小学数学奥数基础教程(三年级)--17.doc

小学数学奥数基础教程(三年级)本教程共 30 讲第 17 讲 数阵图(二)上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图例 1 将 1～8 这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于 21分析与解：中间两个数是重叠数，重叠次数都是 1 次，所以两个重叠数之和为21×2-(1+2+…+8)=6在已知的八个数中，两个数之和为 6 的只有 1 与 5，2 与 4每个大圆上另外三个数之和为 21-6=15如果两个重叠数为 1 与 5，那么剩下的六个数 2，3，4，6，7，8 平分为两组，每组三数之和为 15 的只有2+6+7=15 和 3+4+8=15，故有左下图的填法　如果两个重叠数为 2 与 4，那么同理可得上页右下图的填法例 2 将 1～6 这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于 11分析与解：本题有三个重叠数，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一次所以三个重叠数之和等于11×3-(1+2+…+6)=121～6 中三个数之和等于 12 的有 1，5，6；2，4，6；3，4，5。

如果三个重叠数是 1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左下图的填法容易发现，所填数不是 1～6，不合题意同理，三个重叠数也不能是 3，4，5经试验，当重叠数是 2，4，6 时，可以得到符合题意的填法(见右上图)例 3 将 1～6 这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等分析与解：与例 2 不同的是不知道每边的三数之和等于几因为三个重叠数都重叠了一次，由(1+2+…+6)+重叠数之和=每边三数之和×3，得到每边的三数之和等于[(1+2+…+6)+重叠数之和]÷3=(21+重叠数之和)÷3=7+重叠数之和÷3因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是 3 的倍数考虑到重叠数是 1～6 中的数，所以三个重叠数之和只能是 6，9，12 或 15，对应的每条边上的三数之和就是 9，10，11 或 12与例 2 的方法类似，可得下图的四种填法：每边三数之和=9 每边三数之和=10 每边三数之和=11 每边三数之和=12例 4 将 2～9 这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于 18分析与解：四个角上的数是重叠数，重叠次数都是 1 次。

所以四个重叠数之和等于18×4-(2+3+…+9)=28而在已知的八个数中，四数之和为 28 的只有：4+7+8+9=28 或 5+6+8+9=28又由于 18-9-8=1，1 不是已知的八个数之一，所以，8 和 9 只能填对角处由此得到左下图所示的重叠数的两种填法：　　“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意以上例题都是封闭型数阵图一般地，在 m 边形中，每条边上有 n 个数的形如下图的图形称为封闭型 m-n 图与“辐射型 m-n 图只有一个重叠数，重叠次数是 m-1”不同的是，封闭型 m-n 图有 m 个重叠数，重叠次数都是 1 次对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图，虽然大多数数阵问题要比它们复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析，就能解决很多数阵问题例 5 把 1～7 分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于 13分析与解：这道题的“重叠数”很多有重叠 2 次的(中心数，记为 a)；有重叠 1 次的(三个数，分别记为 b，c，d)。

根据题意应有(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3，即 a+a+b+c+d=11因为 1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有 a=1，b，c，d 分别为2，3，4 才符合题意，填法见右上图练习 171.把 1～8 填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于 202.把 1～6 这六个数填入右上图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等3.将 1～8 填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于 154.将 1～8 填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等　　5.将 1～7 填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等6.把 1，3，5，7，9，11，13 分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于 34答案与提示练习 17每个圆周的四数之和=12 每个圆周的四数之和=13　　每个圆周的四数之和=14每个圆周的四数之和=15 每个圆周的四数之和=163.提示：四个顶点数之和为 15×4－(1＋2＋…＋8)=24，四个顶点数有 3，6，7，8 和 4，5，7，8 两种可能经试验只有左下图一个解4.提示：每条直线或每个圆周上的四个数之和都等于(1＋2＋…＋8)÷7＝18。

填法见右上图填法不唯一)5.提示：顶上的数重叠 2 次，其它数都重叠 1 次1＋2＋…＋7)×2＋顶上数=每条线上的和×5，56＋顶上数=每条线上的和×5由上式等号左端是 5 的倍数，推知“顶上数”=4所以每条线上的三个数之和为(56＋4)÷5＝12　经试验填法如上图填法不唯一)6.与例 5 类似(见上图)。