控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析课件.ppt

第5章 控制系统的计算机辅助分析l系统仿真实质上就是对描述系统的数学模型进行求解对控制系统来说，系统的数学模型实际上就是某种微分方程或差分方程，因而在仿真过程中需要根据某种数值算法从系统给定的初始值出发，逐步地计算出每一个时刻系统的响应，最后绘制出系统的响应曲线，由此来分析系统的性能在前面曾经介绍过一般常微分方程的数值解法，该方法是系统仿真的基础其实，对于各种线性系统模型在典型输入信号作用下来说，当然没有必要采用那些通用的算法来完成这种任务，而是应该充分地利用线性系统的特点，采取更简单的方法来得到问题的解这样做不但会大大提高运算的效率，而且可以提高仿真的精度和可靠性本章主要介绍利用MATLAB的控制系统工具箱所提供的函数对线性系统进行计算机分析和处理控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析7.1 控制系统的稳定性分析在分析控制系统时，首先遇到的问题就是系统的稳定性对线性系统来说，如果一个连续系统的所有极点都位于左半s平面，则该系统是稳定的对离散系统来说，如果一个系统的全部极点都位于单位圆内，则此系统可以被认为是稳定的由此可见，线性系统的稳定性完全取决于系统的极点在根平面上的位置。

本节主要介绍几种利用MATLAB来判断系统稳定性的方法控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l1.利用极点判断系统的稳定性l 判断一个线性系统稳定性的一种最有效的方法是直接求出系统所有的极点，然后根据极点的分布情况来确定系统的稳定性，对于极点的求取我们在上节中已作过介绍，下面举例说明其判断方法l[例5-1] 已知闭环系统的传递函数为l判断系统的稳定性，并给出不稳定极点控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析解：可以利用下面的MATLAB程序%ex5_1.mnum=[3 2 1 4 2];den=[3 5 1 2 2 1];[z,p]=tf2zp(num,den);ii=find(real(p)>0);n1=length(ii);if (n1>0) disp('The Unstable Poles are:'); disp(p(ii));else disp('System id Stable');end执行结果显示：The Unstable Poles are: 0.4103 + 0.6801i 0.4103 - 0.6801i当然，如果增加以下两条语句，则可画出例5-1系统的零极点图，如图5-1所示。

控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析系统的零极点图，如图7-1所示.图5-1 零极点图控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析【例5-2】已知离散系统的开环脉冲传递函数为：判断单位负反馈系统的稳定性解：则可利用下面的MATLAB程序：%ex7_2.mnum0=[5 4 1 0.6 -3 0.5];den0=[1 0 0 0 0 0];[numc,denc]=cloop(num0,den0);r=roots(denc);ii=find(abs(r)>1);n1=length(ii);if (n1>0) disp(['system is Unstable,with ',int2str(n1),' unstable pole']);else disp('System is Stable');End执行结果显示：system is Unstable,with 1 unstable pole控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析2.利用特征值判断系统的稳定性 对于线性定常系统称多项式为系统的特征多项式其中， 称为系统的特征多项式系数。

令特征多项式等于零，即得系统的特征方程|sI-A|=sn+a1sn-1+…+an-1s+an＝0的根称为系统的特征值，即系统的闭环极点当然判断系统的稳定性同样可利用特征值来判断 【例5-3】已知系统的状态方程为控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析判断系统的稳定性解：可利用以下的MATLAB程序ex5_3.mA=[2.25 -5 -1.25 -0.5;2.25 -4.25 -1.25 -0.25;0.25 -0.5 -1.25 -1;1.25 -1.75 -0.25 -0.75];P=poly(A);r=roots(P);ii=find(real(r)>0);n=length(ii);if (n>0) disp('system is Unstable');else disp('System is Stable');end控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析执行结果显示：System is Stable对于例5-3，利用下列命令可得同样的结果>>r=eig(A);ii=find(real(r)>0);n=length(ii);>>if(n>0) disp(‘System is Unstable’);else disp(‘System is Stable’);end控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析3.用李雅普诺夫第二法来判断系统的稳定性l在高阶系统或者特征多项式中，当某些系数不是数值时，利用求闭环极点或特征值的方法来判断系统的稳定性是比较困难的。

在这种情况下，利用李雅普诺夫第二法比较有效，尤其在系统含有非线性环节时更是如此控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l线性定常连续系统l 　　　　　　　 (5-2)l在平衡状态xe=0处，渐近稳定的充要条件是：对任给的一个正定对称矩阵Q，存在一个正定的对称矩阵P，且满足矩阵方程l ATP＋PA＝－Q　 (5-3) 　 　　 　　　　　l而标量函数V(x)=xTPx是这个系统的一个二次型形式的李雅普诺夫函数l MATLAB提供了李雅普诺夫方程的求解函数lyap( )，其调用格式为l P=lyap(A ,Q)l式中，A,Q和P矩阵与式（5-3）中各矩阵相对应控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l更一般的，利用函数P=lyap(A ,Q)可以求解下面给出的李雅普诺夫方程l AP+PB=-Q (5-4)l对于离散系统的李雅普诺夫方程的求解函数为ldlyap().l【例5-4】设系统的状态方程为l其平衡状态在坐标原点处，试判断该系统的稳定性。

l解：MATLAB程序为：l%ex5_4.mlA=[0 1;-1 -1];Q=eye(size(A));P=lyap(A,Q);li1=find(P(1,1)>0);n1=length(i1);li2=find(det(P)>0);n2=length(i2);lif(n1>0 & n2>0)l disp('P>0,正定，系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的');lelsel disp('系统不稳定');lend执行结果显示：P>0,正定，系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析课后作业lP216，7－1控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析5.2 控制系统的时域分析利用时域分析方法能够了解控制系统的动态性能，如系统的上升时间，调节时间，超调量和稳态误差都可以通过系统在给定输入信号作用下的过渡过程来评价Matlab控制系统工具箱中提供了多种求取多种线性系统在特定输入下的时间响应曲线的函数，如表5－１所示控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析函数名功能函数名功能gensig()输入信号产生initial()求连续系统的零输入响应step()求连续系统的单位阶跃响应dinitial求离散系统的零输入响应dstep()求离散系统的单位阶跃响应lsim()求连续系统对任意输入响应impulse()求连续系统的单位脉冲响应dlism()求离散系统对任意输入响应dimpulse()求离散系统的单位脉冲响应表5－１时域响应函数　控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l1.任意信号函数l生成任意信号函数gensig( )的调用格式为l [u,t]=gensig(type,Ta)l或 [u,t]=gensig(type,Ta,Tf,T)l其中,第一式产生一个类型为type的信号序列u(t)，周期为Ta，type为以下标识字符串之一：’sin’—正 弦 波 ； ’square’—方 波 ；’pulse’—脉冲序列；第二式同时定义信号序列u(t)的持续时间Tf和采样时间T。

控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l例例5-5 生成一个周期为5秒，持续时间为30秒，采样时间为0.1秒的方波l解解 Matlab窗口中执行以下命令可得图5-2所示结果l>>[u,t]=gensig(’square’,5,30,0.1);l>>plot(t,u)l>>axis([0,30,–0.5,1.5]) 控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析图5-2 方波信号控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l2.连续系统的单位阶跃响应l　　单位阶跃响应函数step( )的调用格式为l [y,x,t]=step(num,den,t)l或 [y,x,t]=step(A,B,C,D,iu,t)l式中,t为选定的仿真时间向量;函数返回值y为系统在各个仿真时刻的输出所组成的矩阵；而x为自动选择的状态变量的时间响应数据l 如只想绘制出系统的阶跃响应曲线，则可以由如下的格式调用此函数l step(num,den,t)l step(A,B,C,D,t)l当 然 ， 时 间 向 量 t也 可 以 省 略 ， 此 时 ，MATLAB自动选择一个比较合适的仿真时间。

控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l【例5－6】假设系统的开环传递函数为l试求该系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线和最大超调量l解：MATLAB程序为：l%ex5_6.mlnum0=20;den0=[1 8 36 40 0];[num,den]=cloop(num0,den0);lt=0:0.1:10;[y,x,t]=step(num,den,t);plot(t,y)lM=((max(y)-1)/1)*100;disp([‘最大超调量M=‘ num2str(M) ‘%’])l执行结果为：最大超调量M＝2.5546%，单位阶跃响应曲线如图5－3中曲线所示控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l另外，对于例5－6结果，也可利用step(num,den,t)命令得到在该命令自动绘制的系统单位阶跃曲线的窗口中，首先在空白处单击鼠标右键，利用弹出菜单中的Characteristics Peak Response选项，获得系统阶跃响应曲线上的峰值标记点；然后单击此标记点即可获得该系统的响应峰值、最大超调量(%)和峰值时间分别为1.03、2.55和5.8，如图5－3所示控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析图5-3 例5－6的单位阶跃响应曲线控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l例例5-7 对于典型二阶系统l l试绘制出无阻尼自然振荡频率ωn=6，阻尼比ζ分别为0.2,0.4,…,1.0,2.0时系统的单位阶跃响应曲线。

控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析解解 MATLAB程序为 %Example5_7.mwn=6;zeta=[0.2:0.2:1.0,2.0]; figure(1);hold onfor k=zeta;num=wn.^2;den=[1,2*k*wn,wn.^2];step(num,den);endtitle('Step Response');hold off 执行后可得如图5-5所示的单位阶跃响应曲线从图中可以看出，在过阻尼( ) 和临界阻尼( )响应曲线中，临界阻尼响应应具有最短的上升时间，响应速度最快；在欠阻尼（ ） 响应曲线中，阻尼系数越小，超调量越大，上升时间越短，通常取控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l为宜，这时超调量适度，调节时间较短控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析图5-4 例5－7的单位阶跃响应曲线控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l【例5－8】对例5－7中典型二阶系统，绘制出l ， 取2，4，6，8，12时的单位阶跃响应l解：MATLAB程序为：l%Example5_8.mlw=[2:2:12];zeta=0.7; lfigure(1);hold onlfor wn = wlnum=wn.^2;lden=[1,2*zeta*wn,wn.^2];lstep(num,den);endltitle('Step Response');hold off控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析图5-5 例5－8的单位阶跃响应曲线控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l3.离散系统的单位阶跃响应l 离散系统的单位阶跃响应函数dstep( )的调用格式为l [y,x]=dstep(num,den,n)l或 [y,x]=dstep(G,H,C,D,iu,n)l式中，n为选定的取样点个数，当n省略时，取样点数由函数自动选取，其余参数定义同前。

控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析例例5-9 已知二阶离散系统试求其单位阶跃响应解：解：MATLAB程序为 %Example5_9.mnum=[2 -3.4 1.5];den=[1 -1.6 0.8];dstep(num,den); title(‘Piscrete Step Response’) 执行后得如图5-7所示的单位阶跃响应曲线 控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析图5-7 例5－9的单位阶跃响应曲线控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l例例5-10 对于多入多出系统对于多入多出系统l求单位阶跃响应求单位阶跃响应l解：这是双入双出系统，因此其阶跃响解：这是双入双出系统，因此其阶跃响应应有应应有4个MATLAB程序如下：程序如下：控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l%Example5_10.mlA=[2.25 -5 -1.25 -0.5;2.25 -4.25 -1.25 -0.25;0.25 -0.5 -1.25 -1;1.25 -1.75 -0.25 -0.75];lB=[4 6;2 4;2 2;0 2];C=[0 0 0 1;0 2 0 2];D=zeros(2,2);lfigure(1);step(A,B,C,D)控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析图5-7 例5－10的结果曲线控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l4.单位脉冲响应 l 单位脉冲响应函数impulse( ) 和dimpulse( )与单位阶跃函数step( )和dstep( )的调用格式完全一致，这里就不一一列写了。

控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l5.系统的零输入响应l　　对于连续系统由初始状态所引起的响应，即零输入响应，可由函数initial( )来求得，其调用格式为l [y,x,t]=initial(A,B,C,D,x0)l或 [y,x,t]=initial(A,B,C,D,x0,t)l其中 x0为初始状态，其余参数定义同前l同样对于离散系统的零输入响应函数dinitial()的调用格式为：l[y,x]=dinitial(A,B,C,D,x0)l或 [y,x]=dinitial(A,B,C,D,x0,n)l其中,n为取样点数，省略时由函数自动选取控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l【例5－11】已知系统的状态空间表达式为：l以T＝0.5为采样周期，采用双线性变换算法转换成离散系统，然后求出离散系统的单位阶跃响应、单位脉冲响应及零输入响应（设初始状态x0=[1 1 1 -1]T）l解：MATLAB的程序为：控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l%Example5_11.mlA1=[-1.6 -0.9 0 0;0.9 0 0 0;0.4 0.5 -5.0 -2.45;0 0 2.45 0];lB1=[1;0;1;0];C1=[1 1 1 1];D1=0;lT=0.5;[A,B,C,D]=c2dm(A1,B1,C1,D1,T,'tustin');lfigure(1);subplot(2,2,1);dstep(A,B,C,D),title('Discrete step response')lsubplot(2,2,2);dimpulse(A,B,C,D),title('Discrete impulse response')lsubplot(2,2,3);x0=[1;1;1;-1];dinitial(A,B,C,D,x0)laxis([0 6 -0.5 2.5]);title('Discrete Initial Response')lsubplot(2,2,4);[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D);pzmap(z,p);ltitle('Discrete Pole-Zero Map')控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析图5-8 例5－11的曲线控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l6. 任意输入函数的响应l　　连续系统对任意输入函数的响应可利用MATLAB的函数lsim( )求取，其调用格式为l [y,x]=lsim(num,den, u,t)l或 [y,x]=lsim(A,B,C,D,iu,u,t)l其中 u为给定输入序列构成的矩阵，它的每列对应一个输入，每行对应一个新的时间点，其行数与时间t的长度相等。

其他用法同step( )函数控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l【例5－12】已知系统l试求周期为4s的方波输出响应l解：利用函数rem()编写的MATLAB程序为：l%ex5_12.mlnum=[2 5 1];den=[1 2 3];lt=(0:0.1:10);period=4;u=1*(rem(t,period)>=period./2);llsim(num,den,u,t);title('Square Ware Response')l执行后可得如图5－9所示的输出响应曲线控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析图5-9 例5－12的输出响应曲线控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l同样，离散系统对任意输入函数的响应，可利用dlsim()函数求得，其基本调用格式为：l[y,x]=dlsim(num,den,u,n)l或[y,x]=dlsim(A,B,C,D,iu,u,t)l其中，n为取样点数l【例5－13】对离散系统l求当输入为幅值±1的方波信号时，系统的输出响应l解：MATLAB程序为：控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l%Example5_13.mlnum=0.632;den=[1 -1.368 0.568];lu1=[ones(1,50),-1*ones(1,50)];lu=[u1 u1 u1];lfigure(1),dlsim(num,den,u),title('Discrete System Simulation')l执行后可得如图5－10所示的仿真结果。

控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析图5-10 例5－13的仿真结果控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析5.3 根轨迹法l根轨迹是分析和设计线性定常系统的一种非常简便的图解方法，特别适用于多回路系统的研究l所谓根轨迹是指，当开环系统的某一参数从零变化到无穷大时，闭环系统的特征方程根在s平面上所形成的轨迹一般地，将这一参数选作开环系统的增益K，而在无零极点对消时，闭环系统特征方程的根就是闭环传递函数的极点l关于控制系统的根轨迹分析，在MATLAB控制系统工具箱中提供了几个函数，如表5－2所示控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析函数名说明pzmap()绘制系统的零极点图rlocus()绘制根轨迹rlocfind()求给定根的根轨迹增益sgrid()绘制连续系统的 网格根轨迹zgrid()绘制离散系统的 网格根轨迹表5－2根轨迹函数控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l1.绘制系统的零极点图l pzmap( )函数可绘制系统的零极点图，其调用格式为l [p,z]=pzmap(A,B,C,D)l或 [p,z]=pzmap(p,z)，l [p,z]=pzmap(num, den)l其中，列向量p为系统极点位置，列向量z为系统的零点位置。

l 对于单变量系统，用pzmap()函数在复平面内可求出系统的的零极点；对单多变量系统，用pzmap()可求出系统的特征向量和传递零点当带有输出变量时，可得到零极点位置，如需要可通过pzmap(p,z)绘制出零极点图，图中的极点用 “×”表示，零点用 “o”表示控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析2.绘制系统的根轨迹l对于图5-11所示的负反馈系统，其特征方程可表示为l l或 l l利用rlocus( )函数可绘制出当开环增益K由0至∝变化时，闭环系统的特征根在s平面变化的轨迹，该函数的调用格式为l [r,K]=rlocus(num,den) l [r,K]=rlocus(num,den, K)l或 [r,K]=rlocus(A,B,C,D)l [r,K]=rlocus(A,B,C,D, K)l其中 返回值r为系统的闭环极点，lK为相应的增益图5－11控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析lrlocus函数既适用于连续系统，也适用于离散系统。

rlocus（num,den）或rlocus（A,B,C,D）绘制系统根轨迹时，增益K是自动选取的， rlocus（num,den,K）或rlocus（A,B,C,D,K）可利用指定的增益K来绘制系统的根轨迹在不带有输出变量的引用函数时，rlocus()可在当前图形窗口中绘制出系统的根轨迹图当带有输出变量的引用函数时，可得到根轨迹的位置列向量r及相应的增益K列向量，再利用plot(r,’x’)可绘制出根轨迹控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l 在系统分析过程中，常常希望确定根轨迹上某一点处的增益值K，这时可利用MATLAB中的rlocfind( )函数，在使用此函数前要首先得到系统的根轨迹，然后再执行如下命令l [K,poles]=rlocfind(num,den)l或 [K,poles]=rlocfind(A,B,C,D)l　　执行上述命令后，将在屏幕上的图形中生成一个十字光标，使用鼠标移动它至所希望的位置，然后敲击鼠标左键即可得到该极点的位置坐标值poles以及它所对应的增益K值控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l例例5-14 已知某负反馈系统的开环传递函数为l试绘制系统根轨迹，并分析系统稳定的K值范围。

l解：解： MATLAB的程序为l%Example5_20.mlnum=1;den=conv([1,0],conv([1,1],[1,2]));lrlocus(num,den),l[K,poles]=rlocfind(num,den);控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析 执行以上程序，并移动鼠标到根轨迹与虚轴的交点处单击鼠标左键后可得如图5-12所示的根轨迹和如下结果： selected a point in the graphics windowlselected_point = l 0.0000 - 1.4142ilK =l 6.0000lpoles =l -3.0000 l 0.0000 +1.4142i l 0.0000 - 1.4142i 图5-12根轨迹图控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l 由此可见根轨迹与虚轴交点处的增益K=6，这说明当K <6时系统稳定，当K >6时，系统不稳定；利用rlocfind( )函数也可找出根轨迹从实轴上的分离点处的增益K =0.38, 这说明当0< K <0.38时，系统为单调衰减稳定，当0.38< K <6时系统为振荡衰减稳定的。

控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析3.绘制阻尼系数和自然频率的栅格线lsgrid（）函数可在连续系统的根轨迹或零极点图上绘制出栅格线，栅格线由等阻尼系数和等自然频率线构成，阻尼系数 的步长为0.1；自然频率 的步长为 范围为 lsgrid（）函数有以下几种调用格式lsgrid %在已有的图形上绘制栅格线lsgrid（’new’） %先清除图形屏幕，然后绘制l 出栅格线，并设置成hold on,使后l 续的绘图命令能绘制在栅格上；lsgrid（zeta,wn）%可指定阻尼系数 和自然频率l 并且在绘制栅格线之前清除图形窗口lsgrid（）函数可在连续系统的根轨迹或零极点图上绘制出栅格线，栅格线由等阻尼系数和等自然频率线构成，阻尼系数 的步长为0.1；自然频率 的步长为 范围为 。

lsgrid（）函数有以下几种调用格式lsgrid %在已有的图形上绘制栅格线lsgrid（’new’） %先清除图形屏幕，然后绘制l 出栅格线，并设置成hold on,使后l 续的绘图命令能绘制在栅格上；lsgrid（zeta,wn）%可指定阻尼系数 和自然频率l 并且在绘制栅格线之前清除图形窗口lsgrid（）函数可在连续系统的根轨迹或零极点图上绘制出栅格线，栅格线由等阻尼系数和等自然频率线构成，阻尼系数 的步长为0.1；自然频率 的步长为 范围为 lsgrid（）函数有以下几种调用格式lsgrid %在已有的图形上绘制栅格线lsgrid（’new’） %先清除图形屏幕，然后绘制l 出栅格线，并设置成hold on,使后l 续的绘图命令能绘制在栅格上；lsgrid（zeta,wn）%可指定阻尼系数 和自然频率l 并且在绘制栅格线之前清除图形窗口。

控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l【例5－15】已知系统的开环传递函数为：l ，绘制根轨迹和栅格线l解：MATLAB的程序为lnum=[2 5 1];den=[1 2 3];lrlocus(num,den);sgrid;l执行后可得如图5－13所示的仿真结果控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析图5－13根轨迹控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析5.4 控制系统的频域分析l频域分析方法是应用频率特性研究控制系统的一种经典方法它的基本原理是，若一个线性系统受到频率为 的正弦信号，但其幅值M( )与输入信号成比例关系，而且输出与输入信号之间有一个相位差 ， M( )和 是关于 的有理函数，这样就可以通过M( )和 来表示系统的特征了l 控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析频率响应研究系统的频率行为，从频率响应中可得带宽、增益、转折频率和闭环系统稳定性等系统特征MATLAB的控制系统工具箱提供了多种求取线性系统频率响应曲线的函数，如表5-3所示。

控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析函数名功能函数名功能logspace()产生频率向量ngrid()尼柯尔斯网格线bode()连续系统的伯德图sigma()连续系统奇异值频率图dbode()离散系统的伯德图dsigma()离散系统奇异值频率图nyquist()连续系统的奈奎斯特图freqresp()求取频率响应值dnyquist()离散系统的奈奎斯特图evalfr()求取单个复数频率点处的频率响应值nichols ()连续系统的尼柯尔斯曲线margin()求幅值裕量、相位裕量及对应的转折频率dnichols ()离散系统的尼柯尔斯曲线表5－3频域响应函数控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l1. 产生频率向量l 频率向量可由logspace( )函数来构成此函数的调用格式为lω=logspace(m,n,npts)l此命令可生成一个以10为底的指数向量(10m∽10n )，点数由npts任意选定控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析2.系统的伯德图（Bode图）设系统的开环传递函数为：则系统的频率响应为：系统的伯德图就是幅值 与相位 分别对角频率 进行绘图。

因此，也称为幅频和相频曲线根据开环的幅频和相频特性曲线，可求出幅值裕量和相位裕量控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l 连续系统的伯德图可利用bode( )函数来绘制，其调用格式为l [mag,phase,w]=bode(num,den)l [mag,phase, w]=bode(num,den, w)l [mag,phase, w]=bode(A,B,C,D)l [mag,phase, w]=bode(A,B,C,D,iu)l [mag,phase, w]=bode(A,B,C,D,iu, w)l式中,num,den和A,B,C,D分别为系统的开环传递函数和状态方程的参数，而w为频率点构成的向量控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析lbode(num,den) %可绘制出以传递函数G(s)=num(s)/den(s)表示的系统Bode图lbode(A,B,C,D) %可绘制出以状态空间表达式 所表示系统的每个输入的Bode图。

lbode(A,B,C,D,iu) %可得从系统第iu个输入到所有输出的Bode图，其中频率范围由函数自动选取，而且在响应快速变化的位置会自动采用更多取样点lbode(num,den,w) l和bode(A,B,C,D,iu,w) %可利用指定的频率点向量 绘制系统的Bode图lbode函数本身可以通过输入元素的个数来自动地识别给出的是传递函数模型还是状态方程模型当带输出变量引用函数时，可得到系统Bode图相应的幅值mag，相位phase及频率点向量 ，其控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l相互关系为l相位以度为单位，幅值可转换成以分贝为单位，即控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l 有 了 这 些 数 据 就 可 以 利 用 下 面 的MATLAB命令l >>subplot(2,1,1);semilogx(w,20*log10(mag))l >>subplot(2,1,2);semilogx(w,phase)l 在同一个窗口上同时绘制出系统的Bode图了，其中前一条命令中对幅值向量mag求取分贝(dB)值控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l 如果只想绘制出系统的Bode图，而对获得幅值和相位的具体数值并不感兴趣，则可以采用如下简单的调用格式l bode(num,den,ω)l bode(A,B,C,D,iu,ω）l或更简单地l bode(num,den) l bode(A,B,C,D,iu)控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析例例5-16 已知二阶系统的开环传递函数为绘制出当a分别取0.2,0.4,0.6,0.8,1.0时系统的Bode图。

解：解： 当a取0.2,0.4,0.6,0.8,1.0时二阶系统的Bode图可直接采用bode( )函数得到MATLAB程序为 ：控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析 %ex5_16.m w=logspace(0,1); a=[0.2:0.2:1.0]; figure(1);num=9;for k=aden=[1,6*k, 9];bode(num,den, w); hold on end grid;title(‘Bode plot’);hold off 执行后得如图5-14所示Bode图从图中可以看出，当ω→0时，相角趋于0，当ω→∞时，相角趋于 -1800，当ω=ωn时，相角等于 -900，此时的幅值也最大 控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析图5－14 Bode图控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l3.幅值裕量和相位裕量l　　在判断系统稳定性时，常常需要求出系统的幅值裕量和相位裕量利用MATLAB控制系统工具箱提供的margin( )函数可以求出系统的幅值裕量与相位裕量，该函数的调用格式为l [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(num,den)l或 [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(A,B,C,D)l式中 Gm和Pm分别为系统的幅值裕量和相位裕量，而Wcg和Wcp分别为幅值裕量和相位裕量处相应的频率值，即相位穿越频率 和幅值穿越 。

控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l例例5-17 给定系统的开环状态空间表达式为 l求系统的幅值裕量和相位裕量，并画出Bode图l解：MATLAB程序为：控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l%ex5_17.mlw=logspace(-1,1);lA=[0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;-62.5 -213.8 -204.2 -54];lB=[0;0;0;1];lC=[1562 1875 0 0];D=0;l[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(A,B,C,D),bode(A,B,C,D,1,w);ldisp([‘幅值裕量=’,num2str(20*log10(Gm)),‘dB,’,‘相位裕量=’,num2str(Pm),‘度']);ltitle([‘Gain margin=’,num2str(Gm), ‘Phase margin=’num2str(Pm)])控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析执行后得如下数据及图执行后得如下数据及图5-155-15所示所示BodeBode图lGm =l 4.4922lPm =l 23.0705lWcg =l 12.6466lWcp =l 5.8275 l幅值裕量=13.0492dB，相位裕量 =23.0705度，即lω＝12.6466时，相位曲线穿越－180 线，幅值裕量为Gm=4.4922=13.0492dB。

lω＝5.8275时，系统的幅值为1，相位裕量为Pm为23.0705度控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析图5-15 Bode 图控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l　除了根据系统模型直接求取幅值和相位裕量之外，MATLAB的控制系统工具箱中还提供了由幅值和相位相应数据来求取裕量的方法，这时函数的调用格式为l[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(mag,phase,w)l式中,频率响应可以是由bode( )函数获得的幅值和相位向量，也可以是系统的实测幅值与相位向量，w为相应的频率点向量控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l4.频率响应值l　　MATLAB也提供了直接的求取频率响应数据的函数freqresp( ),其调用格式为l F=freqresp(num,den,sqrt(-1)*w)l或 F=freqresp(A,B,C,D,iu,sqrt(-1)*w)l式中,F为频率响应，w为给定的频率范围向量控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析例【5－18】已知系统的传递函数为求在频率为0.1~10之间的频率响应。

解：MATLAB程序为：l%ex5_18.mlw=logspace(-1,1);num=[1 7 24 24];den=[1 10 35 50 24];lF=freqresp(num,den,sqrt(-1)*w)l结果显示：控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析lF =l 0.9892 - 0.1073il 0.9870 - 0.1176il 0.9843 - 0.1289il l 0.0266 - 0.0983il 0.0239 - 0.0919il 0.0212 - 0.0857i控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析lMATLAB也提供了直接求取LTI系统（LTI系统的定义参见第九章）在单个复数频率点处的频率响应数据的函数evalfr()，其调用格式为：lF= evalfr(sys,w)l式中，F为频率响应，w为给定的频率向量l例【5－19】求例5－18所示系统在频率等于0.1的频率向量l解：MATLAB程序为：l%ex5_19.mlw=0+0.1j;num=[1 7 24 24];den=[1 10 35 50 24];sys=tf(num,den);F=evalfr(sys,w);控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l结果显示：lF＝l0.9892 - 0.1073i控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析5.系统的奈奎斯特图（Nyquist图）lNyquist图是根据开环频率特性G(jω)H(jω)在复平面上绘制其极坐标图，利用开环系统的Nyquist曲线，可判断变换系统的稳定性。

lNyquist稳定性判据可表示为：当ω从－∞ →+ ∞变化时， Nyquist曲线G(jω)H(jω)逆时针包围(-1,j0)点的次数N，等于系统开环传递函数G(s)H(s)位于右半s平面的极点数P，即N＝P，则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析nyquist( )函数的调用格式为 [Re,Im,w]=nyquist(num,den) [Re,Im,w]=nyquist(num,den,w) [Re,Im,w]=nyquist(A,B,C,D) [Re,Im,w]=nyquist(A,B,C,D,iu) [Re,Im,w]=nyquist(A,B,C,D,iu,w)其中 返回值Re,Im和w分别为频率特性的实部向量、虚部向量和对应的频率向量，有了这些值就可利用命令plot(Re,Im)来直接绘出系统的奈奎斯特图控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l 当然也可使用下面的简单命令来直接绘出系统的奈奎斯特图l nyquist(num,den,w)l或 nyquist(A,B,C,D)l更简单地 nyquist(num,den)l或 nyquist(A,B,C,D,iu)l它的使用方法基本同bode( )函数的用法。

控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l例例5-26 已知系统的开环传递函数为l绘制Nyquist图，并判断系统的稳定性l解解 MATLAB命令为l>>num=0.5;den=[1 2 1 0.5]; l>>nyquist(num,den) l执行后可得如图5-16所示的曲线，由于Nyquist曲线没有包围(-1,j0)点，且P＝0，所以由G(s)H(s)构成的单位负反馈闭环系统稳定 控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析图5-16 例5－20的Nyquist曲线控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l例【5－21】已知系统的开环传递函数为：l绘制系统的Nyquist曲线，并判别闭环系统的稳定性l解：MATLAB命令为：lk=50;z=[];p=[-5 2];l[num,den]=zp2tf(z,p,k);nyquist(num,den)l执行后可得如图5－21所示的Nyquist曲线由图可知，lNyquist曲线按逆时针方向包围(-1,j0)点1次，而开环系统包含右半s平面上的一个极点，所以以此构成的闭环系统稳定。

控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析图5-17 例5－21的Nyquist曲线控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l例【5－22】已知多环系统l其系统方框图如图5－18所示，试用Nyquist曲线判断系统的稳定性图5－18 例5－22的图控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l解：先算出内环传递函数，l然后以G0(s)为开环传递函数绘制出Nyquist曲线，但这里不能直接采用奈氏判据，因为在前向通道上有一放大系数k=10,因此，奈氏判据中的临界点应改成(-1/k,j0)点MATLAB程序为：l%ex5_22.mlk1=16.7/(0.8*0.25*0.0625);z1=[0];p1=[-1/0.8 -1/0.25 -1/0.0625];l[num1,den1]=zp2tf(z1,p1,k1);[num,den]=cloop(num1,den1);nyquist(num,den);l[z,p,k]=tf2zp(num,den);[num1,den1]=zp2tf(z,p,10*k);[num,den]=cloop(num1,den1);l[z,p,k]=tf2zp(num,den);p控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l执行后可得系统的闭环极点为：lP＝l 1.0e+002*l -0.1062+1.2113il -0.1062-1.2113il -0.0001l并得到如图5－19所示的Nyquist曲线。

由图可知，Nyquist曲线不包围(-0.1,j0)点，而开环系统的三个极点均位于左半s平面，因此这个系统是稳定的控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析图5-19 例5－22的Nyquist曲线控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l6.尼柯尔斯图(Nichols图)l 函数调用格式为l [mag,phase,w]=nichols(num,den,w)l或 [mag,phase, w]=nichols(A,B,C,D,iu, w)l可见该函数的调用格式以及返回的值与bode( )函数完全一致，事实上虽然它们使用的算法不同, 但这两个函数得出的结果还是基本一致的但Nichols图的绘制方式和Bode图是不同的，它可由以下命令绘制lplot(phase,20*log10(mag))l 当然，Nichols图也可采用与Bode图类似的简单命令来直接绘制控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析例例5-23 已知单位负反馈的开环传递函数为试绘制Nichols图解解 MATLAB程序为%Example5_23.mnum=1;den=conv([1,0],conv([1,1],[0.2,1])); w=logspace(-1,1,400); [mag,phase]=nichols(num,den,w);plot(phase,20*log10(mag)) ngrid 执行后可得如图5-20所示的Nichols图。

控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析图5-21 例5－23的Nichols图控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l7.离散系统的频率分析 l　离散时间系统的频率分析也可以调用相应的MATLAB控制系统工具箱函数来完成，这些函数是以连续系统的函数名前加一字母d来命名的，例如离散时间系统的Bode图可以由dbode( )函数求出，离散时间系统的Nyquist图可以由dnyquist( )函数来求出，以及离散时间系统Nichols图可以由dnichols( )函数来求出，其实在MATLAB的控制系统工具箱中这样的函数命名方式是相当普遍的，它们的调用格式与连续系统类似例如，dbode()函数的调用格式为： [mag,phase]=dbode(num,den,Ts,w)l或 [mag,phase]=dbode(G,H,C,D,Ts,iu,w)控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l式中，num,den和G,H,C,D分别为离散系统传递函数和状态方程模型的参数Ts为采样周期；iu为输入序号；w仍为频率向量当w省略时，频率点在0~ 弧度之间自动选取。

返回值mag,phase则分别为该系统的幅值和相位向量，通过它们可以绘制出系统的频率响应曲线当然这一函数的调用格式也可以简化成下面格式:l dbode(num,den,Ts,w)l dbode(G,H,C,D,Ts,iu,w)l更简单地 dbode(num,den, Ts)l或 dbode(G,H,C,D,Ts,iu)l在这种情况下，将直接绘制出离散时间系统的Bode图l【例5－24】已知开环系统的离散时间状态空间表达式为：控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l试绘制出Bode图（设采样周期为Ts=0.1）l解：MATLAB命令为l%ex5_24.mlG=[-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1];H=[2;0;1];C=[1 2 0];D=0;ldbode(G,H,C,D,0.1,1);gridl如图5－21所示控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析图5－21 例5－24的Bode图控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l8.时间延迟系统的频率分析l带有时间延迟的连续控制系统的传递函数模型可以写成：l式中， 为延迟时间常数； 为不带有时间延迟的传递函数模型。

由此可见，带有时间延迟的系统从某种意义上说，相当于在一个不带时间延迟的传递函数模型后面串接一个纯时间延迟环节 l带时间延迟的状态方程模型可以写成：l l 函数的调用格式为l [num,den]=pade(τ,n)（5－5）l8.时间延迟系统的频率分析l带有时间延迟的连续控制系统的传递函数模型可以写成：l式中， 为延迟时间常数； 为不带有时间延迟的传递函数模型由此可见，带有时间延迟的系统从某种意义上说，相当于在一个不带时间延迟的传递函数模型后面串接一个纯时间延迟环节 l带时间延迟的状态方程模型可以写成：控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析（5－6）其中， 矩阵和不含有时间延迟是类似的带时间延迟的连续控制系统的频率响应可以由以下两种方法直接求得，即精确法和近似法1）首先求出不含时间延迟的传递函数模型 的幅频响应和相频响应,这样整个系统的幅频响应和 的幅频响应是一致的，而相频响应等于 的相位再减去 ，亦即（2）先将纯时间延迟环节 近似为有理函数（即传递函数类的分子分母多项式）的形式，再根据串联后总的传递函数来算出频率响应。

控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l纯时间延迟环节 常采用 近似方法，它是1892年由法国数学家 提出的一种著名的有理近似方法，其表达式为：l式中， 称为 近似系数它利用MATLAB控制系统工具箱中提供的函数pade()求得，该函数的调用格式为l[num,den]=pade(tau,n)l式中，tau为延迟时间常数 ；n为要求拟合的阶数；调用该函数后将返回pade近似的传递函数模型num,den一般情况下，取pade近似的拟合阶次为3或4就可以获得相当满意的精度控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l【例5－25】 系统的开环传递函数为：l采用精确法和近似法分别计算出系统的频率响应l解：MATLAB程序为：l%ex5_25.mlnum1=[1 1];lden1=conv([1,2],conv([1,2],[1,2]));lw=logspace(-1,2);tau=0.5;l[m1,p1]=bode(num1,den1,w);lp1=p1-tau*w'*180/pi;l[n2,d2]=pade(tau,4);lnumT=conv(n2,num1);denT=conv(den1,d2);l[m2,p2]=bode(numT,denT,w);lsubplot(2,1,1);lsemilogx(w,20*log10(m1),w,20*log10(m2),'-')lsubplot(2,1,2);semilogx(w,p1,w,p2,'-')控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l执行后可得如图5－22所示的Bode图，图中实线为系统采用精确法后的Bode图，虚线为系统采用近似法的Bode图。

控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析图5－22 Bode图控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析9.利用频率响应数据辩识系统模型 对于某些比较复杂的控制系统的数学模型往往没有办法从物理上得出，但可以通过适当的实验手段测试出系统的某种响应信息，如可以通过频率响应测试出系统的频率响应数据，或通过数据采集系统来测试出系统时间响应的输入与输出数据有了系统的某种响应数据，就可以根据它来获得系统的数学模型这种获得数学模型的过程称为系统辨识 在matlab信号处理工具箱中，给出了一个根据系统的频率响应数据来辨识系统传递函数模型的函数invfreqs()，该函数的调用格式为： [num,den]=invfreqs(F,w,m,n)式中，w为由频率点构成的向量；F为复数向量，其实部和虚部为辨识时用到的频率响应数据的实部和虚部数据；m和n分别为待辨识系统的分子和分母阶次返回的num和den分别为辨识出传递函数分子和分母的系数向量，即系统的传递函数模型如果给出系统的幅频和相频phase响应数据，则可以由下面的方式来调用invfreqs()函数。

控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l[num,den]=invfreqs(mag.*exp(sqrt(-1)*phase),w,m,n)l除了由频率响应数据来辨识系统模型外，还可以根据阶跃响应及脉冲响应数据对系统的传递函数进行辨识，其具体的做法是，首先将阶跃响应数据或脉冲响应数据转化为响应的频率响应数据，然后再根据上面的方法来辨识原系统的模型由脉冲响应数据求取频率响应数据的方法是很显然的，因为脉冲响应函数g(t)和频率响应函数G(j )满足下面的关系：l其中，Tf取得足够大就可以由数值积分的算法得出频率响应数据这样由脉冲响应数据的辨识问题就转换成由频率响应辨识的问题了另外，由控制理论可知，若已知系统的阶跃响应数据，则可以通过数值微分的方法得出系统的脉冲响应数据，从而最终由已知的方法辨识出系统的传递函数模型控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l【例5－26】利用例5－18在给定频率范围上求得的频率响应值F，辨识系统的传递函数模型l解： MATLAB程序为：l%ex5_26.mlw=logspace(-1,1);num=[1 7 24 24];den=[1 10 35 50 24];lF=freqresp(num,den,sqrt(-1)*w)l[num,den]=invfreqs(F,w,3,4),printsys(num,den)l结果显示：控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析lnum =l 1.0000 7.0000 24.0000 24.0000lden =l 1.0000 10.0000 35.0000 50.0000 24.0000l lnum/den = l l 1 s^3 + 7 s^2 + 24 s + 24l ---------------------------------l s^4 + 10 s^3 + 35 s^2 + 50 s + 24控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l利用MATLAB的控制系统工具箱，不仅可以分析系统的能控性和能观测性。

而且可对不完全能控或不完全能观测的系统进行结构分解，函数如表5－4所示7.5 7.5 系统的能控性和能观测性分析系统的能控性和能观测性分析函数名功能ctrb()求能控性矩阵obsv()求能观测性矩阵gram()求能控性或能观测性Gram矩阵表5－4 模型属性函数控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析函数名功能dgram()求离散系统的能控性或能观测性Gram矩阵ctrbf()将系统按能控性和不能控性进行分解obsvf()将系统按能观测性和不能观测性进行分解续表控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l7.5.1 系统的能控性和能观测性l能控性和能观测性是现代控制理论中两个重要的基本概念，是设计控制器和状态估计器的基础l系统的能控性是指系统的输入能否控制状态的变化而系统的能观测性是指系统状态的变化能否由系统的输出反映出来l l对于n阶线性定常系统l能控性矩阵为控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l 当rank Uc=n时，系统的状态完全能控，否则系统不能控l能观测性矩阵为l 当rankVo＝n时，系统的状态完全能观测，否则系统状态不能观测。

控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l 在MATLAB中，可利用ctrb( )和obsv( )函数直接求出能控性和能观测性矩阵，从而确定系统的状态能控性和能观测性它们的调用格式分别为lUc=ctrb(A,B)l Vo=obsv(A,C)l其中， A,B,C为系统的各矩阵，Uc和Vo分别为能控性矩阵和能观测性矩阵l【例5－27】已知线性定常系统控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l判断系统的能控性和能观测性l解：MATLAB程序如下：l%ex5_27.mlA=[-3 1;1 -3];B=[1 1;1 1];C=[1 1;1 -1];D=[0];ln=2;Uc=ctrb(A,B);Vo=obsv(A,C);lif(rank(Uc)==n)l if(rank(Vo)==n)l disp(‘系统状态既能控又能观测’)l else disp(‘系统状态能控，但不能观测’)l endlelse if (rank(Vo)==n)l disp(‘系统状态能观测，但不能控’)l else disp(‘系统状态不能控，也不能观测’)l endlendl执行结果显示：系统状态能观测,但不能控控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l另外，利用系统的能控性和能观测性Gram矩阵l l和 l是否满秩，也可判别系统的能控性和能观测性。

l 在MATLAB中，求系统的能控和能观测性Gram矩阵的函数gram( )的调用格式为l Wc=gram(A,B)l和 Wo=gram(A’,C’)控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l例【5－28】已知系统l当a分别取－1，0，1时，判别系统的能控性和能观测性l解：MATLAB程序如下：l%ex7_28.mlfor a=[-1:1]l al num=[1,a];den=[1 10 27 18];n=3;l [A,B,C,D]=tf2ss(num,den);Wc=gram(A,B);Wo=gram(A',C');l if (rank(Wc)==n)l if(rank(Wo)==n)l disp(‘系统既能控又能观测’)l else disp(‘系统能控，但不能观测')l endl else if (rank(Wo)==n)l disp(‘系统能观测，但不能控’)l else disp(‘系统不能控也不能观测’)l endl endlend控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l运行结果表明：la =l -1l系统状态既能控又能观测la =l 0l系统状态既能控又能观测la =l 1l系统能控,但不能观测控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析5.5.2 将系统按能控和不能控性进行分解l若原系统 不完全能控，则存在l一个相似变换矩阵T，使得系统变换为l其中， 为能控子系统。

控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析lMATLAB的控制系统工具箱中提供了这种分解的函数ctrbf( )，其调用格式为l =ctrbf(A,B,C)l其中 Tc为相似变换阵，Kc是长度为n的一个矢量，其元素为各个块的秩，sum(K)可求出A中能控部分的秩， 对应与转换后系统的A,B,C控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l例【5－29】已知系统的状态空间表达式为l试判断系统是否为状态完全能控，否则将系统按能控性分解l解：MATLAB程序如下：l%ex5_29.mlA=[0 0 -1;1 0 -3;0 1 -3];B=[1;1;0];C=[0 1 -2];ln=rank(A);Uc=ctrb(A,B);lif(rank(Uc)==n)l disp(‘系统状态完全能控’)lelsel [Ac,Bc,Cc,Tc,Kc]=ctrbf(A,B,C)lend控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l结果显示：lAc =l -1.0000 0.0000 0.0000l -2.1213 -2.5000 0.8660l -1.2247 -2.5981 0.5000lBc =l 0.0000l -0.0000l -1.4142lCc =l 1.7321 1.2247 -0.7071lTc =l -0.5774 0.5774 -0.5774l 0.4082 -0.4082 -0.8165l -0.7071 -0.7071 0lKc =l 1 1 0控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析5.5.3 将系统按能观测性和不能观测性进行分解若系统 不完全能观测，则存在一个相似变换阵T，，将系统变换为：其中， 为能观测子系统。

MATLAB控制系统工具箱中，能观测性分解函数obsvf()的调用格式为：[Ao,Bo,Co,To,Ko]=obsvf(A,B,C)其中，To为相似变换阵，Ko是长度为n的一个矢量，其元素为各个块的秩sum(K)可求出A中能观测部分的秩Ao,Bo,Co对应于转换后系统的A,B,C控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析l【例5－30】试判断例5－29的系统是否为状态完全能观测，否则将系统按能观测性进行分解l解：MATLAB程序如下：l%ex5_30.mlA=[0 0 -1;1 0 -3;0 1 -3];B=[1;1;0];C=[0 1 -2];ln=rank(A);Vo=obsv(A,C);lif(rank(Vo)==n)l disp(‘系统状态完全能观测’)lelsel [Ao,Bo,Co,To,Ko]=obsvf(A,B,C)lEndl执行结果显示：控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析lAo =l -1.0000 -1.3416 -3.8341l 0.0000 -0.4000 -0.7348l -0.0000 0.4899 -1.6000lBo =l 1.2247l -0.5477l -0.4472lCo =l -0.0000 0.0000 -2.2361lTo =l 0.4082 0.8165 0.4082l -0.9129 0.3651 0.1826l 0 -0.4472 0.8944lKo =l 1 1 0控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析课后作业lP216，7－2，7－3，7－5.控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析本章小结l本章主要介绍了利用MATLAB进行控制系统的分析。

通过本章的学习，应重点掌握以下内容：l（1）利用MATLAB分析系统的稳定性l（2）利用MATLAB求取系统在典型和任意输入信号作用下的时域响应l（3）利用MATLAB绘制系统的根轨迹，在根轨迹上可确定任意点的根轨迹增益K的值，从而得到使系统稳定的根轨迹增益K的取值范围l（4）利用MATLAB绘制系统的Bode图、Nichols图和Nyquist图等，并求取系统的幅值裕量和相位裕量；l（5）利用MATLAB分析具有时间延迟系统的频率特性l（6）求取频率响应数据，且根据频率响应数据辨识系统的模型参数l（7）利用MATLAB分析系统的能控性和能观测性，并能对不完全能控或不完全能观测的系统进行结构分解控制系统数字仿真与cad控制系统的计算机辅助分析。