高中数学必修3概率统计常考题型：变量间的相关关系正式版.docx

变量间的相关关系【知识梳理】1 .相关关系如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，那么这两 个变量之间的关系叫做相关关系.2 .散点图将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这 样的图形叫做散点图,利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关.3 .正相关和负相关(1)正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域.(2)负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.4 .回归直线方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近.就称这两个变量之 间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.(2)回归方程：回归直线的方程,简称回归方程.(3)回归方程的推导过程：①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据 (X1, yi), (X2, y2),…，(Xn, yn).②设所求回归方程为y=bx+a,其中a, e是待定参数.nZi = 1A b=③由最小二乘法得— — n ——(Xi— X j[y — y ) Zxyi- nxy i=1n 一E (Xi- X i=1其中：b是回归方程的斜率，a是截距.【常考题型】题型一、相关关系的判断【例1】(1)下列关系中，属于相关关系的是 ①正方形的边长与面积之间的关系;②农作物的产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.(2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示年龄(岁)x123456身高(cm)y788798108115120①画出散点图；②判断y与x是否具有线性相关关系.［解析］(1)在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量 与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在③中，人的身高与年龄之间的关系 既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因 而它们不具有相关关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系.mo * ■no * *100  ・90 .80 .叼一 一一 一o L 2 3 4 5 6 H［答案］(1)②④(2)①散点图如图所示.②由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为 y与x有线性相关关系.【类题通法】两个变量是否相关的两种判断方法(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断.(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断.【对点训练】如图所示的两个变量不具有相关关系的有①②O③解析：①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言， x, y不具有相关关系.答案：①④题型二、求回归方程【例2】 某连锁经营公司所属 5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称ABCDE销售额(x)/千万元35679禾润额(y)/白力兀23345(1)画出销售额和利润额的散点图；(2)若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额 y对销售额x的回归直线方程.［解］(1)散点图如下：百万元«4 *0 5 10 “千万元(2)数据如下表：ixiyi2 xixiyi132962532515363361847449285958145合计3017200112可以求得b=0.5, a=0.4, A线性回归万程为y = 0.5x+0.4.【类题通法】求线性回归方程的步骤(1)计算平均数x ,(2)计算xi与yi的积)求工Xi yi .i 1 n(3)计算 £ Xi2.i 1n“ Xyi -n X yA ; i ，、人(4)将结果代入公式b= ，求b.… 2 2% X -nxi 1A 一 L A(5)用 a= y - b x ,求 a.(6)写出回归方程.［变式训练］已知变量x, y有如下对应数据：x1234y1345(1)作出散点图；(2)用最小二乘法求关于 x, y的回归直线方程.解：⑴散点图如图所示.3 *1 + 2+3+ 4(2) x =52'一 1 + 3 + 4+5 13V = 4=了，4X xi yi= 1 + 6+ 12 + 20=39.i 14Z xi = 1 + 4+9+16=30,i 15V 131339-4X-X —a 2 4b= c5 230-4X 2 2a=^_ 菖 x5=oa 4 10 2 0 A 13所以y= 13x为所求回归直线方程.题型三、利用线性回归方程对总体进行估计【例3】一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机 器零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表是抽样 试验结果：转速x(转/秒)(xC N*)1614128每小时生产有缺点的零件数 y(件)11985(1)如果y与x具有线性相关关系，求回归方程；(2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件数最多为 10个，那么机器的转速应该控制在什么范围内？一 ,—— — 二 3 2 n,, A［解］(1)由题息，可得 x = 12.5 , y = 8.25 , £ xi yi = 438 , Zxi = 660 ,则 b =i凸 i = 1438 — 4X 12.5X 8.25 A _ A_ 2—〜0.728 6, a= y -b x =- 0.857 5.660—4 X 12.5 A所以回归直线的万程为 y= 0.728 6x- 0.857 5.(2)要使 yW10,则 0.728 6x-0.857 5< 10,解得x< 14.90.所以机器的转速应该控制在 15转/秒以下.【类题通法】回归分析的三个步骤(1)进行相关性检验，若两变量无线性相关关系，则所求的线性回归方程毫无意义. A A(2)求回归直线方程，其关键是正确地求得 a, b.(3)根据直线方程进行预测.【对点训练】假设关于某设备的使用年限 x(年)和所支出的维修费用 y(万元)，有如下的统计资料:使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0由资料可知y与x具有相关关系.⑴求回归方程y = bx+ a的回归系数a, b;(2)估计使用年限为10年时维修费用是多少.解：(1)先把数据列成表.序号12345xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.32 xi4916253690由表可知 x = 4, y =5,由公式可得:a 112.3 — 5X4X5 123b= 90 — 5X42 =『但a= y —b x = 5— 1.23X 4=0.08.(2)由⑴可知回归方程是y= 1.23x+ 0.08,.Jx= 10 时，y= 1.23 X 10+0.08= 12.3+0.08= 12.38（万元）.故估计使用年限为10年时，维修费用是12.38万元.【练习反馈】1 .下列命题正确的是( )①任何两个变量都具有相关关系;②圆的周长与该圆的半径具有相关关系;③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系;④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的;⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线， 把非确定性问题转化为确定性问题进行研究.B.②③④A.①③④C.③④⑤D.②④⑤解析：选C ①显然不对，②是函数关系，③④⑤正确.2.对变量x, y有观测数据(xi, yi)(i=1,2,…，10),得散点图图1;对变量u, v有观测数据(Ui, Vi)(i= 1,2,…，10),得散点图图2.由这两个散点图可以判断( )A .变量x与y正相关，u与v正相关 B.变量x与y正相关，u与v负相关 C.变量x与y负相关，u与v正相关 D.变量x与y负相关，u与v负相关解析：选C由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关.3 .若施肥量x(kg)与水稻产量y(kg)的线性回归方程为y=5x+250,当施肥量为80 kg时, 预计水稻产量约为 kg.解析：把x=80 kg代入回归方程可得其预测值 y=5X 80+250=650(kg).答案：6504 .对具有线性相关关系的变量 x和y,测得一组数据如下表所示x24y3040568605070若已求得它们的回归直线的斜率为 6.5,这条回归直线的方程为 解析：由题意可知x2+4+5+6+8=5,― 30+40+ 60+50+70 y = 5 =50.即样本中心为(5,50)设回归直线方程为y= 6.5x+ b,•••回归直线过样本中心(x , y ),A A•・50 = 6.5X 5 + b,即 b= 17.5,，回归直线方程为y=6.5x+ 17.5答案：y=6.5x+ 17.55. 2013年元旦前夕，某市统计局统计了该市 2012年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入x（力兀）24466677810年饮食支出y（万元）0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3⑴如果已知y与x是线性相关的，求回归方程;(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出. 10 10(参考数据：Z Xiyi = 117.7, £ x2 = 406) i 4 i 1解：依题意可计算得：x = 6, y = 1.83, x 2= 36, x y = 10.98 ,又Xiyi =117.7, £ x2 =406,1 1 i 110“ Xi - —10。

A ; i.b= i^ -0.17,V 2 2.一 Xi - 10x i 4a= y -b x = 0.81,A. y= 0.17x+ 0.81.一_ A，所求的回归万程为y=0.17x+ 0.81.A(2)当 x=9 时,y= 0.17X9+ 0.81 = 2.34(万兀).可估计大多数年收入为 9万元的家庭每年饮食支出约为 2.34万元.学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说： "今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩"说着，苏格拉底。