2010年考研数学三真题及解析.pdf

1 2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、选择题：1～ 8小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的， 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 若 0 11 lim[()]1 x x a e xx ，则a等于 （Ａ）０（Ｂ）１（Ｃ）２（Ｄ）３ (2)设 1 y, 2 y是一阶线性非齐次微分方程yp x yq x的两个特解 . 若常数, 使 12 yy是该 方程的解 , 12 yy是对应的齐次方程的解, 则 （ A） 11 , 22 (B) 11 , 22 (C) 21 , 33 (D) 22 , 33 （ 3）设函数( ),( )f xg x具有二阶导数，且( )0gx若 0 ()g xa是( )g x的极值，则fg x在 0 x取极大 值的一个充分条件是 (A)0fa (B)0fa (C) 0fa (D) 0fa （ 4）设 10 10 ln,, x fxxg xxh xe，则当x充分大时有 (A)g xh xfx. (B) h xg xfx. (C)fxg xh x. (D)g xfxh x. (5) 设向量组 12 :,,, r I可由向量组 12 II :,,, s线性表示 , 则列命题正确的是 (A) 若向量组I线性无关 , 则rs(B) 若向量组I线性相关 , 则rs (C) 若向量组II线性无关 , 则rs(D) 若向量组II线性相关 , 则rs (6)设A为 4 阶对称矩阵 ,且 2 0AA若A的秩为 3,则A相似于 (A) 1 1 1 0 (B) 1 1 1 0 (C) 1 1 1 0 (D) 1 1 1 0 (7) 设随机变量X的分布函数 0,0 1 ( ),01 2 1,1 x x F xx ex ，则1P X (A) 0 (B) 1 (C) 11 2 e(D) 1 1e 2 (8) 设 1( ) fx为标准正态分布的概率密度 2( ) fx为[ 1,3]上均匀分布的概率密度, 1 2 ( ),0 ( )(0,0) ( ),0 afxx f xab bfxx 为概率密度 ,则,a b应满足 (A)2 34ab (B) 324ab (C) 1ab (D) 2ab 二、填空题 (9-14 小题 , 每小题 4 分, 共 24 分 , 请将答案写在答题纸指定位置上.) （ 9）设可导函数yy x由方程 2 2 00 sin xyx t edtxt dt确定，则 0 ______ x dy dx （ 10）设位于曲线 2 1 () (1 ln) yex xx 下方 , x轴上方的无界区域为G, 则G绕x轴旋转一周所得 空间区域的体积为_________。

（ 11）设某商品的收益函数为R p，收益弹性为 3 1p, 其中p为价格 , 且11R, 则_______R p （ 12）若曲线 32 1yxa xbx有拐点1, 0, 则________b (13) 设,A B为 3阶矩阵 , 且, , ||,ABAB 1 322则||_______ .AB 1 （ 14 ） 设 12 ,,, n XXX是 来 自 总 体 2 ( ,)(0)N的 简 单 随 机 样 本 记 统 计 量 2 1 1 n i i TX n ， 则 ()_ _ _ _ __ _E T 三、解答题 (15－23 小题 ,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 .) （ 15）(本题满分10 分 ) 求极限 11 ln lim (1) xx x x （ 16）(本题满分10 分 ) 计算二重积分 3 () D xydxdy,其中D由曲线 2 1xy与直线 20 xy及20 xy围成 . （ 17）(本题满分10 分 ) 求函数2uxyyz在约束条件 222 10 xyz下的最大值和最小值. (18) (本题满分 10 分) (1)比较 1 0 ln [ln(1)] n ttdt与 1 0 ln(1,2,) n tt dt n的大小 ,说明理由。

(2)记 1 0 ln [ln(1)],(1,2,) n n uttdt n求极限lim n n u （ 19）(本题满分10 分 ) 设函数fx在闭区间0, 3上连续 , 在开区间0, 3内存在二阶导数, 且 2 0 2 (0)( )(2)(3)ff x dxff 3 (I) 证明存在0, 2, 使得( )0ff； (II) 证明存在0, 3, 使得( )0f (20) (本题满分 11 分) 设 11 010 11 A ，1 1 a b 已知线性方程组AXb存在两个不同的解. (1) 求,a； (2) 求方程组AXb的通解 . (21) (本题满分 11 分) 设 014 13 40 Aa a ,正交矩阵Q使得 T Q AQ为对角矩阵 .若Q的第一列为 1 (1,2,1) 6 T ,求,a Q. (22)(本题满分11 分 ) 设二维随机变量(,)X Y的概率密度为 22 22 ( , ) xxyy f x yAe，x，y求常数A以 及条件概率密度 | | Y X fy x (23) (本题满分 11 分) 箱中装有 6个球 , 其中红、白、黑球个数分别为1, 2, 3 个, 现从箱中随机地取出2个球 , 记X为取出红球的个 数 ,Y为取出白球的个数. (I) 求随机变量,X Y的概率分布； (II) 求,Cov X Y. 2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析 一、选择题：1～ 8小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的， 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 【分析】 通分直接计算等式左边的极限，进而解出a. 【详解】 由于 000 1111 lim[()]limlim() xxx xx xxx eaxee a eae xxxx 00 1 limlim1 x x xx e aea x 从而由题设可得11a，即2a，故应选（ C） (2)【分析】 此题主要考查线性微分方程解的性质和结构 【详解】 因为 1 y, 2 y是一阶线性非齐次微分方程yp x yq x的两个特解，所以 4 1122 yp x yyp x yq x---------------------------（1） 由于 12 yy是该方程的解,则 1212 ()()yyp xyyq x即 1122 ()()yp x yyp x yq x 将（ 1）代入上式可得：1——————————————（2） 由于 12 yy是对应的齐次方程的解 则 1212 ()()0yyp xyy，即 1122 ()()0yp x yyp x y 将（ 1）代入上式可得：0——————————————（3） 由（ 2） 、 （ 3）可得 1 2 。

故应选（ A） 评注：设 12 ,,, s yyy是一阶线性非齐次微分方程yp x yq x的解，则对于常数 12 ,,, s k kk，有下列 结论： ⑴ 若 12 1 s kkk，则 1122ss k yk yk y是方程yp x yq x的解； ⑵若 12 0 s kkk，则 1122ss k yk yk y是方程0yp x y的解 （ 3）【分析】 本题主要考查导数的应用.求f g x的一、二阶导数，利用取得极值的必要条件及充分条件 【详解】 令 ( )F xfg x，则 ( )Fxfg xfg xgx, 2 ( ) { [] }[]Fxfg xfg xgxfg xgxfg xgx由 0 g xa是( )g x的极值知 0 0 gx于是有 0 ()0Fx， 00 ()( )()Fxfa gx 由于( )0gx, 要使 00 ()0Fxfg x, 只要0fa. 因此应选 (B) （ 4）.【分析】 计算两两比的极限便可得到答案 【详解】 因为 1098 ( )lnlnln limlim10 lim10 9 lim ( ) xxxx f xxxx g xxxx ln 10! lim x x x 1 10! lim0 x x , 5 1010 ( )1 limlimlim0 ( ) 1 10 xx xxx g xx h x ee , 由此可知当x充分大时 ,( )( )( )f xg xh x，故应选（ C）。

(5) 【分析】 本题考查向量组的线性相关性 【详解】 因向量组I能由向量组II线性表示，所以IIIrr（ ） （），即 1212 (,,,(,,,), rs rrs） 若向量组I线性无关，则 12 (,,,) r rr，所以rs. 故应选 (A). 评注：“若 12 ,,, r 线性无关且 12 ,,, r 可由 12 ,,, s线性表示，则 rs”这是线性代数中 的一个重要定理，对定理熟悉的考生可直接得正确答案. (6) 【分析】 考查矩阵特征值、特征值的性质及实对称矩阵的性质 【 详 解 】 由 于 2 0AA， 所 以()0A AE， 由 于A的 秩 为3 ， 所 以AE不 可 逆 ， 从 而 0,0AAE，所以 12 0,1是矩阵A的特征值 假设是矩阵A的特征值，则 2 0，则只能是0或1 由于A是实对称矩阵，且A的秩为 3，所以其全部特征值为1, 1, 1,0，因此应选（D） (7) 【分析】 考查如何利用分布函数计算随机变量取值的概率 【详解】 由分布函数的性质可知： 1 1 1 111(1)lim( ) 2 x P XP XPXFF xe 故应选（ C） (8) 【分析】 考查概率密度的性质①( )0f x，②( )1f x dx 【详解】 由已知可得： 2 1 2 1 1 ( ) 2 x fxe， 2 1 , 13 ( ) 4 0, x fx 其他 由概率密度的性质可知：( )1f x dx 所以 03 121 00 1113 1( )( )( ) 2424 afx dxbfx dxafx dxbdxab 因此应选（Ａ） 二、填空题 (9-14 小题 , 每小题 4 分, 共 24 分 , 请将答案写在答题纸指定位置上.) （ 9） 【分析】 先由方程求出0 x时0y，再两边对x求导或两边微分。

【详解】 法一：由 2 2 00 sin xyx t edtxt dt，令 0 x得0y 等式两端对x求导得 2 ()22 0 ( 1)(si n)s i n x xy dy et dtxx dx 6 将0 x，0y代入上式得： 0 1 x dy dx 法二：由 2 2 00 sin xyx t edtxt dt，令 0 x得0y 等式两端对x微分得 2 ()22 0 ()(sin)sin x xy edxdyt dt dxxx dx 将0 x，0y代入上式得： 0 ()0 x dxdy，从而 0 1 x dy dx （ 10） 【分析】 利用旋转体的体积公式即得计算时须注意这是一个反常积分 【详解】 2 2 2 1 ( )lim[tan(ln )] (1 ln)44 eex Vyx dxdxarcx xx （ 11） 【分析】 此题考查弹性的定义及可分离变量微分方程的解法，利用弹性的定义列方程，然后解此微分方程 【详解】 由弹性的定义知，收益弹性为 p dR R dp ，由题设可得 3 1 p dR p R dp ，且11R 分离变量可得 21 () dR pdp Rp ，两端积分得 31 l nl nl n 3 RppC 从而方程通解为： 3 3 p RCpe 由11R可得 1 3 Ce。

从而方程的特解为 3 1 3 p Rpe 由此可得收益函数为 3 1 3 ( ) p R ppe （ 12） 【分析】 利用1, 0是曲线拐点的条件列方程解出b. 【详解】 32 1yxa xbx在整个实数区间上可导, 且 2 32yxa x。