2005年数二真题解析.doc

2005 年硕士研究生入学考试（数学二）试题及答案解析年硕士研究生入学考试（数学二）试题及答案解析一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（（1））设，则 = .xxy)sin1 (  xdydx【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或 取对数后转化为隐函数求导.【详解】 方法一： =，于是xxy)sin1 ( )sin1ln(xxe，]sin1cos)sin1[ln()sin1ln( xxxxeyxx 从而 = xdy.)(dxdxy方法二： 两边取对数，，对 x 求导，得)sin1ln(lnxxy，xxxxyysin1cos)sin1ln(1 于是 ，故]sin1cos)sin1[ln()sin1 (xxxxxyx = xdy.)(dxdxy（（2）） 曲线的斜渐近线方程为.xxy23 )1 ( 23 xy【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为 a=, 1)1 (lim)(lim23 xxx xxfxx，23)1 (lim)(lim23 23 xxxaxxfb xx于是所求斜渐近线方程为.23 xy（（3）） . 10221)2(xxxdx 4【分析】 作三角代换求积分即可.【详解】 令，则txsin 10221)2(xxxdx2 02cos)sin2(cossin dttttt=.4)arctan(coscos1cos2 02 02 tttd（（4）） 微分方程满足的解为.xxyyxln291) 1 (y.91ln31xxxy【分析】 直接套用一阶线性微分方程的通解公式：)()(xQyxPy，])([)()(CdxexQeydxxPdxxP再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为，xyxyln2于是通解为 ]ln[1]ln[2 222 CxdxxxCdxexeydxxdxx=，21 91ln31 xCxxx由得 C=0，故所求解为91) 1 (y.91ln31xxxy（（5））当时，与是等价无穷小，则0x2)(kxx xxxxcosarcsin1)(k= .43【分析】 题设相当于已知，由此确定 k 即可.1)()(lim 0 xxx【详解】 由题设，200cosarcsin1lim)()(limkxxxx xxxx =)cosarcsin1(cos1arcsinlim20xxxkxxxxx=，得k21143cos1arcsinlim20kxxxxx.43k（（6））设均为 3 维列向量，记矩阵321,,，，),,(321A)93,42,(321321321B如果，那么 2 .1AB【分析】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算 即可.【详解】 由题设，有)93,42,(321321321B=， 941321111 ),,(321于是有 . 221 941321111  AB二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（（7））设函数，则 f(x)在内nnnxxf31lim)( ),((A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出 f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】 当时，；1x11lim)(3 nnnxxf当时，；1x111lim)( nnxf当时，1x.) 11(lim)(3133x xxxfn nn 即 可见 f(x)仅在 x=时不可导，故应选(C).. 1, 11, 1,, 1,)(33xxxxxxf1（（8））设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，表示“M 的充分必要条件是 N”，““NM  则必有 (A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数. [ A ]  【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为，且xCdttfxF 0)()().()(xfxF当 F(x)为偶函数时，有，于是，即 )()(xFxF)() 1()(xFxF，也即，可见 f(x)为奇函数；反过来，若 f(x)为奇函数，)()(xfxf)()(xfxf则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项.xdttf 0)(xCdttfxF 0)()(方法二：令 f(x)=1, 则取 F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令 f(x)=x, 则取 F(x)=, 排除(D); 2 21x故应选(A).（（9））设函数 y=y(x)由参数方程确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x  )1ln(,22tyttx轴交点的横坐标是 (A) . (B) . 32ln8132ln81(C) . (D) . [ A ]32ln832ln8 【分析】 先由 x=3 确定 t 的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可 得所需的横坐标.【详解】 当 x=3 时，有，得（舍去，此时 y 无意义） ，于是322 tt3, 1tt，可见过点 x=3(此时 y=ln2)的法线方程为：81 221111 tttt dxdy，)3(82lnxy令 y=0, 得其与 x 轴交点的横坐标为：, 故应(A).32ln81（（10））设区域，f(x)为 D 上的正值连续函数，a,b}0, 0, 4),{(22yxyxyxD为常数，则dyfxfyfbxfaD)()()()((A) . (B) . (C) . (D) . [ D ]ab2ab)(ba 2ba 【分析】 由于未知 f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考 虑用轮换对称性. 【详解】 由轮换对称性，有dyfxfyfbxfaD)()()()(dxfyfxfbyfaD)()()()(=dxfyfxfbyfayfxfyfbxfaD])()()()()()()()([21= 应选(D)2241 222babadbaD（（11））设函数, 其中函数具有二阶导数，yxyxdttyxyxyxu)()()(),(具有一阶导数，则必有(A) . （B） .2222yu xu 2222yu xu (C) . (D) . [ B ]222yu yxu 222xu yxu 【分析】 先分别求出、、，再比较答案即可.22xu 22yu  yxu 2【详解】 因为，)()()()(yxyxyxyxxu，)()()()(yxyxyxyxyu于是 ，)()()()(22 yxyxyxyxxu  ，)()()()(2 yxyxyxyxyxu  ，)()()()(22 yxyxyxyxyu  可见有，应选(B).2222yu xu （（12））设函数则,11)(1xx exf(A) x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点. (C) x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点. (D)x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点. [ D ] 【分析】 显然 x=0,x=1 为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数 f(x)在 x=0,x=1 点处无定义，因此是间断点.且 ，所以 x=0 为第二类间断点； )(lim 0xf x，，所以 x=1 为第一类间断点，故应选(D).0)(lim 1 xf x1)(lim 1 xf x（（13））设是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，21,21,1线性无关的充分必要条件是)(21A(A) . (B) . (C) . (D) . [ B ]01020102【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】 方法一：令 ，则0)(21211Akk， .022211211kkk0)(2221121kkk由于线性无关，于是有21, . 0, 022121  kkk当时，显然有，此时，线性无关；反过来，020, 021kk1)(21A若，线性无关，则必然有(,否则，与=线性相关)，1)(21A021)(21A11故应选(B).方法二： 由于 ， 21 212211121101],[],[)](,[A可见，线性无关的充要条件是故应选(B).1)(21A. 0012 21（（14））设 A 为 n（）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, 分2n**,BA别为 A,B 的伴随矩阵，则(A)交换的第 1 列与第 2 列得. (B) 交换的第 1 行与第 2 行得. *A*B*A*B(C) 交换的第 1 列与第 2 列得. (D) 交换的第 1 行与第 2 行得. *A*B*A*B[ C ]【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵 的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵（交换 n 阶单位矩阵的第 1 行与第 2 行所得） ，12E使得 ，于是 ，即BAE1212*1 1212*12*** 12*)(EAEEAEAAEB,可见应选(C).* 12*BEA三 、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.） （15） （本题满分 11 分）设函数 f(x)连续，且，求极限0)0(f. )()()( lim000xxxdttxf。