四边形知识点与经典例题.doc

第十九章 四边形一、 基础知识（一）四边形由一般到特殊的演变示意图（二）特殊四边形平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形定义有两组对边分别平行的四边形是平行四边形有一个角是直角的平行四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形是菱形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形两腰相等的梯形是等腰梯形性质1对边平行且相等2对角相等，邻角互补3对角线互相平分1四个角都是直角2对角线相等1四条边都相等2两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角具有平行四边形、矩形、菱形的所有特征1两腰相等两底平行2同一底上的两角相等3两条对角线相等判定1定义：2判定定理：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4）对角线互相平分的四边形是平行四边形1定义：2判定定理：（1）对角线相等的平行四边形是矩形2）有三个角是直角的四边形是矩形1定义：2判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形2）对角线互相垂直的四边形是菱形1)先证明是矩形再证明一组邻边相等2）先证明是菱形再证一个角是直角1定义：先判断是梯形在证明两腰相等2同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

3对角线相等的梯形是等腰梯形对称性轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形（三）1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半 2．由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半二、例题例1：如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F. 求证：∠BAE =∠DCF.（图1）CABDEF证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE =∠CDF，AB= CD.又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB =∠CFD = 90°，∴△ABE≌△CDF. ∴∠BAE =∠DCF.OABCDEF（图2）例2如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求证：BE = CF. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OB = OC.又∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO =∠CFO = 90º.∵∠BOE =∠COF.∴△BOE≌△COF. ∴BE = CF.评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定.ABCD图3EF例3已知：如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，点E、F分别在AB、CD上，且BE = 2EA，CF = 2FD. 求证：∠BEC =∠CFB.证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，∴梯形ABCD是等腰梯形. ∴∠ABC =∠DCB.又∵AB = DC，BE = 2EA，CF = 2FD，∴BE = CF. ∵BC = CB，∴△BEC≌△CBF. ∴∠BEC =∠CFB.ADBCEF(图6)MN例4如图6，E、F分别是 ABCD的AD、BC边上的点，且AE = CF.（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB = CD，∠A =∠C.∵AE = CF，∴△ABE≌△CDF.（2）解析： 四边形MFNE是平行四边形.∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB =∠CFD，BE = DF.又∵M、N分别是BE、DF的中点，∴ME = FN.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB =∠FBE.∴∠CFD =∠FBE. ∴EB∥DF，即ME∥FN.∴四边形MFNE是平行四边形.评注：本题是一道猜想型问题. 先猜想结论，再证明其结论.图7ABCDEFO例5如图7， ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠EAC =∠FCA.∵EF是AC的垂直平分线，∴OA = OC，∠EOA =∠FOC，EA = EC.图8BCDAEF∴△EOA≌△FOC . ∴AE = CE.∴四边形AFCE是平行四边形.又∵EA = EC，∴四边形AFCE是菱形.例6如图9，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.（1）如果 ，则△DEC≌△BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论.解析：本题是一道条件开放型问题，答案不唯一.（1）①AE=CF；②OE = OF；③DE⊥AC，BF⊥AC；④DE∥BF等.（2）①证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB = CD，AB ∥ CD. ∴∠DCE =∠BAF.ABCD图10EGOF∵AE=CF，∴AC－AE = AC－CF，即AF = CE.∴△DEC≌△BFA.例7如图10，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C.（1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB；（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.解析：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，∴梯形ABCD是等腰梯形. ∴∠ABC =∠DCB.又∵BC = CB，AB = DC，∴△ABC≌△DCB. ∴∠ACB =∠DBC.又∵EG∥AC，∠ACB =∠GEB.∴∠DBC=∠GEB. ∴EG = BG.∵EG∥OC，EF∥OG，∴四边形EGOF是平行四边形.∴OE = OF，EF = OG.图11BADCOFEG∴四边形EGOF的周长 = 2（OG＋GE）= 2（OG＋GB）= 2OB.（2）如图11，已知在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C.求证：四边形EFOG的周长等于2OB注意：若将矩形改为正方形，原结论成立吗？备用图（1）备用图（2）图13例8有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13(1)、(2)上），并给予合理的解释.解析：本题是一道方案设计题，现提供三种方案供参考：方案一：如图14（1），连结梯形上、下底的中点E、F，则S四边形ABFE = S四边形EFCD =.方案二：如图14（2），分别量出梯形的上、下底a、b的长，在下底BC上截取BE =（a＋b），连结AE. 则S△ABE = S四边形AECD =.方案三：如图14（3），连结AC，取AC的中点E，连结BE、ED，则图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的一半.分析此方案可知，∵AE = EC，∴S△AEB= S△EBC，S△AED= S△ECD.∴S△AEB＋S△AED= S△EBC＋S△ECD = S四边形ABCD.（3）ABCDE（1）ABCDEF（2）ABCDE图14图15例9请将四个全等直角梯形（如图15），拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）．解析：拼法有多种，现列举四例：三、适时训练（一）精心选一选 1.下列命题正确的是（ ）一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形对角线相等的四边形一定是矩形两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形2. 已知平行四边形ABCD的周长32, 5AB=3BC,则AC的取值范围为( )A. 6