
1992年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案.pdf
6页中 学 数 学 湖 北 ,右年 全 国 高 中 数 学 联 合 竞 赛 试 题 及 参 考 答 案第 一 试 全‘从 而 ‘ 一 三 啥 簇 东一 、 通 择 理 本 题 满 分 分 , 每 小 题 分对 于 每 个 自 然 数 二 , 抛 物 线 , 砂 二 一与 二 轴 文 于 、 两 点 , 以 儿 表 示 该 两 点的 距 离 , 则 月 、 , 滩 刀 … 月 刀 , 的 值 是特 别 地 , 当 四 面 体 为 正 四 面 体 时 中 的 等 号 成立 , 从 而 否 定考 察 侧 面 与 底 面 所 成 的 二 面 角 的 平 面 角 均 等 于刁 的 任 一 个 正 三 棱 锥 , 以 表 示 该 正 三 棱 锥 的 底 面愁八一山一、 ,产了吸 、‘ , 器 器 器甘 肃 供 题,’ 一 二 一享 “‘答解当 , 时 , 求 得 — , 忿摊 南一喇’ 人 川故 月 , , 月 刀 … 月 , 面 积 , 则 二 习 ‘ , 二召 , 于 是, 召 沪 牙 ,, ‘ 一 了 万又此 时 久 一 止 分 二 十 认一 一 一 一 ’ 一 一 一 ’一 一 冬 冬 一 冬‘ 乙… 熹 一 燕石‘ 一 扁 丝 卫 全因 此 答 案 是已 知 如 图 的 曲 线 是 以 原 点 为 圆 心 , 为 半 径 的目 的 一 部 分 , 则 这 一 曲 线 的 方 程 是石 二 奋 , 了 不 几 妥 一 。
一 了 不 奋 , 一 了 了 二 丁二 西 于 , 一 丫 不 奋 一 一 了 不 乎 , 了 仁 丁从 而 否 定 与 因 此 答 案 是在 △ 月 及 中 , 角 , , 的 对 边 分 别 记 为 一 、笋 , 且 号 , 井 一 都 是 方 程 铭 乙 妇 一 的一 ’ 月 ’ ” 砂 ’一 一 , ” 一 、 一 ,根 , 则 △ 月 及 ,是 等 腰 三 角 形 , 但 不 是 直 角 三 角 形是 直 角 三 角 形 , 但 不 是 等 腰 三 角 形是 等 腰 直 角 三 角 形 ·不 是 等 腰 三 角 形 , 也 不 是 直 角 三 角 形 ·‘ 、少、,二八‘、了 ,命 题 组 供 题因 曲 线 是 右 半 单 位 圆答 综 合解 由 已 知 方 程 得 ‘ 二 , ‘ 一二 一 刁 十 刁 一 , 求 得 的 根 二 二 ” 么故 以 及 五 ,因 ’ 月 刀 , 月 刀 ,因 此 一 月 ,由 、 得 二 月 ,一 二 一 月 ,即 月 一 主 注 二 , 但 护 ,· 一 , 一 专 , 而 · , , · … · , 一 合 ·答解和 下 半 单 位 圆 的 并 集 , 右 半 单位 圈 的 方 程 是 二 一 了 不 下 王 。
,下 半 单 位 圆 的 方 程 是 夸石 二 乒 因 此 答 案 是 衡设 四 面 体 四 个 面 的 面 积 分 别 为 , , , , 习 , 它们 的 最 大 值 为 ‘ , 记 名 ‘ , 则 一 定 满 足久久‘ 一久久答 命 题 组 供 题解 ‘ , , 月 , ’ 艺 况 刁 ,从 而 , , 刀 ·因 此 答 案 是设 复 数 , 在 复 平 面 上 的 对 应 点 分 别 为 月 , ,且 , , 对 一 肉 滩 , 为 坐 标 原 点 , 则 △ 口 月 刀的 面 积 为了 下 护 了 谬一 一中 学 数 学 湖 北冷 了 万 了 万答 广 东 供 题解 由 巳 知 得 一 , ,’ , 一 士 丫 币 一 ‘故 在 复 平 面 上 等 式 两 边 的 复 数 所 对 应 的 向 量 互 相垂 直 , 即 上 , 如 图 故 一 合 、 卜 、朋 、件 一 合 “ ‘ · ‘ 万 ,一 合 又 只 万了 万因 此 答 案 是 ·设 劝 是 定 义 在 实 数 集列 关 系当 一 , , , … , 时 , 二 任 , , 〕 因 此 在 区 间【 , , 中 的 解 的 个 数 是从 正 方 体 的 棱 和 各 个 面 上 的 对 角 线 中 选 出 花条 , 使 得 其 中 任 意 两 条 线 段 所 在 的 直 线 都 是 异 面 直 线 ,则 的 最 大 值 是 综 合解 考 察 如 下 左 图 所 求 的 条 线 段 淞 , 、 , 凡 ,飞 , 它 们 所 在 的 直 线 两 两 都 是 异 面 直 线 若 存 在 条或 条 以 上 满 足 条 件 的 线 段 , 则 它 们 的 端 点 相 异 , 且 不少 于 个 但 正 方 体 只 有 个 顶 点 , 矛 盾 故 无 的 最 大值 是一 , 一 一 ·则 时偶 函 数 , 又 是 周 期 函 数偶 函 数 , 但 不 是 周 期 函 数奇 函 数 , 又 是 周 期 函 数奇 函 数 , 但 不 是 周 期 函 数答 综 合解 由 所 给 第 一 式 得一 二 〕 一 〔 一 一 〕 ,又 由 所 给 第 二 式 得 一 。
十 二’ 〔 〕一 十 ,可 见 了 幻 是 周 期 函 数由 、 得 一 二 一 一 ,了 是 奇 函 数 , 因 此 答 案 是二 、 坡 空 题 本 题 满 分 分 , 每 小 题 分‘司匕 三 二 厂、 设 、 , 都 是 复 数 , 且 卜 ,卫 , 的 值 是卜 ,综 合解 设 , , , , 在 复 平 面 上 的 对 应 点 分 别 为, , , , , 如 上 右 图 , 则艺 口 、 一又故 二 必 一 号 爪 , 是‘ 奇 , 一 匕 】一 匕 一 晋 ,或 者 ‘ 面, , , 、 ,, 石 一 吓 巨 刀 且 ‘ — 少 一 兀 芯设 , , , 是 实 数 , · , , , · 成 等 比 数 列 , 且 令 ,令 ,枷 等 差 数 , 则 于 枷 值 是 一·甘 解 由 题 意 斌 了 丁 伙〔 丁 ’ 丁 十 丁宁 夏 供 题由 , 得 , 一 笨 , 以 此 代 入 ‘ ,有 , ‘ 笨 一 ‘ ,十 名那, 名砚 — 十 — 二 二名个 数 是在 区 间 〔 , 司 中 , 三 角 方 程 ‘粉解之忿 了 介原 方 程 可 化 为 一 一 , 其 解 为, 〔 故 所 给 方 程 的 全 部 解 可 表 为的 解 的综 合标 ,二 万 万设 数 列 , , , … , , , … 满 足 二 , , 且对 任 何 自 然 数 , 都 有 , 】 护 , 又 ‘ 。
一 , , 二, 、 、 , 则 , … , 的 值 是河 北 供 题解 ,’ , , 又 , , , ‘ 二 , ,, 十 , , ‘又 由 条 件 得‘ , , , 十 ,一 , 久 一 ‘ 十 “ 一 十 一将 上 述 两 式 相 减 , 得‘ 一 , ‘ ” 一 ‘ ‘即 一 ‘ 、 一 二依 已 知 条 件 、 十 并 , 故 , 十 ‘二 黑从 而 澎 ‘ 一 学 、 一函 数 了 二 了 目 一 扩 一 二 十 一 丫 砂 一 , 十 】的 最 大 值 是解 由 了 ‘ 一 , 一 一 一 丫 ‘ 一 二 ,一 一中 学 数 学 湖 北忍 断二 了 交 一 , 一 , 一 丫 , , 一 ,可 知 函 数 , 二 了 的 几 何 意 义 是在 抛 物 线 , 二 , 上 的 点 , , 分 别 到 点 月 ,和 点 , 的 距 离 之 差因 点 月 在 抛 物 线 下 方 , 点日 在 抛 物 线 上 方 , 故 直 线 和傲 物 线 相 交 , 交 点 由 方 程 组又 ,’ 上 , 力 上 二 , 尸 土 二 由 三 垂 线 定 理 得‘ 刀 土 , 土 。
, 尸 止 ,故 邢 尸 , 且 刃 分 别 为 即 ,“ 的 中 点设 与 的 距 离 为 则 解 一 二 二 二 二二 了 石 不 二 不 弃 , 浙 一 丫 丽 丁 丽 万 ’‘ 尸 二 丫 尸 一 ‘ , ,又 动 一 而 , 邢 一 晋 · ’ 一 而 ,名 一畔 万犷 二 竺艺 一 鱿通一决 定 , 消 去 , 得 方 程 一 一 , 由 于 该 方 程 瓷 数 项为 负 , 故 方 程 必 有 负 根因 三 角 形 两 边 之 差 小 于 第 三 边 , 所 以 , 当 点 位 于负 根 所 对 应 的 交 点 时 , 二 有 最 大 值 朋 二 丫 万 石三 、 本 题 满 分 如 求 证当 点 月 、 凡 在 点 的 同 一 侧 时 , 有 脚 二 尸 十于 是 丫 票 二 一解 此 方 程 , 得 二 士 护 万 , 舍 去 负 根 , 求 得 直 线 与 的 距 离 为 了 万注 当 、 、 不 全 在 儿 的 同 一 侧 时 , 有创 卜月, 六 ‘ ’ ‘ 江 苏 洪 题 护 弃二 一 二 弃 一证 由 石 巧 了 丁 石 石 得此 方 程 无 解 , 故 月 、 刀 、 必 在 点 的 同 侧五 、 本 题 满 分 分 设 为 自 然 数 , 了扩 十 一 一 一了 万 丫 轰 万 了 下 丫 下 石 不 , 任 一 石 不, ‘ · ‘ “ , 士 , , · 令 , 一 告 ·护 了 十 洒 浑 丁 介一 今 二 介 声 毕 下丫 无 丫 无 十 了 一口 干 ‘ 圣 , 二牡 一, “ ” ’ 一 万 一, , 为 奇 数人﹃葫即 得石 拜 丁 一 沂 不 一 生 了 了一 汀 一 、从 而丫 石 下 一 了 万 全 一 任 丫 几 丁一 二 厅 一 ”《 。
《 , , 为 自 然 数求 证 二 好 一 卜 , , 一用 数 学 归 纳 法 证 明扩 一 砚 一 , , , 一 ’ … 一 ‘ 代 一 一 ’ ‘ … 十 一 号 ,二 , , … , 令 , 为 偶 数一 ” ” 一 月 ’门 凡 、扩 一 创 一 旷 一 , 十 … 一 ” ‘ 一 犷 一 ‘ 十 … 十 一 宁取 二 , 二 , 得 名 祥’ 一 ’ 了命 题 组 供 题证 飞 由取 , 二 得 十 艺 了 了 丫 厄 万 一 十了 丽 一 二二 与 一 一 一 ’ 一 一好 一 一 帕 一 一 一 不 户 一 一 —扩 十 扩 一 ’ 一 , 一 ’ 一 ’ 一 一 ’刀刀刀刀 、、以以以 再再 片片一 一· 、 ’ 谷 六 ” ·四 、 本 题 满 分 分设 , 是 两 条 异 面 直 线 ,在 上 有 月 , , 三 个 点 , 且’ 十 一 一一 一, 劝得 , ” 好 二 一 一 ,直 接 计 算 得, 一 生 一 ,工, ‘ · ,一 , 告 一 · 令 , 一 」 一 , 一 卜仓朋 ” 砚 过 月 , 川 分 别 作 的 垂 线 , 刀 , , 垂 足 依次 为 。
, , 只 已 知 一 而 , 此 二 晋 , 一 而 , 求 ‘与 , 的 距 离 广 东 供 题解 设 乙 对 为 直 线 与 二 的 公 垂 线 〔 , 万 任 二过 作 平 面 平 行 于 直 线 , 过 月 、 、 分 别 作 平面 的 垂 线 韶 、 刀 再 , 垂 足 分 别 为 ‘ 、 万 、 , 则 点 ‘ 、、 落 在 与 平 行 的 直 线 , 上 , 边 彻 , 枷 , ’,’ 朋 二 脚 , 淞 “ , ’ 二 万 兀 ,一 一因 此 , 命 题 对 于 二 二 , 时 成 立设 命 题 对 成 , 为 自 然 数 已 成 立 , 令 证对 于 、 二 , 十 也 成 立 , 以 下 分 两 种 情 况 证 明一 当 , 为 奇 数 时 由 归 纳 假 设 知 , 对 、 二 ,及 二 一 有 不 ” 广 一 孟 一 广 一 十 二 一 广 一 ‘ 十 … 十 一 谬中 学 数 学 湖 北幽 … , , , , , , , , 共 甸 , 故 万 】 , 二 , 二 , 二 众 四点 。
