倒立摆建模与控制.pdf

2倒立摆系统的模型建立2.1 倒立摆特性非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似线性模型，线性化处理后再进行控制也可以利用非线性控制理论对其进行控制不确定性模型误差以及机械传动间隙，各种阻力带来实际系统的不确定性实际控制中一般通过减少各种误差降低不确定性，如施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定性因素耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定平衡点，垂直向下为稳定平横点约束限制由于机构的限制，如运动模块的行程限制，电机力矩限制等为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机的功率尽量要求最小行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车撞边现象[22]2.2 一阶倒立摆数学模型倒立摆系统是典型的运动的刚性系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程下面分别采用牛顿力学方法和拉格朗日方法建立直线型一级，二级倒立摆系统的数学模型。

2.2.1 一级倒立摆物理模型在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线型一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图 2.1 所示：摆杆皮带导轨皮带轮图 2.1 单级倒立摆系统物理模型2.2.2 一级倒立摆数学模型各符号代表的意义及相关的数值：表 2.1 一级倒立摆参数表参数参数意义参数值M 小车质量1.096Kg m 摆杆质量0.13Kg b 小车摩擦系数0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m I 摆杆转动惯量0.0034Kg*m*m f 加到小车上的力x 小车位置摆杆与竖直向上方向的夹角通过对系统中小车和摆杆进行受力分析，分别可得到以下运动方程：2()cossinFMm xbxmlml(2.1) 22()sincos2sin(sincos )Imlmglmlxml(2.2) 22222cossincos2sinsin2sincosMmmlxFbxmlmlmlImlmglml(2.3) 2.3 二阶倒立摆数学模型2.3.1 二级倒立摆物理模型如图 2.3 所示为直线型二级倒立摆物理模型摆杆皮带导轨皮带轮图 2.3 二级倒立摆系统的物理模型倒立摆装置主要由沿导轨运动的小车和固定到小车上的两个摆体组成。

摆体与摆体之间，摆体与小车之间由转轴连接，在连接处有两个光电编码器分别用来测量两个摆杆的角度，在轨道一端有伺服电机，并装有用来测量小车位移的光电编码器小车由伺服电机，皮带，皮带轮带动可以沿导轨左右运动，从而使两摆体稳定在竖直位置并且可以定位跟踪在导轨的某一特定位置2.3.2 二级倒立摆数学模型表 2.2 二级倒立摆参数表参数参数意义参数值M 小车质量1.096Kg m1 摆杆 1 质量0.13Kg m2 摆杆 2 质量0.05Kg m3 摆杆 3 质量0.236kg J1 摆杆 1 转动惯量0.0002Kg*m*m J2 摆杆 2 转动惯量0.0034Kg*m*m l1 摆杆 1 中心到转动中心的距离0.0775m l2 摆杆 1 中心到转动中心的距离0.25m 1摆杆 1 与竖直方向的夹角2摆杆 2 与竖直方向的夹角F 作用在系统上的力利用拉格朗日方程推导运动学方程：拉格朗日方程为：( , )( , )( , )L q qT q qV q q(2.4) 其中 L 为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标T 为系统的动能， V 为系统的势能i iidLLfdt(2.5) 其中1,2,3in，if为系统在第 i 个广义坐标上的外力， 在直线型二级倒立摆系统中，系统的广义坐标有三个，分别是12,,x。

首先计算系统的动能：123MmmmTTTTT(2.6) 其中123,,,MmmmTTTT分别为小车动能， 摆杆 1 的动能，摆杆 2 的动能和质量快的动能小车的动能：212MTMx(2.7) 而摆杆 1 和摆杆 2 的动能又由两部分组成：''' 111mmmTTT(2.8) 其中''' 11,mmTT分别为摆杆 1 的平均动能和转动动能''' 222mmmTTT(2.9) 其中''' 22,mmTT分别为摆杆 2 的平均动能和转动动能对于二级倒立摆系统，我们设以下变量：1xp为摆杆 1 质心横坐标；1yp为摆杆 1 质心纵坐标；2xp为摆杆 2 质心横坐标；2yp为摆杆 2 质心纵坐标；xm为质量快质心横坐标；ym为质量快质心纵坐标；又有：11111122112211111sin()1cos()22 sin()sin()22 cos()cos()2 sin()2 cos()xpxlyplxpxllypllxmxlyml(2.10) 则有：'22 11''222 1111 111(1)(1)(()() )2 1126mmpd xpd ypTmdtdtTJml(2.11) 同理得到：'22 22''222 2222 221(2)(2)(()() )2 1126mmpd xpd ypTmdtdtTJm l(2.12) '22 331()()(()() )2md xmd ymTmdtdt(2.13) 于是得到系统的总动能：123MmmmTTTTT(2.14) 22222 11 1111(1)(1)1(()() )226d xpd ypMxmmldtdt2222 22 221(2)(2)1(()() )26d xpd ypmm ldtdt22 31()()(()() ) 2d xmd ymm dtdt系统的势能为：123mmmVVVV(2.15) 12312m gypm gypm gym11121122311cos(2coscos)2cosm glm gllm gl由于系统在12,广义坐标下没有外力作用，所以有：110dLLdt220dLLdt(2.16) dLLudtxx展开得到2 1231112312 1 2212 2 222 1 2212 2123112 224(22) cos(44)2cos()3 4cos2cos() 3 123(22)coscosmmm lmmm lm l lm lm l lm lMmmmmmm lm l12x12311222 2 2 2221231(2)sinsinsin(22)cosmmmglm glum lmmm l(2.17) 它可以表现成以下形式的非线性方程：11212121212231212(,,,, )(,,,, )(,,,, )xfufufu(2.18) 3基于 T-S 模糊模型的模糊控制3.1 模糊控制理论概述模糊控制是以模糊集合理论、模糊语言变量及模糊推理为基础的一类控制方法。

模糊控制的基本思想是用机器去模拟人对系统的控制，而不是依赖控制对象的模型因此，模糊控制主要研究那些在现实生活中广泛存在的、定性的、模糊的、非精确的信息系统控制问题所以将模糊控制应用于倒立摆这种高度非线性的被控对象中本章主要应用模糊控制理论思想，研究了倒立摆系统的模糊控制方法问题模糊控制是以模糊集理论， 模糊语言变量和模糊逻辑推理为基础的一种智能控制方法，它从行为上模仿人的模糊推理和决策过程该方法首先将操作人员或专家经验转化成模糊规则，然后将来自传感器的实时信号模糊化，将模糊化后的实时信号，作为模糊规则的输入，完成模糊推理，将推理后的得到的输出量加到执行器上模糊控制的基本原理如图3.1 所示：A/D 计算控制量模糊量化处理模糊控制规则模糊决策非模糊化处理D/A 执行机构被控对象传感器图 3.1 模糊控制器原理图它的核心部分是模糊控制器模糊控制器的控制律由计算机的程序实现实现一步模糊控制算法的过程可描述如下：微机经中断采样获取被控制量的精确值，然后将此量与给定值比较，得到误差信号E，一般选误差信号作为模糊控制器的一个输入量把误差信号的精确量模糊化变成模糊量误差E 的模糊量可以用相应的模糊语言表示，得到误差 E 的模糊语言变量的一个子集e(e是一个模糊矢量 )，再由 e 和模糊关系R 根据推理的合成规则进行模糊决策，得到模糊控制量u，即ue R模糊控制器也称为模糊逻辑控制器，它的组成框图如图3.2 所示：图 3.2 模糊控制器组成3.2 基于 T-S 模糊模型的控制理论3.2.1 T-S模糊模型结构设非线性系统为：( , )( )( )xF x uf xg x u其中 xR是状态变量 ,uR是输入变量 ,(),(),()Ffg是非线性函数。

(1)式是一非线性系统，可把这样的系统表示成一系列局部线性的系统，此即下面介绍的T-S模型T-S 模栩模型是由一组“如果——则”模糊规则来描述非线性系统，每一个规则代表一个子系统 整个摸糊系统即为各个子系统的线性组合令i pR表示模糊系统的第i 条规则，其模糊状态方程模型可表示为：i pR：if 1( )x tis 1iMand ⋯and ( )nxtisi ji nM模糊化接口推理机解模糊接口知识库数据库规则库Then ( )( )( )iix tA x tB u t1,2,.il式中i jM(1,2,.jn)是模糊集合，l 是规则数)iiA B是第 i 个子系统相应维数的矩阵若设( )i jx表示 x属于i jM的隶属度函数，若直积运算1iii nMMM采用求积法，则1( )( )n ii j jxx( )ix表示 x属于iM 的隶属度函数，同时也表示第i 条规则的适用度若模糊化采用单点模糊集合，清晰化采用加权平均法，则可得到整个系统状态方程为：1( )( )[( )( )]liii ix th xA x tBu t1( )( ) ( )iii jjxh x x因1( )0,( )0i ijjxx所以0( )1ih x且1( )1ii ih x。

该模型建模方法的本质在于：一个整体非线性的动力学模型可以堪称是多个局部线性模型的模糊逼近，如果选择足够多的模糊规则，模糊建模可以达到任意精度[22]，但随着模糊规则的增加，模糊控制器将变复杂故必须在复杂性和准确性之间做出折中3.2.2 T-S模糊模型求取求在平衡点00(,)x u附近，即满足00(,)0F x u(3.1) 的线性模型可用泰勒级数展开法，并忽略高次项得[3]：xA xB u(3.2) 其中000000,,, xxxx u uu uFFxxxuuuABxu(3.3) 此状态模糊是增量形式，状态也是增量形式，不宜作为T-S 模型中的局部线性模型因00dxdt由(3.2)式得：00()xAxBuAxBu(3.4) 若000,0xu得到关于 x和 u的线性模型，可以作为 T-S模型中的局部线性模型若00(,)x u既不是平衡点，又不满足00(,)(0,0)x u，我们采用如下线性化方法我们的目标是在0x附近找到一个 x 和u 的线性模型近似表示 (3.1)关于,A B矩阵使在0x附近有：( )( )f xg x uAxBuu(3.5) 000()()f xg xuAxBuu(3.6) 因 u 是任意的，所以必须让000,0xu0()g xB剩下工作是找到一个常数阵A在0x附近满足：( )f xAx(3.7) 00()f xAx(3.8) 让1T表示 A阵的第 i 行，那么， (3.7) ,(3.8)表示为：( ),1,2,.T iifxx in(3.9) 00(),1,2,.T iifxx in(3.10) if是()f中的第 i 个元素。

将 (27)式( )ifx在0x处泰勒级数展开，并忽略高次项得：0001()()()TT iifxfxxxx(3.11) 其中表示梯度，将 (3.10)式代入 (3.11)式得0010()()()TT ifxxxxx(3.12) 我们的任务是找到i近似0()ifx，取如下指标：2021()2iiEfx(3.13) 现在的任务是在00()T iixfx约束条件下极小化 (3.13)式用拉格朗日乘子，将。