原子物理褚圣完整答案.docx

原子物理学习题解答刘富义编临沂师范学院物理系理论物理教研室第一章原子的基本状况1.1若卢瑟福散射用的a粒子是放射性物质镭C'放射的，其动能为7.68X106电子伏特散射物质是原子序数Z-79的金箔试问散射角0 = 150°所对应的瞄准距离b多人? 解：根据卢瑟福散射公式：cot——=4兀£2M v22 Ze2b = 4 兀&ob得到:=3.97x10 15 米79x (1.60x1 ()19 )2 c/g丄警(4kx 8.85x 10-12) x (7.68 x 106 x IO-19)式中亿=x#v2是a粒子的功能1.2已知散射角为e的a粒子与散射核的最短距离为/ 1 、2 Ze?门 1 、= (- ) “ , (1 + —_ )，试问上题a粒子与散射的金原子核4兀£() M v" sin%之间的最短距离多大？解：将1.1题中各量代入的表达式，得:min2Ze2Mv~(1 +1sin %4x79x(1.60xl(r")2 乂 * 17.68xl06 xl.60xl019 X + sin 75°=3.02x101“米1.3若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔问质子与金箔问质子与金箔原子核可 能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氟核(氟核带一个+e电荷而质量是质子的 两倍，是氢的一种同位素的原子核)代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180°。

当入射粒子的动能全部转化为两 粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小故有：r根据上面的分析町得：]— v Ze 一—Mv' = K n = 2 4K£„r .0 m in=9 x109 x=1.1 4 x 10「"米79 x (1 .60 x IO®)?1 06 x 1 .60 x IO19由上式看出：Gm与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代 替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为1.14X 10』米1.4针放射的一种a粒子的速度为1.597x107米/秒，正面垂直入射于厚度为10^米、密度为1.932X104公斤/米彳的金箔试求所有散射在0>90°的a粒子占全部入射粒子数 的百分比已知金的原子量为197 o解：散射角在e e+c/e之间的a粒子数必与入射到箔上的总粒子数n的比是：dn其中单位体积中的金原子数：N = p/mAu = pNQ / AAll而散射角人于90°的粒子数为：dn = \dn=nNt^

所以，a粒 子散射的实验数据在散射角很小时与理论值差得较远dn所以有：n=Nt=pN_JL^■Au2 Ze2、2 fi so090°9COS——f °sin ——2等式右边的积分：1= Pggoecos —dQ = 2 $sin3 —2dsin 匹80 0 2 = i90° . 3esnr —2故4好"盘曲薯)2« 8.5x10" = 8.5x10「4 %即速度为1.597x107米/秒的a粒子在金箔上散射，散射角大于90°以上的粒子数大约是& 5x10^%1.5 a粒子散射实验的数据在散射角很小(0<15°)时与理论值左得较远，时什么原 因？答：a粒子散射的理论值是在“一次散射“的假定下得出的而a粒子通过金属箔，经过1.6已知a粒子质量比电子质量大7300倍试利用中性粒子碰撞来证明:a粒子散射"受 电子的影响是微不足道的”证明：设碰撞前、后a粒子与电子的速度分别为：v7v：O,v7e根据动量守恒定律，得：17300又根据能量守恒定律,得：—Mva21 2 1—Mvn + ——mv2 2(2)将（1）式代入（2）式，得：叱=va2 + 7300 （叽-心c ，2 I整理，得：兀（7300 — 1） + %（7300 + 1） - 2x 7300v 匕 gos0 = 0••• 7300 > 1上式可写为：7300 （ va - <）2 = 0 v - v' =0a a即a粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。

1.7能量为3.5兆电子伏特的细a粒子朿射到单位面积上质量为1.05x10-公斤/米?的银箔上，a粒子与银箔表面成60°角在离L=0.12米处放一窗口面积为6.0x10"米?的计数器测得散射进此窗口的a粒子是全部入射a粒子的百万分之29若已知银的原子 量为107.9o试求银的核电荷数乙解：设靶厚度为/非垂直入射时引起a粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚 度,而是t=t / sin60°,如图1-1所示因为散射到e与e+de之间do立体角内的 粒子数dn与总入射粒子数n的比为：dn而do为:把（2）式代入（1）式，得:2— %……（3）n 471^0 Mv~ sin"’2式中立体角兀dCl = ds/L2,t = i/sin60° =2t / 对=20°N为原子密度为单位面上的原子数，Nt =r\/m Ag =r\（AAg/N ,其中r|是单位面积式上的质量；加念是银原子的质量；4趣是银原子的原子量；饨是阿佛加德罗常数 将各量代入（3）式，得：dn _ 2 gN § < 1 、2 , we 、： dCl = ~/=~i ） （—_T） " 门3 A 毘 4k8 0 Mv sin 42由此，得：N471.8设想铅（Z=82）原子的正电荷不是集中在很小的核上，而是均匀分布在半径约为10“°米的球形原子内，如果有能量为106电子伏特的a粒子射向这样一个“原子”，试通过计算论证这样的a粒子不可能被具有上述设想结构的原子产生散射角大于90°的散射。

这个 结论与卢瑟福实验结果差的很远，这说明原子的汤姆逊模型是不能成立的（原子中电子的影 响可以忽略）解：设a粒子和铅原子对心碰撞，则a粒子到达原子边界而不进入原子内部时的能量有 下式决定：=2Ze2/47iE^=3.78xl0-16焦耳 ®2.36xl03电子伏特由此可见，具有106电子伏特能量的a粒子能够很容易的穿过铅原子球a粒子在到达原子 表面和原子内部时，所受原子中正电荷的排斥力不同，它们分别为：F=2Ze2/4ji£^2和F=2Zeb/4ji&新°可见，原子表面处a粒子所受的斥力最大，越 靠近原子的中心a粒子所受的斥力越小，而且瞄准距离越小，使a粒子发生散射最强的垂 直入射方向的分力越小我们考虑粒子散射最强的情形设a粒子擦原子表面而过此时受 力为F=2Ze2/4ji£^o可以认为a粒子只在原子大小的范围内受到原子中正电荷的作 用，即作用距离为原子的直径D并且在作用范围D之内，力的方向始终与入射方向垂直， 大小不变这是一种受力最大的情形根据上述分析，力的作用时间为t=D/v, a粒子的动能为bwv2 =K,因此，2v= J2K/M,所以，t=D/v=D N141K根据动量定理：^Fdt= p -p °±= Mv -0而〔Fdt= 2Z« 2/4isojR f力=2Z« t/4mQR 2o 7所以有：2Zet/4ns0R =MV1由此可得:v丄=2Ze切4k£代Ma粒子所受的平行于入射方向的合力近似为0,入射方向上速度不变。

据此，有：tgB ="'丄=2Ze 2t/4ns F^Mv= 2Ze 2D/4ji£ 用林,2V= 2.4xl0-3这时e很小，因toge«0 = 2.4xl0'3弧度，大约是8.2'这就是说，按题中假设，能量为1兆电子伏特的a粒子被铅原子散射，不可能产生散射 角0>90°的散射但是在卢瑟福的原子有核模型的情况下，当a粒子无限靠近原子核时， 会受到原子核的无限大的排斥力，所以可以产生0>90°的散射，甚至会产生0«180°的散 射，这与实验相符合因此，原子的汤姆逊模型是不成立的第二章原子的能级和辐射2.1试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度 解：电子在第一玻尔轨道上即年n=l根据量子化条件，hp $ = mvr = n 2 71v nh h"得：频率 2兀％ 2nmaf= 6.58xlO15 赫兹速度：v= 2jiay = h/max =2.188x10 ［米/秒加速度：W= V 2 /厂=V = 9.046 x 1° 22米/秒22.2试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势解：电离能为E严Eg_Ei，把氢原子的能级公式En = -RheIn 入，得：Ej = RJic（二—丄）=Rhc=i3.60 电子伏特。

1 00E电离电势：匕=—13.60伏特e第一激发能：Ei =Rf/ic（卜*二^hc= \13・60 = 10.20电子伏特E第一激发电势：Vj = — = 10.20伏特e2.3用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁 时，会出现那些波长的光谱线？解：把氢原子有基态激发到你n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是：E=hcRH（*_*）其中hcRH = 13.6 电子伏特Ei=13.6x（l—打= 10.2 电子伏特E2=13.6x（1-打= 12.1 电子伏特E3=13.6x（1-打= 12.8 电子伏特 其中Q和®小于12.5电子伏特，乞大于12.5电子伏特可见，具有12.5电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到«>4的能级上去，所以只能出现«<3的能级间的跃迁 跃迁时可能发出的光谱线的波长为：加心心/36=656541 n z 1 1、 3“=Rh( — 0) = Rh 尢2 l2 2- 4 H九 2 =12154［叽(1W“九3 =1025 A2.4试估算一次电离的氨离子/T、二次电离的锂离子厶+的第一玻尔轨道半径、电离电e i势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。

解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，即把原子核视为不动，这样简单些a）氢原子和类氢离子的轨道半径：r-4tus ii2n24兀}nZe 2其中a严弩人：=0.529177x10"米，是氢原子的玻尔第一轨道半径; 4n2me2Z是核电荷数，对于H,Z=1；对于H,Z=2；对于Z/+, Z=3；因此，玻尔第-轨道半径之比是「孑1 Zh = 12 rH ^Li++ 3b）氢和类氢离子的能量公式:2兀\ne少2(4K80)2n2/z2Z=E「2，〃i,2,3n其中心（富76电子伏特,是氢原子的基态能量电离能之比：0 — Er Z0 _ E” ZiC）第一激发能之比：2- 22段h ~Eh鱼胡已4l2 l2Ei 尹-Ei p"d)E；-E]E—32 32E厂E乍 =9l2 l2~?— E i22 l2Ei氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式:=z^(4-4nt n."1=1,2,3 “2 =(”1+1),(叶 2)2n2meA（4叫〃是里德伯常数氢原子赖曼系第一。