安徽省宿州市高三下学期一模数学试题【附参考答案】.pdf

高三下学期高三下学期一模一模数学试题数学试题一、单选题一、单选题1已知集合，则的元素个数为（）A0B1C2D32设复数 z 满足，则 z=（）A-1+iB-1-iC1+iD1-i3“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4我国洛书中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将 1，2，3，9 填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个 3 阶幻方.一般地，将连续的正整数 1，2，3，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作 n 阶幻方.记 n 阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么下列说法错误的是（）AB7 阶幻方第 4 行第 4 列的数字为 25C8 阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为 260D9 阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为 3965函数的图象大致是（）ABCD6设，若，则（）A8B9C10D117已知是双曲线上不同的三点，且，直线 AC，BC 的斜率分别为，（），若的最小值为 1，则双曲线的离心率为（）ABCD28已知，则（）ABCD二、多选题二、多选题9已知平面向量，则下列说法正确的是（）A若，则B若，则C若，则向量在上的投影向量为D若，则向量与的夹角为锐角10已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（）A函数的最小正周期为B函数图象的一条对称轴方程是C函数在区间上单调递增D将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象11已知，且，则下列不等关系成立的是（）ABCD12棱长为 2 的正方体中，E，F，G 分别为棱 AD，的中点，过点 E，F，G 的平面记为平面，则下列说法正确的是（）A平面B平面C平面截正方体外接球所得圆的面积为D正方体的表面上与点 E 的距离为的点形成的曲线的长度为三、填空题三、填空题13一组样本数据：，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数 a 的值为.14若抛物线 C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为.15已知数列的前 n 项和为，且，则数列的前 n 项和.16已知函数（e 为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数 a 的取值范围是.四、解答题四、解答题17在中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且.（1）求角 A 的大小；（2）求的取值范围.18如图，四棱锥中，底面 ABCD，为棱靠近点的三等分点.（1）证明：平面；（2）求与平面所成的角的正弦值.19在数列中，且.（1）令，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）记数列的前 n 项和为，求.20宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG 动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第 5 家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市 n 个大型机房和 6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取 2 个机房，全是小型机房的概率为.（1）求 n 的值；（2）若一次抽取 3 个机房，假设抽取的小型机房的个数为 X，求 X 的分布列和数学期望.21已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，M 为椭圆上异于左右顶点的动点，的周长为.（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过点 M 作圆的两条切线，切点分别为，直线 AB 交椭圆 C 于 P，Q 两点，求的面积的取值范围.22已知函数（e 为自然对数的底数），a，.（1）当时，讨论在上的单调性；（2）当时，若存在，使，求 a 的取值范围.1C2A3A4D5A6D7A8B9A,B10A,B11A,B,C12A,B,D13514（答案不唯一）151617（1）解：由正弦定理可得，即，由余弦定理的变形得，又，所以.（2）解：由得，且，所以，所以，因为，从而，所以，从而.即的取值范围为.18（1）证明：记为棱靠近点的三等分点，连接又为棱靠近点的三等分点.所以，且，又且，所以且，即四边形 ADEF 为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）解：在 BC 上取一点 G，使得，所以，又，知四边形 AGCD 为矩形，从而，又底面 ABCD，所以 AG，AD，AP 两两垂直，以 A 为坐标原点，AG，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，从而，设平面的法向量为，则，即，取，可得，为平面 PBC 的一个法向量，则，设与平面所成的角为，则，即与平面所成的角的正弦值为.19（1）证明：因为，所以，即，又，所以，又，所以，数列为以 1 为首项，4 为公差的等差数列，所以.（2）解：因为，所以，即所以.20（1）解：由题知，共有个机房，抽取 2 个机房有种方法，其中全是小机房有种方法，因此全是小机房的概率为，解得.即 n 的值为 4.（2）解：X 的可能取值为 0，1，2，3.，.则随机变量 X 的分布列为X0123P则 X 的数学期望.21（1）解：设椭圆焦距为 2c，根据椭圆定义可知，的周长为，离心率联立，解得，所以，即椭圆 C 的标准方程.（2）解：设点，又为切点，可知，所以四点共圆，即在以 OM 为直径的圆上，则以 OM 为直径的圆的方程为，又在圆上，两式相减得直线 AB 的方程为，如下图所示：设，由，消去 y 整理后得，所以，又点 O 到直线 PQ 的距离，设的面积为 S，则，其中，令，则，设，则，所以在区间上单调递增，从而得，于是可得，即的面积的取值范围为.22（1）解：当时，的定义域为，当，即时，且不恒为 0，所以在上单调递增；当时，方程有两不等正根，结合定义域由可得，由可得，所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，方程有一负根和一正根，结合定义域由可得，由可得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.综上可知：当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）解：法一：分离变量可得：，令，则，易得当时，且，从而，所以在单调递减，于是.即 a 的取值范围为.法二：当时，令，则，即为，而在上单调递减，所以当时，又，i.当，即时，符合题意；ii.当时，由（1）知在上是增函数，恒有，故不存在，使；iii.当时，由于时，所以，令，则，所以在上是增函数，最大值为，又，所以，此时恒有，因此不存在，使.综上可知，即 a 的取值范围为.。