2023年数学分析知识点总结.doc

第一章实数集与函数§1实数授课章节：第一章实数集与函数——§1实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并纯熟运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并纯熟运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引 言上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、重要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的重要内容．一方面，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一、实数及其性质1、实数．[问题]有理数与无理数的表达不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（涉及整数）也表达为“无限小数”．为此作如下规定：对于正有限小数其中，记；对于正整数则记；对于负有限小数（涉及负整数），则先将表达为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0表达为0＝例： ；运用上述规定，任何实数都可用一个拟定的无限小数来表达．在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1）定义1给定两个非负实数，. 其中为非负整数，为整数，．若有，则称与相等，记为；若或存在非负整数，使得，而，则称大于或小于，分别记为或．对于负实数、，若按上述规定分别有或，则分别称为与（或）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义2（局限性近似与过剩近似）：为非负实数，称有理数为实数的位局限性近似；称为实数的位过剩近似，.对于负实数，其位局限性近似；位过剩近似.注：实数的局限性近似当增大时不减，即有； 过剩近似当n增大时不增，即有．命题：记，为两个实数，则的等价条件是：存在非负整数n，使（其中为的位局限性近似，为的位过剩近似）．命题应用例1．设为实数，，证明存在有理数，满足．证明：由，知：存在非负整数n，使得．令，则r为有理数，且．即．3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．）．1）封闭性（实数集对）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．2）有序性：，关系，三者必居其一，也只居其一.3）传递性：，．4）阿基米德性：使得．5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．6）一一相应关系：实数集与数轴上的点有着一一相应关系．例2．设，证明：若对任何正数，有，则．（提醒：反证法．运用“有序性”，取）二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数的绝对值的定义为．2、几何意义从数轴看，数的绝对值就是点到原点的距离．表达就是数轴上点与之间的距离．3、性质1）（非负性）； 2）；3），；4）对任何有（三角不等式）；5）； 6）（）．三、几个重要不等式1、 2、均值不等式:对记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值)有平均值不等式:即：等号当且仅当时成立.3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)有不等式当且,且时,有严格不等式证：由且 4、运用二项展开式得到的不等式:对由二项展开式 有 上式右端任何一项.［练习］P4．5［课堂小结］：实数：.[作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§2数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清楚概念.教学规定：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中对的地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检查学习效果，此后导入新课.引 言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检查一下自学的效果如何！1、证明：对任何有：(1)；(2) .（）（）2、证明：.3、设，证明：若对任何正数有，则.4、设，证明：存在有理数满足.[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思绪之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽也许多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节重要内容：1、先定义实数集R中的两类重要的数集——区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一 、区间与邻域1、 区间（用来表达变量的变化范围）设且.，其中 2、邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（1）的邻域：设，满足不等式的全体实数的集合称为点的邻域，记作，或简记为，即. 其中（2）点的空心邻域.（3）的右邻域和点的空心右邻域（4）点的左邻域和点的空心左邻域（5）邻域，邻域，邻域（其中M为充足大的正数）；二 、有界集与无界集1、 定义1（上、下界）：设为中的一个数集.若存在数，使得一切都有，则称S为有上（下）界的数集.数称为S的上界（下界）；若数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集.闭区间、开区间为有限数）、邻域等都是有界数集， 集合 也是有界数集.若数集S不是有界集，则称S为无界集.等都是无界数集, 集合 也是无界数集.注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S的关系如何？看下例：例1 讨论数集的有界性.解：任取，显然有，所以有下界1；但无上界.由于假设有上界M,则M>0，按定义，对任意，都有，这是不也许的，如取则，且.综上所述知：是有下界无上界的数集，因而是无界集.例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.[问题]：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一　，有无穷多个).三 、确界与确界原理1、定义定义2（上确界）　设S是R中的一个数集，若数满足：(1) 对一切有（即是S的上界）; (2) 对任何，存在，使得（即是S的上界中最小的一个），则称数为数集S的上确界，记作从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命题1 充要条件1）；2）.证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则，与是上界中最小的一个矛盾.充足性（用反证法），设不是的上确界，即是上界，但.令，由2），，使得，与是的上界矛盾.定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数满足：（1）对一切有（即是S的下界）；（2）对任何，存在，使得（即是S的下界中最大的一个），则称数为数集S的下确界，记作.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.命题2 的充要条件：1）；2）＞0，＜ 上确界与下确界统称为确界.例3（1）则 1 ； 0 .（2）则 1 ； 0 .注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题3：设数集有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.证明：设，且，则不妨设有对，使，矛盾.例： ， ，则有.开区间与闭区间有相同的上确界与下确界例4设和是非空数集，且有则有.例5设和是非空数集.若对和都有则有证明：是的上界,是的下界,例6和为非空数集,试证明:证明：有或由和分别是和的下界,有或即是数集的下界,又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有于是有.综上,有.1. 数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做解释.2. 确界与最值的关系:设 为数集.（1）的最值必属于,但确界未必,确界是一种临界点.（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.（3）若存在,必有对下确界有类似的结论.4. 确界原理:Th1.1(确界原理).设非空的数集.若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界.这里我们给一个可以接受的说明 非空，，我们可以找到一个整数，使得不是上界，而是的上界.然后我们遍查和，我们可以找到一个，，使得不是上界，是上界，假如再找第二位小数，如此下去，最后得到，它是一个实数，即为的上确界.证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设中的元素都为非负数，则存在非负整数，使得1），有；2）存在，有；把区间10等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在，使得1），有；；2）存在，使得．再对开区间10等分，同理存在，使得1）对任何，有；2）存在，使继续反复此环节，知对任何，存在使得1）对任何，；2）存在，．因此得到．以下证明．（ⅰ）对任意，；（ⅱ）对任何，存在使．［作业］：P9 1（1），（2）；　2； 4（2）、（4）；７§3函数概念授课章节：第一章实数集与函数——§3 函数概念教学目的：使学生深刻理解函数概念.教学规定：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表达法；（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.教学程序：引 言关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于此后的学习，本节将对此作进一步讨论.一、函数的定义１．定义１ 设，假如存在相应法则，使对，存在唯一的一个数与之相应，则称是定义在数集上的函数，记作 .数集称为函数的定义域，所相应的，称为在点的函数值，记为.全体函数值的集合称为函数的值域，记作.即.２．几点说明（1）函数定义的记号中“”表达按法则建立到的函数关系，表达这两个数集中元素之间的相应关系，也记作.习惯上称自变量，为因变量.（2） 函数有三个要素，即定义域、相应法则和值域.当相应法则和定义域拟定后，值域便自然拟定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和相应法则.所以函数也常表达为：.由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和相应法则.例如：1） （不相同，相应法则相同，定义域不同）2） （相同，只是相应法则的表达形式不同）.（3）函数用公式法（解析法）表达时，函数的定义域常取使该运算式子故意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用相应法则来表达一个函数.即“函数”或“函数”.（4）“映射”的观点来看，函数本质上是映射，对于，称为映射。