教材中三个方向小波的定义.doc

《小波分析及其应用》（孙延奎， 2005）第 5 章可分离二维小波变换算法实现的问题与讨论孙延奎摘要 ：总结分析可分离二维小波变换算法实现的细节，澄清一些概念与问题，纠正例5-2 中“转置”的错误，回答读者的问题教材中三个方向小波的定义：1 ( x, y)( x)( y)2 ( x, y)( x) ( y)3 ( x, y)( x)( y)g j ( x, y)j,11j ,22j ,33（ 5.5）dk,mj ,k ,mdk ,mj ,k, mdk,mj , k,mk ,mk, mk,m经简单计算可得，ckj,m1f ,dkj,,1mf ,dkj,m,2f ,dkj,m,3f ,j 1,k ,m1j ,k ,m2j ,k ,m3j ,k ,m我们称序列 c j , d j ,1,d j ,2 , d j ,3 为 c j 1 的（一级）二维小波变换下面讨论二维小波变换的快速算法设一维多分辨分析 Vj 的两尺度方程和小波方程为：t2hk2tkkt2gk2tkkhk 为实滤波器， gk1k其中，h1 k 则类似一维正交多分辨分析的推导，由fj 1( x, y)c j 1j 1,k, md j ,11d j ,22d j ,33k,mk,mj ,k ,mk ,mj ,k, mk,mj , k,mk ,mk ,mk, mk,mjf ,fx, y*x, y dxdyck ,mj ,k ,mRj ,k, mRRfx, y 2j* (2 jxk)* (2 jym)dxdyRRfx, y 2j2h* * (2 j 1 x2kl )2h**(2 j 1 y2mn)dxdyRllnnhl* hn*R2 j1fx, y* (2 j 1 x2kl )* (2 j 1 y2mn)dxdyl ,nRhl* hn* c2j k1l ,2m nh*hn* 2mcl j,n1h2k*l h2m*n cl ,nj1l ,nl ,nl2kl ,nj ,111*f ,fx, ydxdydk ,mj ,k,mRj ,k ,m x, yRRfx, y 2 j* (2 jxk)* (2 jym) dxdyRRfx, y 2 j2hl* * (2 j 1 x2kl )2gn** (2 j 1 y2mn)dxdyRlnhl* gn*R2j1fx, y* (2 j 1 x2kl )* (2 j 1 y2mn)dxdyl ,nRl ,nhl* gn*c2jk1 l ,2 m nl ,nhl*2k gn*2 mclj,n1l ,nh2*k l g2* m ncl ,nj1得二维 Mallat算法如下（假设 h 是实滤波器） ：ckj,mhl 2 k hn 2 m cl j,n 1h2 k l h2 m n cl ,nj1l ,nl ,ndkj,,1mhl 2 k gn 2 mcl j,n 1h2k l g2m n cl j,n 1l , nl ,ndkj,,2mgl 2k hn 2 mcl j,n 1g2k l h2m n clj,n 1l , nl ,n（5.6）dkj,,3mgl 2 k gn 2 mcl j,n 1g2k l g2m n cl j,n 1l , nl ,n重构算法：ckj, m1hk 2l hm 2 ncl ,njhk 2l gm 2 ndl ,jn,1gk 2l hm 2n dl j,n,2gk 2l gm 2n dl ,nj,3 （ 5.7）l ,nl , nl ,nl ,n评注：1） 在关履泰 编著“小波方法与应用”中，空间分解表示与我教材中是一致的，但二维可分离小波1 与2 的意思正好与我的相反。

其j 与j 对应我教材中的d j ,2 和 d j ,1 经理论分析及试验验证， Matlab 中的用法与关履泰书中的一致2） 在 Mallat编著“信号处理的小波导引”中，空间分解表示及二维可分离小波1 ，2 ，2 ， d j ,1， d j,2 等都与教材中的一致只是最后对变换的结果的表示略有不同：教材中采用的方法是：c j d j ,1d j ,2 d j ,3而 Mallat 著作中，最后的表示为c j dd j ,1 dj ,2 j,3如对下面一幅图像，图 1教材中的表示如下右图所示，其中左上角表示低频系数，左下表示垂直边缘；右上角表示水平边缘；右下角表示对角边缘图 2而在 Mallat 的著作“信号处理的小波导引”中（图 7－ 26）中，各个分辨率下的图像中水平边缘与竖直边缘的位置正好相反其中， 左上角表示低频系数，左下表示水平细节系数 （水平边缘）；右上角表示垂直细节系数；右下角表示对角细节系数可分离双正交基 ：可将一维双正交小波基推广到 L2 (R2 )的可分离正交小波基 令 , 和 , 是生成 L2 (R) 的双正交小波基的两对对偶的尺度函数与小波则1 ( x, y)2 ( x, y)3 (x, y)(x) ( y)(x) ( y)(x) ( y)所定义的 1 ， 2 ， 3 的对偶小波是：1 ( x, y)2 (x, y)3 (x, y)( x) ( y)(x) ( y)(x) ( y)可以证明：1233 和12322) 的双正交 Riesz 基。

j , n ,j ,n ,j , nj ,n Zj , n ,j, n ,j , nj ,n Z3是L(R二维可分离小波的频率特性分析：二维可分离小波1 ，2 ，3 在不同的尺度和方向上提取图像细节即用1 和2 计算出的小波系数分别在水平和垂直边缘上取得大的值分别提取图像的水平与垂直特征小波3在角点上产生大的系数，提取对角边缘具体的，1 ： 垂直高频，提取水平边缘2 ： 水平高频，提取垂直边缘在正频率上，?和 ? 的能量分别集中在0,和,2上由可分离小波1 ，2 ，3的表达式可推出：?1x , y?x? y , ?2x , y?x?y , ?3x , y? x?y因此，在低的水平频率x 处和高的垂直频率y 处 ?1x , y大；在高的水平频率x 处和低的垂直频率y 处 ?2x , y大 ； 而 在 高 的 水 平 频 率 x 和 垂 直 频 率y 处?3 x , y 大可显示出正交小波对应的可分离小波的傅立叶变换图在王大凯，彭进业编著的“小波分析及其在信号处理中的应用” 中，塔式分解写法中低频子带与三个高频子带的位置正好反映它们对频域的内在划分， 注意，该书中 1， 2 ， 3 的定义与教材相同。

即??2c jd?1?3d j,1d。