《概率与概率分布》PPT课件.ppt

简单的描述性统计只能对统计数据做比较肤浅的描简单的描述性统计只能对统计数据做比较肤浅的描述、显示要想从中探索出规律性的东西，需要推断述、显示要想从中探索出规律性的东西，需要推断统计的方法推断统计就是在搜集、整理观测样本数统计的方法推断统计就是在搜集、整理观测样本数据的基础上，对有关总体作出推断据的基础上，对有关总体作出推断根据随机性的观根据随机性的观测样本数据以及问题的条件和假定，对未知事物作出测样本数据以及问题的条件和假定，对未知事物作出的以概率形式表述的推断的以概率形式表述的推断即概率论与数理统计的内即概率论与数理统计的内容第五章第五章 概率与概率分布概率与概率分布本本 章章 内内 容容 5.1 概率基础概率基础5.1.1 随机事件及其概率随机事件及其概率5.1.2 概率的性质与运算法则概率的性质与运算法则5.2 随机变量及其分布随机变量及其分布5.2.1 随机变量随机变量5.2.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布5.2.3 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布5.1 概率基础概率基础5.1.1 随机事件及其概率随机事件及其概率一、几个基本概念一、几个基本概念1. 试验、事件试验、事件：在相同条件下，对某事物或现象所进行的观察叫试验，把观察的结果叫做事件。

试验试验 试验结果（事件）试验结果（事件）抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币 正面，反面正面，反面对某一零件进行检验对某一零件进行检验 合格，不合格合格，不合格投掷一颗骰子投掷一颗骰子 1，，2，，3，，4，，5，，6进行一场足球比赛进行一场足球比赛 获胜，失利，平局获胜，失利，平局 2、、 随机事件随机事件（（Random event））在相同条件下，每一次试验可能出现也可能不出现的事件，在相同条件下，每一次试验可能出现也可能不出现的事件，叫做随机事件，也叫偶然事件如掷硬币正、反面都可能出叫做随机事件，也叫偶然事件如掷硬币正、反面都可能出现也可能不出现用英文大写字母表示，如现也可能不出现用英文大写字母表示，如A，，B，，C等。

等概率论主要研究对象为随机事件，简称概率论主要研究对象为随机事件，简称“事件事件”3、、必然事件必然事件（（Certain event））在相同条件下，每次实验一定出现的事件用在相同条件下，每次实验一定出现的事件用 表示如：事件（点数小于如：事件（点数小于7）在掷骰子中每次必然出现）在掷骰子中每次必然出现4、、不可能事件不可能事件（（Impossible event））在相同条件下，每次试验一定不出现的事件用在相同条件下，每次试验一定不出现的事件用 表示如：事件（点数大于如：事件（点数大于7）在掷骰子试验中为不可能事件在掷骰子试验中为不可能事件5、、基本事件基本事件（（Elementary event））简单事件也叫样本点（简单事件也叫样本点（Sample point）一个事件不能）一个事件不能分解成两个或更多事件在一次试验中只能观察到一个且分解成两个或更多事件在一次试验中只能观察到一个且仅有一个简单事件如掷硬币时，只能观察到仅有一个简单事件如掷硬币时，只能观察到2个简单事个简单事件件“正面正面”或或“反面反面”6、、样本空间样本空间（（Sample space））一个试验中，所有基本事件的全体。

如：一个试验中，所有基本事件的全体如：  ={正正,反反},  ={1,2,3,4,5,6}事件可以象集合一样进行运算事件可以象集合一样进行运算, 对事件的运算可以得到新对事件的运算可以得到新的事件物理学试验在相同的条件下重复时，会有相同的结果产物理学试验在相同的条件下重复时，会有相同的结果产生而在统计学中，结果是随机决定的，即使试验在相同生而在统计学中，结果是随机决定的，即使试验在相同的条件下重复进行，也可能获得完全不同的结果所以，的条件下重复进行，也可能获得完全不同的结果所以，统计学上的试验也称为统计学上的试验也称为随机试验随机试验二、二、事件的概率定义事件的概率定义事件的概率（事件的概率（Probability）：事件在试验中出现的可能性）：事件在试验中出现的可能性大小事件大小事件A的概率用的概率用P(A)表示对概率的理解有三种定表示对概率的理解有三种定义：义：1、、概率的古典定义概率的古典定义（（Classical method））如果（如果（1）某一随机试验的结果有限；（）某一随机试验的结果有限；（2）各个结果出）各个结果出现的可能性相等，则某一事件现的可能性相等，则某一事件A发生的概率为该事件所包发生的概率为该事件所包含的基本事件数含的基本事件数m与样本空间中所包含的基本事件数与样本空间中所包含的基本事件数n的的比值。

比值例例5.1在投掷骰子试验中在投掷骰子试验中,  ={1,2,3,4,5,6},试验结果试验结果有限有限,6个试验结果以均等的可能发生个试验结果以均等的可能发生 P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6, 事件事件A={1,2,3,4},P(A)=4/6=2/32、、概率的统计定义概率的统计定义：相对频率法（：相对频率法（Relative frequency method)在相同条件下，随机试验ｎ次，某事件在相同条件下，随机试验ｎ次，某事件A出现ｍ次（ｍ出现ｍ次（ｍ ｎ），则比值ｎ），则比值m/n称为事件称为事件A发生的频率发生的频率; 随着ｎ的增大随着ｎ的增大,该频率围绕某一常数ｐ上下波动该频率围绕某一常数ｐ上下波动,且波动的幅度逐渐减小且波动的幅度逐渐减小,趋向于稳定趋向于稳定,这个频率的稳定值这个频率的稳定值,即为该事件的概率即为该事件的概率,记为记为P(A)=m/n＝ｐ＝ｐ例例5.3 假设某个公司正在准备销售某一新产品假设某个公司正在准备销售某一新产品,为了估计为了估计顾客购买此产品的概率顾客购买此产品的概率, 进行了一次市场评估进行了一次市场评估, 一共联系一共联系了了400名顾客名顾客, 结果有结果有100名购买了该产品名购买了该产品, 而而300人未购人未购买。

买P（（购买）＝购买）＝100/400=0.25, P(不购买不购买)=300/400=0.75３、３、主观概率主观概率：主观法（：主观法（Subjective method））所谓主观概率是指对一些无法重复的试验，确定其结所谓主观概率是指对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只能根据以往的经验，人为确定这个事件的果的概率只能根据以往的经验，人为确定这个事件的概率它是一个决策者根据本人掌握的信息对该事件概率它是一个决策者根据本人掌握的信息对该事件发生可能性的判断发生可能性的判断有些情况下试验结果既不是等可能发生的，也没有相有些情况下试验结果既不是等可能发生的，也没有相对频数的数据可用，这时要用主观法对频数的数据可用，这时要用主观法例例5.4 国安队进行下一场足球比赛，获胜的概率有多少国安队进行下一场足球比赛，获胜的概率有多少？？获胜、失利、平局不一定是等可能发生的此外，对于获胜、失利、平局不一定是等可能发生的此外，对于将要进行的比赛也没有相对频数的数据可用这时估计国将要进行的比赛也没有相对频数的数据可用这时估计国安队获胜的概率，必须对其进行主观评价安队获胜的概率，必须对其进行主观评价。

5.1.2 概率的性质与运算法则概率的性质与运算法则1、概率的性质：、概率的性质：（（1））非负性非负性对任意事件对任意事件A 0  P（（A）） 1（（2））规范性规范性必然事件的概率为必然事件的概率为1，不可能事件的概，不可能事件的概率为率为0P（（ ）＝）＝1，，P（（ ）＝）＝0（（3））可加性可加性若若A，，B互斥，则互斥，则P（（A B）＝）＝P（（A）＋）＋P（（B）） 可推广到多个两两互斥的随机事件可推广到多个两两互斥的随机事件A1，，A2，，…, AｎｎP(A1   A2  ...  Aｎｎ)=P(A1)+P(A2)+…+P(Aｎｎ)2、基本的概率关系、基本的概率关系（（1）事件的补）事件的补(Complement of event)给定一个给定一个事件事件A，，它的补定义为它的补定义为:Aｃｃ＝＝{样本空间中样本空间中所有不包括在所有不包括在A内的内的样本点样本点/基本事件基本事件}．．Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｐ（Ａ）＋Ｐ（ Aｃｃ）＝１）＝１例例5.5 假设某采购部声称供货商运来的货物中无残假设某采购部声称供货商运来的货物中无残次品的概率为次品的概率为90％，利用补，推出货物中有残次品％，利用补，推出货物中有残次品的概率为的概率为1－－0.9=0.1AAｃ(2)事件的并事件的并A和和B的并的并(Union of A and B)是所有的属于是所有的属于A或或B或同时属或同时属于二者的样本点构成的事件于二者的样本点构成的事件.记作记作A BAB样本空间(3)事件的交事件的交A和和B的交的交(Intersection of A and B)是同时属于是同时属于A和和B的的样本点构成的事件。

记作样本点构成的事件记作A BAB加法公式加法公式：P（ AB）＝P（A）＋P（B）－P（ AB ）例例5.6 某大型计算机软件公司，其人事部最近做了一项调查研某大型计算机软件公司，其人事部最近做了一项调查研究，发现在两年内离职的雇员中有究，发现在两年内离职的雇员中有30％的人是因为对工资不％的人是因为对工资不满意，满意，20％的人是因为对工作不满意，％的人是因为对工作不满意，12％的人指出他们对％的人指出他们对工资和工作都不满意那么在两年内离职的公司雇员中，其工资和工作都不满意那么在两年内离职的公司雇员中，其离职原因是离职原因是对工资不满意或对工作不满意对工资不满意或对工作不满意的概率是多少？的概率是多少？解：解：A＝＝{离职因为对工资不满意离职因为对工资不满意},B={离职因为对工作不满意离职因为对工作不满意}, P(A)=30%, P(B)=20%, P(A B )=12%,则则P(A B)=P（（A）＋）＋P（（B）－）－P（（ A B ））=0.3+0.2-0.12=0.38(4)互斥事件（互斥事件（Mutually exclusive event））如果两个事件没有公共的样本点如果两个事件没有公共的样本点,则称这两个事件互斥。

则称这两个事件互斥互斥事件的加法公式：互斥事件的加法公式：P（（ A B）＝）＝P（（A）＋）＋P（（B））AB3、条件概率与独立事件、条件概率与独立事件（（1））条件概率条件概率(Conditional probability)某个事件的概率经常会因为另外一个相关事件的发生与否某个事件的概率经常会因为另外一个相关事件的发生与否而受到影响而受到影响当某一事件当某一事件B已知发生时，求事件已知发生时，求事件A发生的概率，称为事件发生的概率，称为事件B发生条件下事件发生条件下事件A发生的条件概率，记为发生的条件概率，记为P（（A|B)一般来说，来说， P（（A|B) P（（A））条件概率公式：条件概率公式：乘法公式乘法公式: P(AB)=P(B)P(A|B) P(AB)=P(A)P(B|A)例例5.7 某报纸的发行部已知在某社区有某报纸的发行部已知在某社区有84%的住户订阅了的住户订阅了该报纸的日报用该报纸的日报用D＝＝“某住户订阅了日报某住户订阅了日报”, P(D)=0.84, 已经订阅日报的住户订阅其周刊已经订阅日报的住户订阅其周刊(事件事件S)的概的概率为率为0.75, 即即P(S|D)=0.75, 求某住户既订阅了日报求某住户既订阅了日报,又订阅了周刊的概又订阅了周刊的概率是多少率是多少?解解:P(SD)=P(D)P(S|D)=0.84 0.75=0.63(2) 独立性（独立性（Independence) 独立事件独立事件(Independent events):两个事件中不论哪个事件发生与否并不影响另一个事件发两个事件中不论哪个事件发生与否并不影响另一个事件发生的概率，称这两个事件相互独立。

生的概率，称这两个事件相互独立相依事件相依事件：：一个事件的发生与否会影响另一个事件发生的概率一个事件的发生与否会影响另一个事件发生的概率两个事件独立时，其条件概率等于无条件概率两个事件独立时，其条件概率等于无条件概率P（（B|A)=P(B), P(A|B)=P(A), P(AB)=P(A)P(B)两个事件两个事件A、、B是相互独立的，当且仅当，是相互独立的，当且仅当，P(AB)=P(A)P(B) 如果如果A1,A2,…,Aｎｎ相互独立相互独立,则则 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)例例5.8 某工人同时看管三台机床，每单位时间某工人同时看管三台机床，每单位时间(如如30分钟分钟)内机内机床不需要看管的概率：甲机床床不需要看管的概率：甲机床0.9,乙机床乙机床0.8,丙机床丙机床0.85.若机床若机床是自动机床且独立工作是自动机床且独立工作,求求(1)在在30分钟内三台机床都不需要看分钟内三台机床都不需要看管的概率管的概率;(2)在在30分钟内分钟内甲、乙机床不需要看管，而丙机床需甲、乙机床不需要看管，而丙机床需要看管的概率。

要看管的概率1)P( A1A2A3)＝＝P(A1)P(A2)P(A3)＝＝0.9 0.8  0.85=0.612;(2)P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)＝＝ 0.9 0.8  (1-0.85)=0.108 互斥事件一定是相依（不独立）的互斥事件一定是相依（不独立）的,但相但相依的事件则不一定是互斥的依的事件则不一定是互斥的; 不互斥事件可能是独立的不互斥事件可能是独立的,也可能是不也可能是不独立的独立的, 而独立的事件不可能是互斥的而独立的事件不可能是互斥的.互斥性与独立性的关系互斥性与独立性的关系:（（1）互斥事件一定是相依的）互斥事件一定是相依的如果如果A、、B两个事件互斥，则两个事件互斥，则A∩B＝＝ ，，P(A∩B)=0, 而而P(A)•P(B) ≠0, 所以，所以， P(A∩B) ≠ P(A)•P(B) ，即，即A、、B是相依的是相依的（（2））相依的事件不一定是互斥的相依的事件不一定是互斥的如在掷骰子试验中如在掷骰子试验中 ＝｛＝｛1,2,3,4,5,6｝｝①① A={1,2,3},B={2,4,5}, AB={2}, P(AB)=1/6, P(A)P(B)=(1/2)(1/2)=1/4, P(AB) ≠P(A)P(B),所以，所以，A、、B是相依事件，是相依事件， 又因为又因为AB＝＝{2} ≠ , 所以，所以，A、、B不是互斥的。

不是互斥的②② A={1,2},B={3,4,5},AB=  , P(AB)=0, 而而P(A)P(B)=(1/3)(1/2)=1/6,所以，所以， P(AB) ≠ P(A)P(B) 所以，所以，A、、B是相依的，也是互斥的是相依的，也是互斥的（（3）不互斥事件可能是独立的）不互斥事件可能是独立的,也可能是不独立的也可能是不独立的①①例例1中中,P(A)=30%,P(B)=20%, P(AB)=12%, A、、B是不是不互斥的，即相容的而互斥的，即相容的而P(AB) ≠P(A)P(B),所以，所以，A、、B是不独立的是不独立的②②某人射击的命中率为某人射击的命中率为90％，％，A1表示第一枪命中，表示第一枪命中，A2表表示第二枪命中，示第二枪命中，A1A2表示两枪都命中，表示两枪都命中，P(A1)=P(A2)=90%, P(A1 A2)=81%, P(A1 A2)= P(A1) P(A2)这时A1、、 A2是不互斥的，也是独立的是不互斥的，也是独立的（（4）独立的事件不可能是互斥的）独立的事件不可能是互斥的若两个事件若两个事件A和和B是相互独立的，则是相互独立的，则P(A∩B)=P(A)P(B) ≠0, A∩B ≠ , 即即A和和B是不互斥的。

是不互斥的课堂练习课堂练习1、两个骰子掷一次，出现两个相同点数的概率是多少？2、设A与B是两个随机事件，已知A与B至少有一个发生的概率是1/3，A发生且B不发生的概率是1/9，求B发生的概率？3、某品牌的电视机用到5000小时未坏的概率为3/4，用到10000小时未坏的概率为1/2现有一台这种品牌的电视机已经用了5000小时未坏，问它能用到10000小时的概率是多少？4、下列电路图中A、B、C、D、E是同一型号电器件，该型号的电器件在一个月内不发生故障的概率是0.80，求一个月内该电路畅通并正常工作的概率是多少？ABECD4、全概率公式及贝叶斯公式、全概率公式及贝叶斯公式(1)全概率公式全概率公式例例5.9 某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床的次品率分别为的次品率分别为5％，％，4％，％，2％，各自的产量分别占总产％，各自的产量分别占总产量的量的25％，％，35％，％，40％，将它们混在一起，求任取一个产％，将它们混在一起，求任取一个产品是次品的概率品是次品的概率解：解：A1＝＝ “产品来自甲机床产品来自甲机床”; A2＝＝ “产品来自乙机床产品来自乙机床”; A3＝＝ “产品来自丙机床产品来自丙机床”;B=“取到次品取到次品”. A1 + A2 + A3=  ,且且A1 、、 A2 、、A3互不相容，互不相容，B=B(A1 + A2 + A3)= BA1 + BA2 + BA3P(B)=P (BA1) + P(BA2 )+P( BA3)= P(A1 )P(B| A1)+ P(A2 )P(B| A2)+ P(A3 )P(B| A3)=0.25 0.05+0.35 0.04+0.40  0.02=0.0345设有设有n个事件个事件A1,A2,…, An互不相容互不相容, P(Ai)>0,i=1,2,…,n, 事件事件B满足满足:B  A1+A2+…+ An,则则(2)贝叶斯公式与全概率公式解决的问题相反，是在条件概率基础上寻找事件发生的原因.设有n个事件A1,A2,…, An互不相容,P(Ai)>0,i=1,2,…,n, 事件B满足:B A1+A2+…+ An,则上面例5.9中,如果取到一件产品是次品,分别求这一次品有甲、乙、丙生产的概率？解：课堂练习课堂练习 某企业职工中小学文化程度的有10％，初中文化程度的有50％，高中及以上文化程度的有40％。

25岁以下青年在小学、初中、高中以上文化程度各组中的比例分别为20％，50％，70％从该企业随机抽取一名职工，发现其年龄不到25岁，问他具有小学、初中、高中以上文化程度的概率各为多少？5.2 随机变量及其分布随机变量及其分布5.2.1 随机变量1、随机变量的数量化随机变量都可以用一个数量标识表示，便于数学上的处理随机变量都可以用一个数量标识表示，便于数学上的处理如：（1）掷骰子试验，可能出现的点数1，2，3，4，5，6是数量标识； （2）检验产品{合格,不合格} {0,1}变为数量化标识;2、随机变量随机变量是一次试验的结果的数值性描述随机变量是一次试验的结果的数值性描述随机事件AX P（X）＝P（A）如：＝{正, 反}, 正X=x1=0 P(X=x1)=P(X=0)=1/2, 反X=x2=1P(X=x2)=P(X=1)=1/2用X把试验所有可能的结果用数值标识列举出来,x1,x2,…,xn,而且具有相应确定的概率P(x1), P(x2),…, P(xn), P(x)为随机变量X的概率函数概率函数, X为P(x)的随机变量随机变量。

3、两种类型的随机变量（1）离散型离散型（Discrete）随机变量X的所有值都可以逐个列举出来可以有限也可以无限（2）连续型(Continuous)随机变量X所有可能值不可能逐个列举出来，而是取数轴某一区间内的任意点，则该随机变量为连续型随机变量连续型随机变量的例子5.2.2 离散型随机变量的概率分布1、离散型随机变量的概率分布一离散型随机变量X，可能取值,x1,x2,…,xn,相应的概率P(x1), P(x2),…, P(xn), P(X=xi)=P(xi)=pi ，表格形式为：该表格形式为离散型随机变量X的概率分布(Probability distribution), p1+p2+…+pn=1例5.10 某汽车公司一天中汽车销售量的概率分布掷骰子试验的期望值：某公司一日汽车销量的数学期望值:2、方差与标准差、方差与标准差方差是随机变量与其数学期望的离差平均水平方差是随机变量与其数学期望的离差平均水平,用它来测用它来测定随机变量的变异程度或离散程度定随机变量的变异程度或离散程度,是随机变量的另一个是随机变量的另一个重要数字特征等于每一个随机变量取值与期望值的离重要数字特征。

等于每一个随机变量取值与期望值的离差平方之期望值差平方之期望值若X是离散型随机变量，则标准差离散系数方差例例5.11、一位投资者有一笔现金可用于投资，现有两个、一位投资者有一笔现金可用于投资，现有两个项目可供选择项目项目可供选择项目A和项目和项目B的资料如下表比较哪的资料如下表比较哪个投资项目较佳个投资项目较佳项目项目A项目项目B解解:先考虑两个项目的平均回报率，即数学期望值通过先考虑两个项目的平均回报率，即数学期望值通过计算可知它们的平均回报率相等所以，有必要考察两计算可知它们的平均回报率相等所以，有必要考察两个项目的投资风险大小个项目的投资风险大小项目项目A方差2=(x-)2p(x)=2标准差＝2 1/2 =1.414项目B方差2=(x-)2p(x)=1.25标准差＝1.25 1/2 =1.12项目A的标准差比项目B的大, 即前者的回报率的变化大于后者,稳定性小于后者,风险比后者大.所以,投资于项目B较项目A为佳例5.12 如果投资项目A的预期回报率为7％，标准差为5％；而投资B的回报率为12％，标准差为7％，问哪个项目的风险较大？解：如果两个项目的回报率（均值）相等，只要比较它们的标准差就能确定风险大小。

本题涉及的两个项目的回报率不同，可以考虑用离散系数（变异系数）进行比较A的离散系数V＝0.05/0.07=0.714B的离散系数V=0.07/0.12=0.583,因此,A项目的风险较大.3、二项分布和泊松分布二项分布和泊松分布 （1）二项分布二项分布(Binomial distribution)条件:1)试验中包含了n个相同的试验; 2)每一次试验只有两个可能的结果,“成功”和“ 失败”; 3)出现“ 成功”的概率p是相同的,“ 失败”的概率q也不变; p+q=1 4)试验是相互独立的符合上述条件的n次重复独立的试验为n重贝努里试验(Bernoulli trials)或二项试验 X表示n次重复独立试验中事件A（成功）出现的次数，Cnxpxqn-x正是二项式(p+q)2展开式中的第x＋1项，所以，称随机变量X服从二项分布，参数为n,p, X~B(n,p)二项分布的期望值和方差二项分布的期望值和方差：E（X）＝npD(X)=npq例例5.13 马丁服装店问题马丁服装店问题. 商店经理估计进入该服装店商店经理估计进入该服装店的任一顾客购买服装的概率是的任一顾客购买服装的概率是 0.30, 那么那么,三个顾客中三个顾客中 有有 两个购买的概率是多少两个购买的概率是多少?解解:(1)试验包含了三个相同的试验试验包含了三个相同的试验,进入商店的三个顾客进入商店的三个顾客中的任一个即为一次试验中的任一个即为一次试验;(2)每次试验都有两个结果每次试验都有两个结果:顾客购买顾客购买(成功成功)或不成功或不成功(失败失败);(3)顾客购买的概率顾客购买的概率(0.30)或不购买的概率或不购买的概率(0.70)被假被假设为对所有顾客都相等设为对所有顾客都相等;(4)某个顾客的购买决定与其他顾客的购买决定独立某个顾客的购买决定与其他顾客的购买决定独立.所以满足了二项试验的属性所以满足了二项试验的属性.第一个顾客第二个顾客第三个顾客FSSFSFSFSFSFSFS=购买;F=未购买;x=购买的顾客数结果 x值(S,S,S) 3(S,S,F) 2(S,F,S) 2(S,F,F) 1 (F,S,S) 2(F,S,F) 1(F,F,S) 1(F,F,F) 0马丁服装店问题的树形图例例5.14 已知已知100件产品中有件产品中有5件次品，现从中任取一件，件次品，现从中任取一件，有放回地取三次，求在所取的三件中恰有两件次品的概有放回地取三次，求在所取的三件中恰有两件次品的概率？如果无放会，结果又如何？率？如果无放会，结果又如何？解：解：如果有放回如果有放回，那么三次试验的条件是完全相同的，，那么三次试验的条件是完全相同的，符合二项分布的条件。

每次试验取到次品的概率为符合二项分布的条件每次试验取到次品的概率为p=5/100=0.05, 设设X表示表示3个产品中的次品数，个产品中的次品数，X~B(n,p).P{X=2}=C32(0.05)2(0.95)=0.007125.如果无放回如果无放回,每次抽到次品的概率就不一样每次抽到次品的概率就不一样,不能用二项不能用二项分布来计算分布来计算.可以用古典概率计算可以用古典概率计算.例例5.15 有一份有一份10道四择一的多项选择题的试卷，若考道四择一的多项选择题的试卷，若考生对试题作完全猜测，问考生分别猜中生对试题作完全猜测，问考生分别猜中8题、题、9题、题、10题题的概率各有多大？至少猜中一题的概率又有多大？的概率各有多大？至少猜中一题的概率又有多大？例例5.16 一份试卷一份试卷100道四选一的多项选择题，每一道四选一的多项选择题，每一题题1分，考生答对了其中的分，考生答对了其中的80道，有道，有20道不能回答，因道不能回答，因而对这而对这20道题作猜测，则猜测得分的范围有多大？道题作猜测，则猜测得分的范围有多大？ 例5.17 有正误题10道题，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对几题，才能认为不是处于猜测因素？例5.18 有10道多重选择题，每题有5个答案，其中只有一个是正确的。

问答对几题才能说不是猜的结果？课堂练习课堂练习：1、用E字型视标检查儿童的视敏度，每种视力值（1.0，1.5）有四个方向的E字（共8个），问：说对了几个才能说真看清了而不是猜对的？2、今有四择一选择测验100题，问答对多少题才能说他的回答不是完全凭猜测？3、某篮球队员定点投篮的命中率为0.8，问该队员定点投篮10次，至少投中6次的概率是多少？(2)泊松概率分布泊松概率分布(Poisson probability distribution)描述在一个指定的时间范围内或指定的面积或体积内描述在一个指定的时间范围内或指定的面积或体积内某一事件出现的个数的分布某一事件出现的个数的分布如 某种仪器每月出现故障的次数；某种仪器每月出现故障的次数； 单位时间内到达某一服务柜台请求服务的顾客数；单位时间内到达某一服务柜台请求服务的顾客数； 保险公司每天收到的死亡声明的个数保险公司每天收到的死亡声明的个数 10公里的高速公路上需要修理的数目公里的高速公路上需要修理的数目泊松试验的性质：泊松试验的性质：1）任意两个相等长度的区间发生一次的概率相等；）任意两个相等长度的区间发生一次的概率相等；2）任意区间发生或不发生与否，与其它区间发生与否）任意区间发生或不发生与否，与其它区间发生与否独立。

独立泊松分布的计算公式：泊松分布的计算公式： 为给定的时间间隔内事件出现的平均数为给定的时间间隔内事件出现的平均数泊松分布的期望值和方差：泊松分布的期望值和方差：E(X)=   D(X)=  例例5.19 设某企业职工周一请事假的人数设某企业职工周一请事假的人数X近似泊松分布，近似泊松分布，且设周一请事假的平均数为且设周一请事假的平均数为2.5人人,求求:1)X的均值、标准差；的均值、标准差； 2)在给定的某周一正好请事假是在给定的某周一正好请事假是5人的概率人的概率.解解:E(X)=2.5,  =E(X)=D(X)=2.5,  =D(X)1/2=2.51/2=1.581(3)二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似在二项试验中在二项试验中,当当“ 成功成功”的概率很小的概率很小,试验次数很大时试验次数很大时,二项分二项分布可近似等于泊松分布布可近似等于泊松分布,在实际应用中在实际应用中,当当p 0.25,n>20,np  5时时,用泊松分布近似二项分布效用泊松分布近似二项分布效果良好果良好.例例5.20 计算计算p=0.01,试验次数试验次数n=250,x=3的二项分布的概率的二项分布的概率.解解: p 0.25,n>20,np =250×0.01=2.5 5,用泊松分布近似计算用泊松分布近似计算,(4) 超几何概率分布超几何概率分布(Hypergeometic probability distribution)超几何概率分布与二项很相似。

它们的主要区别在于，超几何分布中超几何概率分布与二项很相似它们的主要区别在于，超几何分布中的各次试验不是独立的，而且各次试验成功的概率不等的各次试验不是独立的，而且各次试验成功的概率不等用用M代表有代表有N个项目的总体中成功的次数；用个项目的总体中成功的次数；用N－－M代表总体中失败代表总体中失败的次数超几何概率函数用来计算一个有的次数超几何概率函数用来计算一个有n项的随机样本中，不重复项的随机样本中，不重复选择有选择有x次成功，次成功，n-x次失败的概率次失败的概率P(x)为为n次试验中次试验中x次成功的概率次成功的概率;n为试验次数为试验次数;N为总体中的元素个数为总体中的元素个数;M为总体中代表成功的元素个数为总体中代表成功的元素个数.例例5.21. 假设一个总体有假设一个总体有10个项目组成个项目组成,其中其中4项有缺陷项有缺陷,6项没有缺陷项没有缺陷.一个一个容量为容量为3的样本中包含两项有缺陷的概率是多少的样本中包含两项有缺陷的概率是多少?解解:把有缺陷的项目定义为把有缺陷的项目定义为“ 成功成功”, N=10,M=4,n=3,x=2,例例5.22 一个一个5人委员会人委员会,有有3女女2男组成男组成, 从这从这5人中随机选择人中随机选择3人人参加例会参加例会,求这求这3人中恰有两名女性的概率人中恰有两名女性的概率?解解:设选择中有女性的定义为设选择中有女性的定义为“ 成功成功”,5.2.3 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布随机变量随机变量X离散时离散时, P(x)=P(X=x)为概率函数, P(xi)=pi=P(X=xi)随机变量随机变量X连续时连续时,不可能列出每个x对应的概率;而对应的是概率密度函数f(x) (Probability density function).概率密度函数应满足两个条件:(1) f(x)0,(2)注意:f(x)不是概率, f(x)P(X=x), f(x)是概率密度函数; X为连续型随机变量时,P(X=x)=0X连续时以曲线下面的面积表示概率。

X在a与b之间的概率为:abf(x)连续型随机变量的概率分布函数用F(x)来表示.连续型随机变量的期望值和方差连续型随机变量的期望值和方差1、均匀分布均匀分布连续型随机变量X在有限区间(a,b)取值，概率密度函数为：ab1/(b-a)x求：（1）概率分布函数； （2）期望值和方差解：（1）Xb时，f(x)=0,所以（2〕2、指数分布、指数分布某电子装置，其寿命服从指数分布(为寿命平均值)求：X的期望值和标准差解：3、正态分布、正态分布(Normal distribution)(1)定义及图形特点如果随机变量X的概率密度是:则称X服从正态分布,记作X~N(,2)为随机变量X的均值;为随机变量X的标准差;为圆周率3.14159…;e为自然对数的底2.71828….正态分布的概率密度曲线Inflection pointInflection point1215181011131416171920201215181011131416171921 229图形特点:1) f(x)0,整个密度函数都在x轴的上方;2)曲线对称,平均数,中数,众数三者相等,x= 处达到最大值3)曲线的陡缓程度由决定, 越大,曲线越平缓; 越小,曲线越陡峭。

X趋向于无穷时，曲线以x轴为其渐近线4)正态曲线下面的面积为1,平均数左右各为0.5;5)正态分布曲线下,标准差与概率(面积)有一定的关系: ±1 内,概率为0.6826; ±2内,概率为0.95545; ±3内,概率为0.9973(2)标准正态分布=0, =1时,有相应的正态分布N(0,1)称为标准正态分布(Standard normal distribution). 通常用(x)表示概率密度函数,用(x)表示分布函数.0.501(x)(x)–4 –3 –2 –101234任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.设 则正态分布正态分布正态分布正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布(3)正态分布表 即:标准正态分布函数(x)的数值表;将一般正态分布化为标准正态分布,通过查表可解决正态分布的概率计算问题使用正态分布表可作如下计算：1)依据Z分数求概率; 如Z=1时,p=0.34132)知道概率求Z分数;如p=0.2517时,Z=0.683)已知概率或Z分数,求概率密度值f(x)4)知道Z分数，求原始分数.0 2.53 Z.4943求 P(0-1.14). P(z>-1.14)=.3729+.5000 =.8729-1.14 0 .3729.5000求 P(-1.28

1)P(X<1.5) (2) P(X>2)(3)P(-12)=0.5-P(08) (5) P(7.1

设当年高考录取率为10％，问该生的成绩能否入围？解：该生的标准分数为Z＝(650-500)/100=1.5查正态分布表,当Z=1.5时,p=0.433,P(Z<1.5)=0.5+0.433=0.933,即93.3%,从低分到高分的顺序中他处于93.3%的位置, 那么,从高分到低分的顺序中他应处于6.7%的位置因高考录取是从高分至低分顺序录取的，所以，该生处在录取率10％之内，他的成绩入了围例5.29 某市参加数学奥林匹克业余学校入学考试的人数为2800人，只录取学生150人，该次考试的平均分为75分，标准差为8，问录取分数应定为多少？解：考试成绩服从正态分布，即X～N(75, 82), 通过Z转换, Z=(X-75)/8, Z~N(0,1)根据题意招生人数的概率为P(ZZ0)=150/2500=0.053, P(0

假设第一次结婚的年龄为正态分布，标准差为4年问：（1）一个人第一次结婚时的年龄小于23岁的概率多大？（2）一个人第一次结婚时的年龄在20到30岁之间的概率多大？（3）90％的人在什么年龄以前第一次结婚？(4)3 准则当X~N(0,1)时有P(|X|1)=2P(00.35, 所以为异常值,应删除本章结束本章结束。