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抽象函数解题 题型大全重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 高考抽象函数技巧总结 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力 x)=2x+1,求f(x). x+1xuu2-u2-x=u,则x=+1=解：设∴f(u)=2∴f(x)= x+11-u1-u1-u1-x例1：已知 f(2.凑合法：在已知f(g(x))=h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知f(x+)=x+1x31，求f(x) 3x2解：∵f(x+)=(x+)(x-1+1x1x111211)=(x+)((x+)-3)|x+|=|x|+³1 又∵x2xxx|x|∴f(x)=x(x2-3)=x3-3x，(|x|≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数 例3． 已知f(x)二次实函数，且f(x+1)+f(x-1)=x2+2x+4,求f(x). 解:设f(x)=ax+bx+c，则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c 2ì2(a+c)=413ï22Þa=,b=1,c=∴=2ax+2bx+2(a+c)=x+2x+4比较系数得í2a=122ï2b=2îf(x)=123x+x+ 224.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)=lg(x+1),求f(x) 解:∵f(x)为奇函数，∴f(x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式∵-x>0,∴f(-x)=lg(-x+1)=lg(1-x), 1 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION ∵f(x)为奇函数，∴lg(1-x)=f(-x)=-f(x)∴当x<0时f(x)=-lg(1-x)∴ìlg(1+x),x³0 f(x)=í-lg(1-x),x<0î例5．一已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)=1， 求f(x),g(x). x-1解：∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 1 „„„①中的x, x-111∴f(-x)+g(-x)=即f(x)－g(x)=-„„② -x-1x+11x显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)=2再代入①求出g(x)=2 x-1x-1不妨用-x代换f(x)+g(x)=5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f(x)的表达式 例6：设f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x+1)=f(x)+f(y)+xy,及f(1)=1,求f(x) 解：∵f(x)的定义域为N，取y=1,则有f(x+1)=f(x)+x+1 ∵f(1)=1,∴f(2)=f(1)+2,f(3)=f(2)+3„„f(n)=f(n-1)+n 以上各式相加，有f(n)=1+2+3+„„+n=二、利用函数性质，解f(x)的有关问题 1.判断函数的奇偶性： 例7 已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0)¹0,求证f(x)为偶函数。

证明：令x=0, 则已知等式变为f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)„„① 在①中令y=0则2f(0)=2f(0)∵ f(0)≠0∴f(0)=1∴f(y)+f(-y)=2f(y)∴f(-y)=f(y)∴f(x)为偶函数 2.确定参数的取值范围 2例8：奇函数f(x)在定义域内递减，求满足f(1-m)+f(1-m)<0的实数m的取值范围 222解：由f(1-m)+f(1-m)<0得f(1-m)<-f(1-m)，∵f(x)为函数，∴f(1-m)m2-1î3.解不定式的有关题目 2 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 例9：如果f(x)=ax+bx+c对任意的t有f(2+t)=f2-t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小 解：对任意t有f(2+t)=f2-t)∴x=2为抛物线y=ax+bx+c的对称轴 又∵其开口向上∴f(2)最小，f(1)=f(3)∵在［2，＋∞)上，f(x)为增函数 ∴f(3)

例1、已知函数f对任意实数x，y，均有f＝f＋f，且当x＞0时，f＞0，f＝－2，求f在区间[－2，1]上的值域 分析：由题设可知，函数f是究它的单调性 解：设∵∴在条件中，令y＝－x，则，即，∵当， ，∴f为增函数 ，再令x＝y＝0，则f＝2 f，∴ f＝0，，∴， 的抽象函数，因此求函数f的值域，关键在于研22故f＝f，f为奇函数， ∴ f＝－f＝2，又f＝2 f＝－4， ∴ f的值域为［－4，2］ 例2、已知函数f对任意＞2，f＝5，求不等式，满足条件f＋f＝2 + f，且当x＞0时，f的解 分析：由题设条件可猜测：f是y＝x＋2的抽象函数，且f为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解 解：设，∴，则， 即，∴f为单调增函数 ∵， 又∵f＝5，∴f＝3∴3 ，∵当，∴， 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 即，解得不等式的解为－1 < a < 3。

2、指数函数型抽象函数 例3、设函数f的定义域是，满足条件：存在何x和y，成立求： ，使得，对任f； 对任意值x，判断f值的正负 分析：由题设可猜测f是指数函数解：令y＝0代入若f＝0，则对任意≠0，∴f＝1 令y＝x≠0，则，又由知f≠0，∴f＞0，即的抽象函数，从而猜想f＝1且f＞0 ，则，有，∴ ，这与题设矛盾，∴ff＞0，故对任意x，f＞0恒成立 例4、是否存在函数f，使下列三个条件：①f＞0，x ∈N；②③f＝4同时成立？若存在，求出f的解析式，如不存在，说明理由 分析：由题设可猜想存在纳法证明如下： x＝1时，∵结论正确 假设∴x＝k＋1时，结论正确 综上所述，x为一切自然数时 时有，则x＝k＋1时，，，又∵x ∈N时，f＞0，∴，，又由f＝4可得a＝2．故猜测存在函数，用数学归；3、对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数 例5、设f是定义在上的单调增函数，满足 f； 若f＋f≤2，求x的取值范围 分析：由题设可猜测f是对数函数解：∵，求： 的抽象函数，f＝0，f＝2 ，∴f＝0 ，从而有f＋f≤f， 4 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 即，∵f是上的增函数，故 ，解之得：8＜x≤9。

例6、设函数y＝f的反函数是y＝g如果f＝f＋f，那么g＝g·g是否正确，试说明理由 分析: 由题设条件可猜测y＝f是对数函数的抽象函数，又∵y＝f的反函数是y＝g，∴y＝g必为指数函数的抽象函数，于是猜想g＝g·g正确 解：设f＝m，f＝n，由于g是f的反函数，∴g＝a，g＝b，从而，∴g·g＝g，以a、b分别代替上式中的m、n即得g＝g·g 4、三角函数型抽象函数 三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数 例7、己知函数f的定义域关于原点对称，且满足以下三条件： ①当是定义域中的数时，有； ②f＝－1； ③当0＜x＜2a时，f＜0 试问：f的奇偶性如何？说明理由 在上,f的单调性如何？说明理由 分析: 由题设知f是的抽象函数，从而由及题设条件猜想：f是奇函数且在上是增函数 是定义域中的数时有 解：∵f的定义域关于原点对称，且，∴在定义域中∵ ， ∴f是奇函数 设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在上f＜0， ∴f，f，f均小于零，进而知＜ f，∴在上f是增函数 中的，于是f 5 重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 又设2a＜x＜4a，则0＜x－2a＜2a， ，∵f＝－1，∴，∴f＝0，，于是f＞0，即在上f＞0。

设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2－x1＜2a，从而知f，f均大于零f＜0，∵，∴，即 f＜f，即f在上也是增函数综上所述，f在上是增函数 5、幂函数型抽象函数 幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数 例8、已知函数f对任意实数x、y都有f＝f·f，且f＝1，f＝9，当时， 判断f的奇偶性； 判断f在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明； 若，求a的。