分离形式的解叠加起来，利用初值定、将所有变量分离形式的解叠加起来，利用初值定出所有待定常数；出所有待定常数；4、证明形式解是真解对级数解的收敛性进行讨论证明形式解是真解对级数解的收敛性进行讨论。

注：注：1 1、在使用变量分离法时，边界条件的齐次化是、在使用变量分离法时，边界条件的齐次化是至关重要的，关键是构造辅助函数；至关重要的，关键是构造辅助函数；2、对于非齐次方程，我们通常采用齐次化原理将、对于非齐次方程，我们通常采用齐次化原理将其转化为齐次化方程来求解，但也可以直接求解其转化为齐次化方程来求解，但也可以直接求解1）、将变量分离形式）、将变量分离形式 代入相应代入相应的齐次方程和其次边界条件，得到相应的特征值问的齐次方程和其次边界条件，得到相应的特征值问题，并求出全部特征值和特征函数题，并求出全部特征值和特征函数 ；；（（2）、将）、将 ，方程的非齐次项，方程的非齐次项 ，以及初，以及初值值 都按照特征函数进行都按照特征函数进行 Fourier 展开；展开；————————————————————————其中其中:（（3）、解初值问题）、解初值问题解为：解为：非齐次方程混合问题的解：非齐次方程混合问题的解：第三节第三节 初值问题初值问题 — Cauchy 问题问题考虑一维热传导方程的初值问题考虑一维热传导方程的初值问题注意：注意：第一章中波动方程初值问题的求解方法：第一章中波动方程初值问题的求解方法：先化简方程，再用特征线法法求解，但特征线法先化简方程，再用特征线法法求解，但特征线法不适用于目前的问题，下面介绍一种更一般的方不适用于目前的问题，下面介绍一种更一般的方法，叫法，叫傅里叶傅里叶（（Fourier））变换法变换法。

傅里叶变换法傅里叶变换法同样可以用来求解弦振动方程的初值问题同样可以用来求解弦振动方程的初值问题傅里叶变换傅里叶变换是一种可逆的线性的变换，它的主要特点是是一种可逆的线性的变换，它的主要特点是:可以将可以将求导运算化为乘法运算求导运算化为乘法运算，对问题（，对问题（3.1）（）（3.2））做傅里叶变换后就变为常微分方程的初值问题做傅里叶变换后就变为常微分方程的初值问题 本节系统地介绍本节系统地介绍FourierFourier变换的定义、运算变换的定义、运算性质及其应用性质及其应用FourierFourier变换是求解热传导方程变换是求解热传导方程的主要求解工具的主要求解工具一、傅里叶一、傅里叶（（Fourier））变换的定义及其基本性质变换的定义及其基本性质称之为称之为傅里叶逆变换傅里叶逆变换:记为记为:记号记号:上全体绝对可积函数构成的集合上全体绝对可积函数构成的集合给定一函数给定一函数定义变换定义变换的傅里叶变换，记为的傅里叶变换，记为即即定理定理 3 3.1：：（（ Fourier 积分定理积分定理 ））若若 在在 上绝对可积且连续可微，上绝对可积且连续可微，则有则有: 简记为简记为:公式公式（（3.5））称为称为 Fourier 反演公式。

反演公式证明略证明略性质性质 1、、（（ 线性性质线性性质 ））性质性质 2、、（（ 微商性质微商性质 ）） 如果如果性质性质 3、、（（ 乘多项式性质乘多项式性质 ））证明：直接用定义即可证明：直接用定义即可那么那么性质性质 4、、（（ 卷积性质卷积性质 ））若若则定义则定义的卷积为的卷积为如果如果则则且且性质性质 5、、（（ 乘积性质乘积性质 ））如果如果那么那么证明：证明：这等价于证明这等价于证明事实上事实上1)、、（（ 位移性质位移性质 ））2)、、（（ 相似性质相似性质 ））3)、、（（ 对称性质对称性质 ））补充性质补充性质：：例例 3 3、、 设设 例例 2 2、、 设设 例例 1 1、、 设设 注、高维傅里叶注、高维傅里叶（（Fourier））变换变换称之为称之为傅里叶逆变换傅里叶逆变换:记为记为:给定一多元函数给定一多元函数定义变换定义变换的傅里叶变换，记为的傅里叶变换，记为注：高维傅里叶变换的性质与一维相似注：高维傅里叶变换的性质与一维相似二、热传导方程柯西问题的解二、热传导方程柯西问题的解考虑齐次热传导方程的初值问题考虑齐次热传导方程的初值问题解为解为:解：采用解：采用Fourier变换法求解变换法求解注：注：从（从（3.17）可知热传导方程解有明显的性质：）可知热传导方程解有明显的性质：无无限传播性限传播性，即假设初值，即假设初值 只在一小段只在一小段 上不为上不为零，不妨设零，不妨设 ，则当，则当 后，杆上任一点处的后，杆上任一点处的温度为正。

也就是说，顷刻之间，热量就传到杆上任温度为正也就是说，顷刻之间，热量就传到杆上任一点这一点，与波动方程有本质的区别这一点，与波动方程有本质的区别对非齐次热传导方程的齐次初始条件问题对非齐次热传导方程的齐次初始条件问题解为解为:这可以使用齐次化原理来获得：这可以使用齐次化原理来获得： 由齐次化原理知（由齐次化原理知（3.18）（）（3.19）的解可写为）的解可写为其中其中为下述问题的解：为下述问题的解：同于初值问题（同于初值问题（3.14））-（（3.15）的）的Fourier变换法求变换法求解公式（解公式（3.17）可得下述初值问题）可得下述初值问题的解为的解为令令则则由（由（3.19）（）（3.22）可得（）可得（3.18）（）（3.19）的解为公式）的解为公式（（3.23）：）：结论：结论：对非齐次热传导方程的非齐次初始条件的初对非齐次热传导方程的非齐次初始条件的初值问题值问题解为解为:注：注：也可以对非齐次热传导方程的非齐次初始条件也可以对非齐次热传导方程的非齐次初始条件的初值问题直接使用的初值问题直接使用Fourier变换法求解，留作习题变换法求解，留作习题。

定理定理 3 3.2：：函数函数 是柯西是柯西问题问题 (3.14)-(3.15) 的有界解的有界解设设且有界，则由且有界，则由 (3.17) 式式 给出的给出的知知识识回回顾顾注：注：同样可以使用同样可以使用Fourier变换法求解一维齐次弦振变换法求解一维齐次弦振动方程的初值问题：动方程的初值问题：其解为其解为:注：注：同样可以使用同样可以使用Fourier变换法求解高维热传导方变换法求解高维热传导方程的初值问题：程的初值问题：其解为其解为:例：试求下述定解问题的有界解例：试求下述定解问题的有界解解为解为:解解: 变量变换和变量变换和Fourier变换法变换法第四节第四节 极值原理、定解问题解极值原理、定解问题解的唯一性与稳定性的唯一性与稳定性一、极值原理一、极值原理 讨论的是方程的解的最大值和最小值的分布位置讨论的是方程的解的最大值和最小值的分布位置从实际问题中看极值原理：从实际问题中看极值原理： 设有一物体，内部没有热源，则该物体的温度的设有一物体，内部没有热源，则该物体的温度的 最大值和最小值必在初始时刻或在该物体的边界上取到。

最大值和最小值必在初始时刻或在该物体的边界上取到 可以设想：可以设想：一块一块0℃0℃的冰，放在的冰，放在0℃0℃到到10℃10℃的空的空气中，这块冰内部的温度，永远不会超过气中，这块冰内部的温度，永远不会超过10℃10℃，，也不会低于也不会低于0℃0℃ 其原因是：其原因是：热量总是从温度高的地方流向温度低的热量总是从温度高的地方流向温度低的地方因此，温度高的点有温度降低的趋势，温度低的地方因此，温度高的点有温度降低的趋势，温度低的点有温度升高的趋势（如果没有热量流入）点有温度升高的趋势（如果没有热量流入） 是物体的温度是物体的温度, ,且且设设 为物体占据的空间区域，为物体占据的空间区域，极值原理的数学表述：极值原理的数学表述： 则则其中其中,称为称为 的抛物型边界的抛物型边界满足满足记记定理定理4.1（（弱）极值原理）：（（弱）极值原理）：设设且且则则注：注：表示吸热，因此不会使内部温度升高表示吸热，因此不会使内部温度升高 证明：证明：因为因为 是有界闭集，而是有界闭集，而故故 在在 上的最大值存在下面分两种情况来证明最上的最大值存在。

下面分两种情况来证明最大值必在抛物型边界上取到大值必在抛物型边界上取到令令情形情形1：：此时，此时， 不能在不能在 内取最大值内取最大值否则，存在否则，存在 ，使得，使得则则 从而：从而：于是：于是：这就得出矛盾所以这就得出矛盾所以但由假设：但由假设： 在在 中的最大值只能在中的最大值只能在 内取到，从而内取到，从而而而情形情形2：： 此时，通过适当的函数变换，可以化为情形此时，通过适当的函数变换，可以化为情形1,任意的任意的 ，令，令对对 用情形用情形1的结论，就有的结论，就有则则且且所以，所以，令令 就得到就得到注：注：上面证明中，所用的函数称为辅助函数，上面证明中，所用的函数称为辅助函数，这一证明方法称为辅助函数法，它是偏微分方这一证明方法称为辅助函数法，它是偏微分方程理论中经常使用的一种技巧程理论中经常使用的一种技巧 另一方面，因为另一方面，因为总有总有所以，所以，证毕注：注：还可以进一步证明，如果还可以进一步证明，如果 的最大值在的最大值在 中的某点中的某点 取到，则取到，则 在在 中必恒等于常数。

中必恒等于常数这个结论比定理这个结论比定理4.14.1要强，因此定理要强，因此定理4.14.1称为称为弱极值原理弱极值原理推论推论4.1：： 设设且且如果如果则则 在在 上的最小值必在抛物边界上的最小值必在抛物边界 上取到，上取到，则则 在在 上的最大值与最小值都必上的最大值与最小值都必在抛物边界在抛物边界 上取到证明：证明：做变换做变换，则，则且且由定理由定理4.1得得即即即即而而因此，推论因此，推论4.14.1第一部分结论成立，再结合第一部分结论成立，再结合定理定理4.14.1，就得出推论，就得出推论4.14.1的第二部分结论的第二部分结论所以所以于是于是证毕证毕证明：证明： 令令推论推论4.24.2：（比较原理）：（比较原理）所以，所以，设设且且则则则则由定理由定理4.1得得即，即，证毕注：注：同于推论同于推论4.24.2的证明，易证下述结论，即设的证明，易证下述结论，即设且且则则让让 是是 的抛物边界的抛物边界注注1 1：：若若换为换为，相应的极值，相应的极值原理及其推论同样成立，即原理及其推论同样成立，即注注2 2：： 一般来说，热传导方程和位势方程都有相应一般来说，热传导方程和位势方程都有相应的极值原理，而波动方程没有极值原理。

的极值原理，而波动方程没有极值原理考虑一维非齐次热传导方程考虑一维非齐次热传导方程定理定理 4 4.1*：：在在 上的最大值必在边界上达到，即上的最大值必在边界上达到，即设设 在矩形在矩形 上连续，上连续， 并且在并且在 内部满足方程内部满足方程 (4.1)又设 ，则，则表示矩形表示矩形的两个侧边和底边所组成的边界曲线，的两个侧边和底边所组成的边界曲线，称为抛物边界称为抛物边界例例 （最大值原理的应用）（最大值原理的应用）设设 满足满足求求 在在的最大值和最小值的最大值和最小值解：解：推论推论 4 4.3：（解的最大模估计）：（解的最大模估计）设设 是初值问题是初值问题（（4.3）的古典解，则）的古典解，则证明：证明：通过构造适当的辅助函数与问题的解作比较，通过构造适当的辅助函数与问题的解作比较，再用比较原理得出结论再用比较原理得出结论如果如果 ，定理自然成立。

所以我们只需考，定理自然成立所以我们只需考虑虑 的情况考虑一维热传导方程的第一初边值问题考虑一维热传导方程的第一初边值问题二、初边值问题解的唯一性与稳定性二、初边值问题解的唯一性与稳定性首先，使用极值原理获得解的最大模估计首先，使用极值原理获得解的最大模估计从而从而所以所以 满足要求，且满足要求，且取取找找 ,使得：使得：则由比较原理，得则由比较原理，得且且则则推论推论4.4：：初边值问题（初边值问题（4.3）的在）的在 的解，连续依赖于的解，连续依赖于即，若即，若 为为 （（4.3）） 在在 中分别对应于中分别对应于非齐次项非齐次项初值初值 和和边值边值 和和 及及 和和 ，则，则证明：令证明：令再应用再应用推论推论4.3的最大模估计即可的最大模估计即可推论推论4.5 边值问题（边值问题（4.3）在）在 的解是唯一的。

的解是唯一的证明：证明：直接由直接由推论推论4.4得出得出定理定理 4 4.2：：初边值问题初边值问题（（4.3）在区域）在区域上的古典解是唯一的，而且连续依赖于抛物边界上所上的古典解是唯一的，而且连续依赖于抛物边界上所给的初始条件和边界条件给的初始条件和边界条件注注：：若解在方程中出现的所有偏导数都连续，则称若解在方程中出现的所有偏导数都连续，则称这种解为古典解这种解为古典解化合推论化合推论4.3和推论和推论4.4得：得：考虑一维热传导方程的混合初边值问题考虑一维热传导方程的混合初边值问题定理定理 4 4.3：：设设 是初边值问题是初边值问题（（4.4）的古典解，则）的古典解，则正常数，在正常数，在 上上 满足满足如果在如果在上，有上，有那么由定理那么由定理4.3可得可得推论推论 4 4.6：：初边值问题初边值问题（（4.4）在区域）在区域 上的古典解上的古典解是唯一的，而且连续依赖于抛物边界上所给的初始是唯一的，而且连续依赖于抛物边界上所给的初始条件和边界条件。

条件和边界条件对于混合初边值问题对于混合初边值问题定理定理 4.3 仍然成立仍然成立考虑一维热传导方程的初值问题考虑一维热传导方程的初值问题三、初边值问题解的唯一性与稳定性三、初边值问题解的唯一性与稳定性定理定理 4 4.4：：初值问题初值问题（（4.10）在有界函数类中的古典解是）在有界函数类中的古典解是唯一的，而且连续依赖于所给的初始条件唯一的，而且连续依赖于所给的初始条件 为了证明此定理，我们先建立最大模估计为了证明此定理，我们先建立最大模估计记记命题命题4.14.1：：证明思路：证明思路：因为因为 是无解区域，不好直接证明，我们是无解区域，不好直接证明，我们先在先在 的有界子区域中证明有关估计，再让该子区域的有界子区域中证明有关估计，再让该子区域趋向于趋向于 得出所要求的估计得出所要求的估计设设是问题是问题(4.10)的有界解，则的有界解，则证明：证明：记记 另外，由题设另外，由题设 是有界的，所以也有是有界的，所以也有若若或或命题命题4.1自然成立所以可设自然成立所以可设我们要证明：我们要证明：（（*））记记对对 成立：成立：若（若（*）成立，则对）成立，则对 当当 时，时，从而由（从而由（*）得：）得：在上式中令在上式中令 得：得：因为因为 是是 中任意一点，所以中任意一点，所以因此，只要证明了（因此，只要证明了（*）式，命题）式，命题4.1就得证。

就得证下面我们来证明（下面我们来证明（*）式令令则显然则显然且且由弱极值原理，得：由弱极值原理，得：所以，所以，即（即（*）式成立命题命题4.1证毕于是，于是，推论推论4.7：：初值问题初值问题 (4.10) 在在注：注： 初值问题初值问题 (4.10) 在在 中的解并不是唯一中的解并不是唯一的！其原因是：在无穷远的！其原因是：在无穷远“边界边界”上，上， (4.10 ) 对解没有限制，即对对解没有限制，即对 的值没有限制如的值没有限制如果要求：存在正常数果要求：存在正常数 与与 使得使得则可以证明，这样的解是唯一的则可以证明，这样的解是唯一的中的有界解是唯一的，而且连续依赖于所给的初始条件中的有界解是唯一的，而且连续依赖于所给的初始条件证明：证明：假设假设 (4.10 ) 在在 中有两个有界中有两个有界解，对这两个解差应用命题解，对这两个解差应用命题4.1的最大模估计，得出的最大模估计，得出这两个解的差在这两个解的差在 中恒等于零。

中恒等于零而且由最大模估计易得解连续依赖于所给的初始条件而且由最大模估计易得解连续依赖于所给的初始条件第五节第五节 解的渐近性态解的渐近性态考虑一维热传导方程的初边值问题考虑一维热传导方程的初边值问题一、初边值问题解的渐近性态一、初边值问题解的渐近性态定理定理 5 5.1：：则则 ，问题，问题 (5.1) 的唯一古典解的唯一古典解 指数衰减指数衰减趋于零，趋于零，设初始函数设初始函数证明：证明：由极值原理和分离变量法知，（由极值原理和分离变量法知，（5.1）的唯一古典解为）的唯一古典解为其中其中 由下面给出：由下面给出：由（由（5.2）可知，对一切）可知，对一切 ，有，有由由的定义知当的定义知当时，时，，故有，故有另一方面，由指数函数的性质知，当另一方面，由指数函数的性质知，当时，时，对一切对一切 成立成立时，对于时，对于于是当于是当有有即即考虑一维热传导方程的初值问题考虑一维热传导方程的初值问题二、二、Cauchy 问题解的渐近性态问题解的渐近性态定理定理 5 5.2：：柯西柯西问题问题 (5.7) 的唯一古典解的唯一古典解 具有如下性质，具有如下性质，设初始函数设初始函数 是有界连续函数且是有界连续函数且 则则证明：证明：当当 是有界函数时，由是有界函数时，由Fourier变换法初值变换法初值问题（问题（5.7）的唯一经典解为）的唯一经典解为于是于是注：注：对于二维和三维热传导方程的柯西问题，同理可对于二维和三维热传导方程的柯西问题，同理可证它们的解具有证它们的解具有 和和 的衰减速率。

一般地，的衰减速率一般地，n维维空间热传导方程的柯西问题的解具有空间热传导方程的柯西问题的解具有 衰减速率衰减速率第四节第四节 极值原理、定解问题解极值原理、定解问题解考虑一维非齐次热传导方程考虑一维非齐次热传导方程的唯一性与稳定性的唯一性与稳定性一、极值原理一、极值原理定理定理 4 4.1：：在在 上的最大值必在边界上达到，即上的最大值必在边界上达到，即设设 在矩形在矩形 上连续，上连续， 并且在并且在 内部满足方程内部满足方程 (4.1)又设 ，则，则表示矩形表示矩形的两个侧边和底边所组成的边界曲线，称为抛物边界的两个侧边和底边所组成的边界曲线，称为抛物边界必在边界必在边界 上达到，即上达到，即设设 在矩形在矩形 上连续，上连续，且满足方程且满足方程 (4.1) 又设又设 ，则，则 在在 上的最小值上的最小值推论推论 4.1：：设设 在矩形在矩形 上连续，上连续，且满足且满足推论推论 4.2：：则成立则成立推论推论 4 4.5：（比较原理）：（比较原理）则在则在 上有上有推论推论 4 4.4：（解的最大模估计）：（解的最大模估计）设设 是初值问题是初值问题（（4.11）的古典解，则）的古典解，则推论推论 4 4.4：（解的最大模估计）：（解的最大模估计）设设 是初值问题是初值问题（（4.11）的古典解，则）的古典解，则证明：证明：通过构造适当的辅助函数与问题的解作比较，通过构造适当的辅助函数与问题的解作比较，再用比较原理得出结论。

再用比较原理得出结论如果如果 ，定理自然成立所以我们只需考，定理自然成立所以我们只需考虑虑 的情况四、初边值问题解的最大模估计四、初边值问题解的最大模估计从而从而所以所以 满足要求，且满足要求，且取取找找 ,使得：使得：则由比较原理，得则由比较原理，得且且则则推论推论1：：边值问题（边值问题（4.11）的在）的在 的解的解 ，连续依赖于，连续依赖于即，若即，若 为为 （（4.11）） 在在 中分别对应于中分别对应于非齐次项非齐次项初值初值 和和边值边值 和和 及及 和和 ，则，则证明：令证明：令再应用再应用推论推论4.4的最大模估计即可的最大模估计即可推论推论4.5 边值问题（边值问题（3.4）在）在 的解是唯一的解是唯一的。

的证明：证明：直接由直接由推论推论4.4得出得出。