第四章-图形变换——投影变换参考.ppt

4.2 三维图形投影变换2021/3/1112021/3/112 通常图形输出设备（显示器，绘图仪等）都是二维的，所以要将三维坐标系下图形上各点的坐标转化为某一平面坐标系下的二维坐标 投影变换:把三维物体变为二维图形表示的过程称为投影变换2021/3/1132021/3/1142021/3/115投影平面三维场景生成步骤类似于照相机拍摄一张照片的过程，s1、s2、s3可为任意指定平面2021/3/116 指定一个投影面，再取景物面片上的一条线段AB，把线段投影到投影面上,如图: 投影中心、观察平面、投影线：2021/3/117透视投影:物体位置沿收敛于一点的直线变换到观察平面,投影中心到观察平面之间的距离是有限的平行投影:物体位置沿平行线变换到观察平面上,投影中心到观察平面之间的距离是无限的平面几何投影分为透视投影和平行投影2021/3/118平行投影 根据投影线方向与投影平面的夹角，平行投影分为两类：正投影和斜投影2021/3/1194.3.1 正投影正投影又可分为：三视图和正轴测当观察平面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图；否则，得到的投影为正轴测图2021/3/1110三视图：正视图、侧视图和俯视图 4.2.1.1 三视图2021/3/11114.2.1.1 三视图 三视图包括主视图、侧视图和俯视图三种，观察平面分别与Y轴、X轴和Z轴垂直。

把三维空间的图形在三个方向上所看到的棱线分别投影到三个坐标面上再经过适当变换放置到同一平面上 2021/3/1112计算步骤：(1) 确定三维物体上各点的位置坐标(2) 引入齐次坐标表示位置坐标(3) 将所作变换用矩阵表示，通过矩阵运算求得三维物体上各点(x,y,z)经变换后的相应点(x,y)（xoy平面）或(y,z ) (yoz平面）(4) 由变换后的所有二维点绘出三维物体投影后的三视图三视图2021/3/11131、主视图(V)面将三维物体向xoz面（又称V面）作垂直投影（即正平行投影），得到主视图2021/3/1114 设三维点为(x, y, z),则正向投影点为(x,y,z )2021/3/1115 三维物体向xoy面（又称H面)作垂直投影得到俯视图，(1) 投影变换(2)使H面绕x轴顺时针旋转90(3)使H面沿z方向平移一段距离-n2、 俯视图(H)面三维型体及其三视图2021/3/1116 设三维点为（x, y, z），则正向投影点为(x, y, z )2021/3/1117点在H面上投影的坐标变换为： 2021/3/11183、侧视图(W面)侧视图是将三维物体往yoz面(侧面W）作垂直投影。

1) 侧视图的投影变换(2)使W面绕z轴逆时针旋转90(3)使W面沿负x方向平移一段距离-k2021/3/11192021/3/1120点的侧面(W)投影变换为： 2021/3/1121注意：由上述我们可以看出,三个视图中y均为0,这是由于变换后三个视图均落在XOZ平面上的缘故 因此，可用x，z坐标直接画出三个视图 2021/3/1122正轴测有等轴测、正二测和正三测三种当观察平面与三个坐标轴之间的夹角都相等时为等轴测；当观察平面与两个坐标轴之间的夹角相等时为正二测； 当观察平面与三个坐标轴之间的夹角都不相等时为正三测4.2.1.2 正轴测图2021/3/11232021/3/1124正轴测投影方式：先将三维实体分别绕两个坐标轴旋转一定的角度，然后再向由这两个坐标轴所决定的坐标平面作正投影正轴测投影有三种方式：2021/3/1125二、先将三维实体绕X 轴和Z 轴分别旋转一定的角度,然后再向XOZ平面(V 面)作正投影；三、先将三维实体绕Y 轴和Z 轴分别旋转一定的角度,然后再向YOZ平面 (W 面)作正投影一、先将三维实体绕X 轴和Y 轴分别旋转一定的角度，然后再向XOY平面（H 面）作正投影最常用的是第二种方式2021/3/1126第二种方式的正轴测投影过程为： 将三维实体绕Z轴逆时针转角； 将三维实体绕X轴顺时针转角； 向XOZ平面（V面）作正投影。

1 1、正轴测投影变换矩阵、正轴测投影变换矩阵2021/3/11272021/3/1128 2轴向变形系数 原坐标轴经轴测投影变换后,其在V面上的投影长度发生变化,我们把OX/OX=x, OY/OY =y ,OZ/OZ =z 分别称为OX轴, OY轴和OZ轴的轴向变形系数 为了便于讨论,沿X,Y,Z方向各取一单位长度,可得三点的齐次坐标分别为：A1 0 0 1, B0 1 0 1,C0 0 1 1 对其进行正轴测投影变换，变换得： 2021/3/1129X,y,z三个轴向的变形系数为： 2021/3/11303正等轴测投影变换 所谓正等轴测投影就是当x=y=z时所得到的正等轴测图由x=y=z 得： 由得：即： （）取 在正轴测投影变换中,一般地 ，即 所以： 2021/3/1131取 将 代入 中得： 将 代入 得到正等轴测投影变换矩阵为： 2021/3/1132轴间变形系数： 因此正等轴测投影变换就是用图形点集X Y Z 1TISO即可2021/3/1133例：若有一个边长为100的正六面体，其各顶点坐标为:O(0, 0, 0)，A(0, 0, 100)，B(100, 0, 100),C(100, 100,100),D(0, 100, 100),E(100, 0, 0),F(100, 100, 0),G(0, 100, 0)。

现对它进行正等轴测投影2021/3/11342021/3/11354 4正二轴测投影变换正二轴测投影变换由 得： 代入 ，解得： 正二轴测图其轴向变形系数有如下关系：2021/3/1136则： 2021/3/1137 将 代入 ，得正二轴测投影变换矩阵： 轴向变形系数： 因此正二轴测投影变换就是用图形点集X Y Z 1T正二即可2021/3/1138例：若有一个边长为100的正立方面体，其各顶点坐标为O(0, 0, 0)，A(0, 0, 100)，B(100, 0, 100),C(100, 100,100),D(0, 100, 100),E(100, 0, 0),F(100, 100, 0),G(0, 100, 0)对立方体进行正二轴测投影变换为2021/3/1139斜投影图，即斜轴测图，是将三维物体向一个单一的观察平面作平行投影，但投影方向不垂直于观察平面所得到的平面图形常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图4.2.2 斜投影斜平行投影2021/3/1140 斜轴测图的形成即：2021/3/11412021/3/11422021/3/1143 斜等测投影变换矩阵一 斜等测投影变换矩阵二2021/3/1144 斜二测投影变换矩阵一 斜二测投影变换矩阵二2021/3/1145 透视投影是一种中心投影法，在日常生活中，我们观察外界的景物时，常会看到一些明显的透视现象。

如：站在笔直的大街上,向远处看去,会感到街上具有相同高度的路灯柱子,显得近处高,远处矮,越远越矮这些路灯柱子,即使它们间的距离相等,但是视觉产生的效果是近处的间隔显得大,远处的间隔显得小,越远越密观察道路的宽度,也会感到越远越窄,最后汇聚于一点这些现象,称之为透视现象4.2.24.2.2 透视投影变换透视投影变换2021/3/11462021/3/1147 图中,AA,BB,CC为一组高度和间隔都相等,排成一条直线的电线杆,从视点E去看,发现 AEABEBCEC 若在视点E与物体间设置一个透明的画面P，则在画面上看到的各电线杆的投影aabbcc aa即EA,EA与画面P的交点的连线; bb即为EB,EB与画面P的交点的连线 cc 即为EC,EC与画面P的交点的连线 近大远小产生透视的原因，可用下图来说明：2021/3/1148 若连a,b,c及a,b,c各点，它们的连线汇聚于一点 然而,实际上,A,B,C与A,B,C的连线是两条互相平行的直线,这说明空间不平行于画面(投影面）的一切平行线的透视投影,即a,b,c与a,b,c的连线,必交于一点,这点我们称之为灭点2021/3/1149 透视投影 投影中心与投影平面之间的距离为有限 特点：产生近大远小的视觉效果，由它产生的图形深度感强，看起来更加真实。

灭点：不平行于投影平面的平行线，经过透视投影之后收敛于一点，称为灭点. 主灭点:平行于坐标轴的平行线产生的灭点一点透视、两点透视、三点透视2021/3/1150主灭点数是和投影平面切割坐标轴的数量相对应的,即由坐标轴与投影平面交点的数量来决定的 如投影平面仅切割z轴,则z轴是投影平面的法线,因而只在z轴上有一个主灭点,平行于x轴或y轴的直线也平行于投影平面,因而没有主灭点yxzo2021/3/1151一点透视（平行透视）一点透视（平行透视）人眼从正面去观察一个立方体,当z轴与投影平面垂直时,另两根轴ox,oy轴平行于投影平面这时的立方体透视图只有一个主灭点,即与画面垂直的那组平行线的透视投影交于一点2021/3/1152二点透视（成角透视）二点透视（成角透视） 人眼观看的立方体是绕y轴旋转一个角度之后，再进行透视投影三坐标轴中oy轴与投影平面平行，而其它两轴与画面倾斜，这时除平行于oy轴的那组平行线外，其它两组平行线的透视投影分别在投影平面的左右两侧，作出的立方体透视图产生两个主灭点2021/3/1153三点透视（斜透视）三点透视（斜透视） 此时，投影平面与三坐标轴均不平行 这时的三组平行线均产生灭点。

2021/3/1154透视举例2021/3/11551、一点透视投影变换矩阵（1）设z轴上有一观察点（即视点）V(0,0,h) 从V点出发将空间任意一点P(x,y,z)投影到XOY平面上得到P (x,y,0) 由相似三角形可知： 2021/3/1156 令:2021/3/1157 变换矩阵为 齐次坐标变换 它可以看作是先作变换 2021/3/1158 再作变换 的合成2021/3/1159 在透视变换Tr下有：当z时，x 0,y 0,z -h(0,0,-h)为该透视的一个主灭点2021/3/1160（2）视点在(h,0,0)的透视变换，主灭点在(-h,0,0)透视投影变换矩阵为：2021/3/1161（3）视点在(0,h,0)的透视变换，主灭点在(0,-h,0) 透视投影变换矩阵为：2021/3/1162 在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用用Tp、Tq、Tr、表示三个透视投影变换矩阵2021/3/1163当p、q、r中有一个不为0时的变换假定q!=0,p=r=0.对空间上任一点(x,y,z)进行透视变换结果如下：对该结果进行规范化处理后，便得：2021/3/1164习惯上使用XOZ面作为投影平面 为了增强透视效果，通常将物体置于画面V之后，水平面H之下，若物体不在该位置时，应首先把物体平移到此位置，然后再进行透视投影变换。

q的选择决定了视点的位置，一般选择视点位于画面V之前 2021/3/1165T1=Tt*Tq*Txoz=2021/3/1166例：有一个边长为100的正六面体，其各顶点坐标为O（0, 0, 0），A（0, 0, 100），B（100, 0, 100）,C（100, 100,100）,D（0, 100, 100）,E（100, 0, 0）,F（100, 100, 0）,G（0, 100, 0）令a=60,b=-120,c=-120,q=-0.52021/3/11672021/3/1168在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用当p、q、r中有两个不为0时的透视变换称为二点透视变换假设p!=0,q!=0, r=0，将空间上一点(x,y,z)进行变换，可得如下结果：、 二点透视投影变换矩阵2021/3/1169由上式可看出：当x-时，在X轴上 处有一个灭点；当y-时，在Y轴上 处有一个灭点；经齐次化处理后得：1/p1/q2021/3/1170 为了使二点透视后的投影有一恰当的位置，通常采取平移、透视(Tp和Tq)、绕。