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蒙提霍尔问题（1）——直觉与计算 精选已有 2931 次阅读 2013-3-11 07:00 |个人分类:科普|系统分类:科普集锦|关键词:概率 智力 贝叶斯 蒙提霍尔问题概率的概念就像信念一样，存在于人们朦胧的直觉中，经过学校教育，表面上以为了解了，常常又与不同角度出发的直觉冲突矛盾，必须经过更深入的考察思索才能够理解 蒙提霍尔问题的热议，便是一个例子还没有一个简单的概率问题，长时间地迷惑着这么多的民众和学者，越是深入思考越发现问题自1990，1991年纷起热议之后到了2000年，有超过75篇关于这个问题的论文发表在40多种学术和公众刊物上两种结论反复交锋，不同观点一直纠缠，英文Wiki被双方不断更新资料的编辑之战折腾着有的错误一直到了现在才发现二十多年过去了，至今还偶尔在论文、书刊和电视上讨论在公众书刊和百科中混杂着许多简单化似是而非的介绍 我不想重述争议的细节和对错的结论，只是通过剖析典型的说法和认知的反复，来促进对概率概念和数学模型的理解 蒙提霍尔问题（Monty Hall problem）【1】是一个概率猜谜游戏1990年9月Craig F. Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题： 在蒙提霍尔游戏节目中，让你在三扇关着的门中选择，知道一扇门后面是跑车，其他俩都是山羊，当然希望选中赢的是跑车。

当你选择后告诉他，比如说1号，主持人知道车在什么地方，他打开另外一扇门，比如说3号，是羊在那儿然后问你，要不要改主意选2号问：改选是不是更有利？ 大多数人认为改不改都一样，因为没打开的两扇门后面，有车子的可能性都是1/2Marilyn vos Savant认为1号门的可能性是1/3，2号现在有2/3她给人们一个直观的想象：假如有辆车在一百万扇门中，你选了1号门，主持人知道车子在哪里，所以打开门时总是避免它，结果他打开了其余，除777777号之外所有的门，这时，你是不是很快改主意，选它了？【说法1】 这个专栏写手Marilyn vos Savant是吉利斯记录中拥有最高智商的女人，IQ 228她在Washington University in St. Louis哲学系上了两年大学后，就退学挣钱，以便有自由来写作 她的答案打击了大多数人们的直觉，当即收到几千封读者的反驳，11月著名问题专栏作家的Cecil Adams也在他“The Straight Dope”专栏里讨论这个问题，持相反看法第二年《纽约时报》在头版登出这个问题，并且访谈了这问题中的节目主持人蒙提霍尔他也不认可vos Savant仍然坚持原来的答案。

她摊上大事了，报社收到了一万多人来信，92%认为她错了，65%来自大学的信，多数是来自数学和科学的院系，都反对她的答案，认为这只是女人的直觉，劝她修了概率课后再谈这问题其中有一千多个署名上有博士学位即使她重申主持人必须打开有羊门的假设，提供了进一步证明后，仍被大多数有学问的人怀疑没有被她说服的名人包括Paul Erdős【2】，他是最多产的数学家，研究的问题包括组合数学、图论、数论、经典分析、逼近理论、集合论和概率论 反对者的直觉是：主持人打开了一扇门，里面是羊，这将三个选择去掉一个，一辆车子和一只羊分别在剩下两扇没打开的门中，它们各有1/2的概率是车 vos Savant反驳说，如果一个UFO在主持人打开门后降临，看到两扇关着的门，外星人会同意这个概率1/2的结论，因为她缺乏这两扇门是怎么被留下来过程的信息 有人用贝叶斯公式推出条件概率：假如A表示车子在1号门的事件，车子可能在任意一扇门后，所以它的概率P(A)=1/3；H表示主持人打开有羊门的事件，三扇门中两扇门后是羊，概率P(H)=2/3；记P(AH)为车子在1号门后而且主持人打开了有羊门的概率；如果车子是在1号门，打开是羊门的条件概率P(H|A)=1，则有P(AH)=P(H|A)P(A)=1/3；那么主持人打开有羊的门后，1号门后面有车子的条件概率P(A|H)= P(AH)/P(H)=（1/3）/（2/3）=1/2，这和大家的直观看法一样，这时没打开的那扇门（2号）有车的概率也就是1/2，所以换不换都一样。

人们推论：主持人打开了有羊门的事件，减少了对1号门是羊的猜测，提高了1号门有车的概率，vos Savant的论断中坚持1号门的概率不变是错误的说法2】 看到不能说服读者，Vos Savant在专栏中画一个表，继续为她概率2/3的结论辩护这里假设：客人先选1号门，主持人在2和3号中打开有羊的门3】这个表包含了所有的可能，不难看出换门赢的机会是不换的两倍说法3】  1号门2号门3号门不换的结果换的结果赛局1车羊羊赢输赛局2羊车羊输赢赛局3羊羊车输赢 维基百科上论证说【1】：“可以用逆向思维的方式来理解这个选择无论参赛者开始的选择如何，在被主持人问到是否更换时都选择更换如果参赛者先选中山羊，换之后百分之百赢；如果参赛者先选中汽车，换之后百分之百输而选中山羊的概率是2/3，选中汽车的概率是1/3所以不管怎样都换，相对最初的赢得汽车仅为1/3的机率来说，转换选择可以增加赢的机会说法4】 这个说法看起来犀利无比，但总是让人不放心，觉得过于简单化，给人感觉像是“两个信封的问题（Two envelopes problem）”【4】里的逻辑 让你选择两个装钱的信封，已经知道一个比另一个多了一倍的钱当你拿了一个还没打开时，有人劝你：另一个可能多一倍，也可能少了一半的钱，两种情况机会均等，平均起来另一个是手里那个1.25倍，所以换了还是合算。

 问题是，你要拿了另一个也可以作同样的推理，这显然是个悖论 这里有两个观点：大多数人认为，打开一扇有羊的门，这事件改变了其他门的概率，现在2号门有车的概率是1/2；vos Savant这边少数人认为，这不改变1号门的概率，所以2号门现在概率是2/3 这两个观点，四种说法，到底哪些错了？为什么？ （待续） 【参考资料】【1】       维基百科，蒙提霍尔问题http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%92%99%E6%8F%90%E9%9C%8D%E7%88%BE%E5%95%8F%E9%A1%8C【2】       Wikipedia，Paul Erdős http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Erd%C5%91s【3】       vos Savant, Marilyn (1991a). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 12 (17 February 1991).        Wikipedia，Two envelopes problem http://en.wikipedia.org/wiki/Two-envelope_paradox蒙提霍尔问题（2）——折服和逆袭 精选已有 179 次阅读 2013-3-14 06:33 |个人分类:科普|系统分类:科普集锦|关键词:智力 贝叶斯 蒙提霍尔问题早在1975年，UC Berkeley生物统计学教授Steve Selvin寄给American Statistician期刊在题为“A Problem in Probability”上就提出了这个蒙提霍尔问题（Monty Hall problem）【1】，他借用美国电视比赛主持人蒙提霍尔的节目《Let’s Make a Deal》说这故事。

在后续的文章中他用条件概率给出一个简单的证明【2】，但这两篇通讯都没有说服反对的学者1987年Nalebuff在“The Journal of Economic Perspectives”难题的栏目，1989年Phillip Martin在“Bridge Today”的文章把这问题也归结为概率的计算1990年Marilyn vos Savant【3】在“Ask Marilyn”专栏将这问题略加规范来讨论，引起了广泛的注意自此以后，有很多的论文以此为题，并在概率和统计课堂和教科书上介绍 Vos Savant在专栏解释之中澄清了一些含糊之处，规定：主持人必须在你选择的门之外，打开一扇有羊的门，然后让你做第二次选择当然，车子的放置和参赛人的选择都是完全随机的大家对这个澄清少有异议，人们关心的是真正有意义的问题，而不是其他无争议的变种 这个vos Savant标准化的问题重述如下 让你在三扇关着门中自由选择，知道一扇后面是车，其他俩都是羊当你选择后告诉他，比如说1号，主持人知道车在什么地方，他必须在你选的门之外打开一扇有羊的门，比如说3号然后问你，要不要改主意选2号问：改选是否对选到车更有利？【问题1】 面对着上万个无法说服的读者，vos Savant在全国学校的数学课里组织一个统计实验，所有学校的实验结果都吻合她的结论，接着有几百个人以不同的方法，用计算机做仿真实验，有97%的结果同意改选是更有利的。

至此，绝大多数人都被说服，同意了她的观点决策研究学者Andrew Vazsonyi报道说：著名的数学家Paul Erdős直到这时才被说服了 Vos Savant大获全胜，对于不符合她结论和实验结果的论断，都归结为不符合她标准问题的变种那是另外一个问题的答案但是对于喜欢思考的人，这还不够我们要明白，反对的说法错在什么地方？结论对的，论证的逻辑也对吗？先看反对1号门概率不变，基于贝叶斯公式的推导 【说法2】 假如事件A表示车子在1号门，车子可能在任意一扇门后，所以它的概率P(A)=1/3;H表示主持人打开有山羊的门的事件，三扇门中两扇门后有山羊，概率P(H)=2/3；P(AH)是车子在1号门后而且主持人打开了有羊的门的概率；已知车子在1号门打开有羊门的条件概率P(H|A)=1，不难看出P(AH)=P(H|A)P(A)=1/3；那么主持人打开有羊的门后，1号门后面有车子是条件概率P(A|H)=P(AH)/P(H)=(1/3)/(2/3)=1/2，这和大家的直观一样，那没打开的那扇门（2号）有车的概率也是1/2，所以换不换都一样 这说法错误在于，式子P(H)=2/3是主持人随机打开2号或3号门的概率。

这就不能保证打开的门后面总是羊这不符合标准问题的题意按规定主持人必须打开有羊的门，这时应该是P(H)=1，条件概率P(A|H)=P(AH)/P(H)=1/3，也就是说，在这规定下1号门的概率不变，那剩下那个门有车的概率就是 1 - 1/3 = 2/3 这证实了vos Savant的说法反过来，如果主持人不是有意打开有羊的门，而是随意打开一扇，这个场景碰巧里面是羊，那大家的直觉对，vos Savant就错了但这不符合标准问题的规定，是变种的问题了 我们现在来看维基百科上的逆向思维解释【4】： 【说法4】无论参赛者开始的选择如何，在被主持人问到是否更换时都选择更换如果参赛者先选中山羊，换之后百分之百赢；如果参赛者先选中汽车，换之后百分之百输而选中山羊的概率是2/3，选中汽车的概率是1/3所以不管怎样都换，相对最初的赢得汽车仅为1/3的机率来说，转换选择可以增加赢的机会 这结论符合实验和vos Savant的结果，但这推断中没有包含主持人是怎样的选择从【说法2】分析中知道，主持人是有意还是随意打开恰巧是有羊门的情况，这两者的结论是不同的所以这个说法是糊里糊涂地蒙事了。