4.10 平行线等分线段定理.doc

精 华 名 师 辅 导教学内容：平行线等分线段定理【基础知识精讲】本节内容是平行线等分线段定理及其两个推论，两个推论实际上是定理的特例，也是重要的定理.1.平行线等分线段定理.一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等.定理的证明：借助梯形常见的辅助线，把梯形分成平行四边形和三角形，用平行四边形，三角形的相关知识进行证明(见教材P180页的证明过程).定理的变式图形：(图4.10-1)2.平行线等分线段两个定理推论推论1 经过梯形一腰中点的直线必平分另一腰推论2 经过三角形一边中点且与另一边平行的直线平分第三边3.定理及推论的应用任意等分线段通过中点的证明，从而转换为梯形或三角形的中位线进行解题，同时作为三角形、梯形中位线定理证明的根据.【重点难点解析】重点：平行线等分线段定理及推论难点：平行线等分线段定理的证明及变式图形的理解例1 已知线段AB，求作AB的五等分点.分析：本题是平行线等分线段定理的实际应用.只要作射线AM，在AM上任意截取5条相等线段，连结最后一等分的后端点A5与点B，再过其他分点作BA5的平行线，分别交AB于C、D、E、F，则AB就被这些平行线分成五等分了.作法：(1)如图4.10-2作射线AM； (2)在射线AM上截取AA1＝A1A2＝A2A2＝A3A4＝A4A5(3)连结A5B，分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行线A1C、A2D、A3E、A4F，分别交AB于C、D、E、F，那么C、D、E、F就是所求作的线段AB的五等分点.例2 如图4.10-3，□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OE∥AB交BC于E，AD＝12，求BE的长.分析：本题重在考查应用平行线等分线段定理推论解题的能力.解：∵ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，BC＝AD∵AB∥DC，OE∥AB∴DC∥OE∥AB又∵AD＝12∴BE＝EC＝BC＝AD＝6例3 求证：直角梯形斜腰中点到直角腰两端点的距离相等.已知：如图4.10-4，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，DE＝EC.求证EA＝EB分析 要证EA＝EB，实际上只要证E在AB的垂直平分线上.故过E作EM∥BC.由∠ABC＝90°，得∠AME＝90°.再由平行线等分线段定理的推论可知AM＝MB.这样点E在AB的垂直平分线上.问题得证.证明：作EM⊥BC，交AB于M.∵AB⊥BC，∴∠AME＝∠ABC＝90°在梯形ABCD中∵DE＝EC，EM∥BC，∴AM＝MB∴E在AB的垂直平分线上∴EA＝EB【难题巧解点拨】例1 如图4.10-6，已知△ABC，求作BC上两点D、E，使S△ADB＝S△ADE＝S△AEC分析 根据等底同高的几个三角形面积相等只需在BC上取三等分点D、E，将等积问题转换为等分线段问题.作法：(1)作射线BN(2)在BN上以任意长顺次截取BF＝ＦＧ＝GH(3)连结CH(4)过G、F点分别作CH的平行线GE、FD，分别交BC于E、D则：D、E为BC的两个三等分点(5)连AD、AE，得△ABD、△ADE、△AEC证明：略注意点：线段的等分点只能运用等分线段定理采用尺规作图，不能用刻度尺来等分线段.例2 如果把矩形ABCD线对折，设折痕为GH，再把点A叠在折痕线，折痕为BE，得Rt△ABE，交折痕GH于P，延长EA交BC于F，则△BEF为等边三角形(图4.10-7)证明：∵G、H为矩形A′BCD的边A′B、CD的中点∴四边形AGHD、GBCH为矩形 A′D∥GH∥BC∴P、A分别为BE、EF的中点∵Rt△A′BE≌△Rt△ABE∴∠A′＝∠EAB＝90° ∠A′EB＝∠BEF∴PA＝PE＝BF BA为EF的垂直平分线∴∠BEF＝∠PAE BE＝BF∵GH∥A′D ∵∠PAE＝∠DEF∴∠A′EB＝∠BEF＝∠DEF∵∠A′EB+∠BEF+∠DEF＝180°∴∠BEF＝60° ∵BE＝BF∴△BEF为正三角形【命题趋势分析】本节中考热点为平行线等分线段定理的运用.【典型热点考题】例1 如图4.10-5，△ABC中，AD是BC边上的中线，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，求证AF＝CF.分析 本题查考平行线等分线段及推论的应用能力.过D点作DG∥BF交AC于G是常规辅助线、通过它可将要求的问题转换成平行线等分线段定理及推论的运用.证明：过D作DG∥BF交AC于G∵EF∥DG，AE＝DE∴AF＝FG又∵BF∥DG BD＝DC∴FG＝GC∴AF＝FG＝GC即：AF＝CF【同步达纲练习】一、填空题1.在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，若DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，则四边形AEDF是 .2.在梯形ABCD中，AD∥BC，E为DC中点，EF∥AD交AB于F，则S△AEF∶S△BEF＝ .3.如果一组平行线，在一条线段上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也 .4.在△ABC中，∠C＝Rt∠，D为AB的中点，DE⊥AC交AC于E，则CE＝ AE.5.已知三条直线AB∥CD∥EF，它们之间的距离分别为2cm，作一直线MN分别与三条平行线交于30°，且与AB、CD、EF分别交于M、N、P，则MN＝ cm，NP＝ cm.6.如图4.10-8所示，F为AB的中点，FG∥BC，EG∥CD，则AG＝ ，AE＝ .7.如图4.10-9，直线l过梯形ABCD一腰AB的中点E，且平行于BC，l与BD，AC、CD分别交于F、G、H，那么，BF＝ ，CG＝ ，DH＝ . 图4.10-8 图4.10-98.直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，EF是AB的垂直平分线，EF交AB于E，交CD于F，则DF＝ .二、选择题1.如图4.10-10，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OE∥AB交BC于E，则S△BOE∶S□ABCD等于( )A.1∶4 B.1∶8 C.1∶16 D.1∶122.在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，DE∥AB交AC于E，则DE等于( )A.BD B.DC C.AC D. AD3.在□ABCD中，AD＝12，两对角线相交于O，E是OC中点，EF∥AB交BC于F，则CF的长为( )A.3 B.4 C.5 D.64.如图4.10-11，AB∥CD∥EF，AO＝OD＝DF，OE＝6，则BE＝( )A.9 B.10 C.11 D.125.AD是△ABC的高，DC＝BD，M、N在AB上，且AM＝MN＝NB，ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，则FC＝( )A. BC B. BD C. BC D. BD6.在梯形ABCD中，AB∥DC，DC∶AB＝1∶2，E是AD的中点，EF∥AB交BC于F，则EF∶AB＝( )A. B. C. D.17.以线段a=16,b=13,c=6为边作梯形，其中a，c为梯形两底，这样的梯形( )A.有一个 B.有二个 C.有三个 D.不存在三、解答题1.将已知线段AB分成1∶2∶3三部分(写出作法).2.如图4.10-12，直线x，y互相垂直，垂足是O，作出线段AB关于直线x的对称图形A1B1，关于直线y的对称图形A2B2，证明A1B1和A2B2关于O点成中心对称.3.如图4.10-13，已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，两腰AB、DC分别与两对角线AC、BD垂直，M、N分别是梯形两底AD、BC的中点，求证：MN⊥BC. 4.如图4.10-14，AD是△ABC的平分线，E为BC的中点，EF∥AB交AD于F，CF的延长线交AB于G.求证：AG＝AC5.如图4.10-15，M、N分别为□ABCD中AB、CD的中点，求证：BE＝EF＝FD. 【素质优化训练】如图4.10-16，直线l交线段AB于P，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C、D，M是AB的中点，求证：MC＝MD.【生活实际运用】如图4.10-17，先把矩形ABCD对折，折痕为MN，恢复原状后，再把点B折叠到折痕MN上(如图)设EB的延长线交AD于F.试判断△AEF的形状，并说明理由.【知识探究学习】如图4.10-18，梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，∠A＝60°，AB＝AD，M是AB的中点，则△MBC是等边三角形吗?为什么?参考答案一、1.菱形 2.1∶1 3.相等 4.＝ 5.4 4 6.CG DE 7.DF AG HC 8.CF二、1.B 2.C 3.A 4.A 5.A 6.C 7.D三、1.略 2.略 3.提示：连结AN、DN，根据直角三角形性质得AN＝DN，由等腰三角形三线合一定理得MN⊥AD 4.∵E为BC中点，∴F为CG中点，∴AG＝AC 5.证AN∥CM，DF＝FE，FE＝EB【素质优化训练】 提示：过M作MN⊥l，垂足为N.【生活实际运用】 ∵∠1＝∠3，又PN∥ND，∴∠2＝∠3，而△AEB′△ABE，∠1＝∠2＝30°，∠AEB＝60°，又∠1＝∠2，AB⊥EF，∴AE＝AF.【知识探究学习】 提示：过M作MN∥AB交BC于N.。