圆台和圆锥线面角的演绎.pdf

2 0 1 4 ~3 月下旬( 高中) ⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯ ⋯⋯ 研 究性 学习 和 中 小 学 教学灌 线面角的演绎 圆锥和圆台在小学 、 初中和高中的数学中都要学 习， 它的不断出现不是知识的简单再现， 而是要求我 们进一步掌握它们的性质和应用， 值得我们深入研 究． 为此 ， 本文对圆台和圆锥的线 、 面、 角、 体积等进行 演绎 ， 与读者共享． 一 、角与角的关 系 定理 1 设圆台的母线与较大底面所成的角为 0 ， 侧面展开图扇环的圆心角为 ， 则 =2 w c o s 0 ( 订是 圆周率 ， 下同) ． 证明 ： 设 圆台上下两底 面半径分别 为 r 和 R ( r< R) ， 母线为 l ， 则 由经过 圆台的轴截 面的等腰梯形 可得 ⋯ =墨 将 尉 土 1 、 补 成厨 彤 ， 议 小 厨 彤 的母 线 为 ， 则 由题 恿 及 由大小扇形 弧长得 2 叮 r · r= · 和 2 w· R = ( +1 ) ， 消去 得 =2 盯· ， ( 2 ) 将 ( 1 )代入( 2 )得 =2 ~ c o s 0 ． 二、 角与面积 的关 系 定理 2 设圆台母线与较大底面所成的角为 0 ， 侧面展开图扇环圆心角为 ， 侧面、 较大底面、 较小底 面 、 和经过圆台的轴截面面积依次为 S 。

， S ， S ， S ， 则 ㈩ ⋯s ； ( 2 ) = ； ㈩ =~ c o t 0 ； c4 ， 妻= ． 证 明： 设 圆台上下底面半径分别为 r Y f 1] R( r

证明： 由条件和定理4 得 ： = = 三 ， √ s 2+ √ s 3 ．3R ． 故圆台体积为 = ( |s ：+ ) 一 ± ± ／ 互 匝 一 3 ( + ) 订 ( 一 √ ) ( + + ．s 3 )／ 一 ( 5 2 — 5 3 ) 3 ( + ／ g) ( j -g一 ／ g ) 耵 一s 一( ．s 2一S 3 ) 一 3 ( ．s 2一s 3 ) 叮 T ‘ 定理6 若圆台的轴截面面积为 5 4 ， 较大底面积 为 s ，较 小 底 面 积 为 S ，则 圆 台 体 积 V = 5 ( s 3一s 3 ) 3 ( S z ． 一S 3 ) ‘ 证明： 由 题 意 和 定 理3 得 墨 二 = 'IT 2 即 S 一( S 2一S 3 ) =1 T S ， 代 入 定 理 s 得 ： 蔫√ ： s ( s 一s 3 — 一‘ 当r=0或 S =0时， 圆台变成了圆锥 ， 故我们立 即得 到如下的推论 ． 推论 1 设圆锥母线与底面所成的角为 0 ， 侧面 展开图扇形圆心角为 ， 则 =2 ~ r c o s 0 ． 推论2 设圆锥的母线与底面所成的角为 0 ， 侧 面展开图扇形的圆心角为 ， 侧 面积 、 底面积和轴截 面 面积依次为 S ， S ， S ， 则 ( 1 ) =c 。

s ； ( 2 S 2 = ； ( 3 ) =丌 c t O ； ( 4 ) S 4= s i n 0． 推论 3 设 圆锥侧 面积 、 底面 积和轴截 面面 积依 次为 S ~ , S 2 , S 4 , 则 ． 推论 4 若圆锥的侧面积为 S ， 底面积为 S ， 母 线为1 ， 高为 h ， 体积为 V ， 则 2 0 14 年 3 月 下 旬 ( 高 中 ) 研 究 性 学 习⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ f 中 小 学 教学 叠 =√ ． 圆 锥 体 积 = ÷ ． ，则圆锥体积 ： ． 则圆 锥体积 ： 耳 ． ⋯ wr l= S ~, ， 巴 j 【z z：， +^ z 竹r~ ／ r =s ’ 坤 一 由 定 理 1 得 2 订 c s = j c s = 寺 = 詈为 解 ：由 题 意 得 = = s j 妻 = 2 j 蚤 = 由推论 2 ( 1 )得 = ： 1 = 解： 由定理 3得 十一 =订 z 等 2 = [ ] 危 = 譬为 所 求 ． 例 4 ( 2 0 0 9年上海高考题)已知圆台上下底半 径分别为 1 0和2 0 ， 圆台侧面展开图是半圆环 ， 则圆台 的侧面积是一 解： 因为 =1 T ， 故由定理2 ( 2 ) 得 ： =6 0 o 订． 例 5 ( 1 ) ( 2 0 1 1年全国高考上海卷理科第7题) 若圆锥的侧面积为 2 “r r ， 底面积为 “t r ， 则圆锥体积 V： ( 2 ) ( 2 0 1 2年全 国高考上海卷理科第8题)若一 个圆锥的侧面展开图是面积为 2 叮 r 的半圆， 则圆锥体 积 V=一 解： ( 1 )因为 S ，：2 1 T ， S ：：1 T ， 由推论 1 得此圆锥 的 体 积 = ÷ = , ／3 - ( 2 ) 设已知展开图半圆半径为 R， 圆锥半径为 r ， 则÷ · 2 盯 = 2 “n-~R = 2 ． 所 以 2 订 r=I · 2 =2 7 r ~r= 1 ， 故S 。

2 丌， S =计 r =订， 由推论5 得圆锥的体积 V ： 1 ／,rr ( 4 ,n “=竹-, r r z )一= 3 盯． 例 6 ( 例5的引申) 若圆台的侧面积为3 叮 r ， 较大 底面积为 2 竹， 较小底面积为 叮 r ， 求圆台的体积 解： 因为S l=3 ， S 2=2 1 T ， S 3=订， 由定理 5得圆 台的体积 = ． = 订． 一 3 “ ‘ 例7 ( 例 5的变式)圆锥的底面积为4 订， 圆锥体 积为 8 丌， 求圆锥的侧面积． 解： V=8 叮 r ， S 2=4 1 r ， 由推 论 5得 8 1 T= 1 · ( 下转第6 2 贺) ．3 9 ． ■I f 中 小 争 数学 解 题 研 究⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ．． 2 0 14 t~-． 3 月 下 旬 ( 高 中 ) 6 =3 0， 矛盾． 故 0 ， 7，孚 不 可 以 同 时 在 M 中 ．全面检测学生的分析推理和综合解题能力， 与高考数 试题 1 0 ． ／7 , 个正数 1 ， 2 ， ⋯， 满足 l 2 ⋯ =1 ， 证明： ( + ) ( + ： ) ⋯( + )≥ ( +1 ) ． 证明 1 ： 由赫尔德不等式， 得( , ／ 5 - + 。

) · ( + ) ⋯ ． ． ( + ) ÷≥( ) ． ( ) ⋯ ． ． ( ) { +．X X2~ ． ． X n) i1： +1， 两边 n次方 ， 即得 ( + ) ( + ： ) ⋯( + ) ≥ ( +1 ) ． 证 明 2 ：由 A ～ G 肘 不 等 式 得 ( 骞 ) ≥ 赢 南) ≥ ’ 两式相加 得 1≥ ， 故 ( + )≥ √ n( + ⋯ V ‘ L ( +1 ) ． 评析： 本题是不等式证明题， 难度相 当于竞赛题 要求． 它的本质是赫 尔德不等式， 也是 多元柯西不等 式的推广． 证 明方法多样 ， 除 了上 述 两种 证明 以外 ， 也 可以利用教材上一 个熟知的不等 式( 1+o ) ( 1+b ) ≥ ( 1十a 6 ) 结合数学归纳法加以证明． 因此 ， 本题实 质上是常见不等式( 1+0 ) ( 1 +b )≥( 1 +n 6 ) 的一 个n 元推广， 能有效检测学生数学证明的基本素养， 为 以后进入高等数学的学习奠定坚实基础． 综观2 0 1 4年的北约自主招生数学试题， 在去年试 题难度有所下降的基础上， 在解题技巧和复杂运算上 又作了进一步降低． 中学数学课程内容以外的知识和 方法更是减少了很多， 所考查的知识点在理性回归高 考． 这样使试题更贴近学生实际， 能公平 、 公正且十分 有效地检测学生的数学素养和能力， 为重点高校选拔 出优秀人才． ( 上接 第 3 9页) ~／ 4 ,rr( S { - 1 6 ,rrz ) s ． ： 4 v／ 而 为 所 求 ． 例 8 圆台的较 大底 面积 为 4 订， 较小 底 面积 为 竹， 侧面积为 9 ， 求圆台的母线和高． 解： 由 题意和 定理4 得z ： — = = = ： = = 二 l_=： “ iT‘4 + √ ‘“ IT 3 ， ： = ； _ ：2 √ ‘4盯+ ~ ／ 订 ‘丌 例9 若圆台的较大底面积为4 ,r r ， 较小底面积为 1 r ， 体积为7 丌， 求圆台的侧面积． 解 ： 由 题 意 及 定 理 5 得 7 订 = 等 · √ ： 3 订 为 觫 例 1 0 若圆锥的轴截面面积为2 “r r ， 底面积为 丽， 则圆锥体积 V=——． 解 ： 由题意和推论6得圆锥体积 ： ： 一62 — 2订、 2 ——广。