九年级数学上册第二十一章一元二次方程212解一元二次方程2121第2课时配方法教学课件新版新人教版.ppt

21.2.1 配方法第二十一章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 配方法学习目标1.理解配方法的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点）3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）导入新课导入新课复习引入(1) 9x2=1 ；；(2) (x-2)2=2.1.用直接开平方法解下列方程.2.你还记得完全平方公式吗？填一填：(1) a2+2ab+b2=( )2；；(2) a2-2ab+b2=( )2.a+ba-b解：解：3. 3.下列方程能用直接开平方法来解吗下列方程能用直接开平方法来解吗? ?(1) x2+6x+9 =5；；(2)x2+4x+1=0.转化成(x+2)2=9的形式，再利用开平方讲授新课讲授新课用配方法解方程一探究交流解：方程变形为(x+3)2=5，，试一试试一试 解方程：解方程： x2+6x+9 =5.开平方，得解得将方程左边因式分解，配成完全平方式用开平方法解方程如何配方呢？ 填上适当的数或式，使下列各等式成立.（（1））x2+4x+ = ( x + )2（（2））x2-6x+ = ( x- )2（（3））x2+8x+ = ( x+ )2（（4）） x2- x+ = ( x- )2你发现了什么规律？222323424填一填填一填 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结填一填：x2+px+( )2=(x+ )2配方的方法想一想 怎样解方程: x2+4x+1=0 (1)问题1 方程(1)怎样变成(x+n)2=p的形式呢？解： x2+4x+1=0 x2+4x=-1移项 x2+4x+4=-1+4两边都加上4为什么在方程x2+4x=-1的两边加上4？加其他的数，行吗？ ( x+2)2=3左边写成完全平方形式要点归纳 像上面这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定义配方法解方程的基本思路 把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．例1 解下列方程：分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法.(2)先移项，将方程化为一般式，再将二次项系数化为1，然后用配方法解方程.(3)与(2)类似，将二次项系数化为1后再配方.典例精析解：移项，得x2－8x=－1，配方，得x2－8x+42=－1+42，( x－4)2=15由此可得即配方，得由此可得二次项系数化为1，得解：移项，得 2x2－3x=－1，即移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．解：移项，得二次项系数化为1，得为什么方程两边都加12？即即练一练 解下列方程：(1)x2+8x+4=0；；(2)4x2+8x=-4；；(3)-2x2+6x-8=0.解：移项，得x2+8x=－4.配方，得(x+4)2=12.开平方，得解得解：整理得x2+2x+1=0.配方，得(x+1)2=0.开平方，得x+1=0.解得x1=x2=－1.解：整理得x2－3x=－4.配方，得所以原方程无实数根.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.①①当当p>0时，则时，则 ，，方程的两个根为方程的两个根为②②当当p=0时，则时，则(x+n)2=0，，开平方得方程有两个相开平方得方程有两个相等的实数根等的实数根 x1=x2=-n.③③当当p<0时，则方程时，则方程(x+n)2=p无实数根无实数根.方法总结思考思考1：：用配方法解一元二次方程时，移项时要用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？注意些什么？思考思考2：：用配方法解一元二次方程的一般步骤用配方法解一元二次方程的一般步骤.移项时需注意改变符号移项时需注意改变符号.①①移项，二次项系数化为移项，二次项系数化为1；；②②左边配成完全平方式；左边配成完全平方式；③③左边写成完全平方形式；左边写成完全平方形式；④④降次；降次；⑤⑤解一次方程解一次方程.例2 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－－4k＋＋5 的值必定大于零.解：k2－－4k＋＋5=k2－－4k＋＋4＋＋1=(k－－2)2＋＋1因为(k－－2)2≥0，，所以(k－－2)2＋＋1≥1.所以k2－－4k＋＋5的值必定大于零.配方法的应用二典例精析应用配方法求最值.(1) 2x2 - - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 6x -7的最大值.练一练解：原式 = 2(x - - 1)2 +3 当x =1时，有最小值3.解：原式= - -3(x - - 1)2 - - 4 当x =1时，有最大值-4. 含有二项式的代数式求最值或证明恒为正(负)等问题，都要想到运用配方法，将含字母部分配成a(x+m)2+n的形式来解决.归纳例3 若a，b，c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状.解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ABC为直角三角形. 归纳总结配方法的应用 类别类别 解题策略解题策略2.求最值或求最值或证明代数式证明代数式的值恒为正的值恒为正（或负）（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋＋n的形式后，(x+m)2≥0，，n为常数，为常数，当当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.1.完全平方完全平方式中的配方式中的配方如：已知x2－2mx＋＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，，m=±4.3.利用配方利用配方构成非负数构成非负数和的形式和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋＋b2－4b＋＋4=0，，则a2＋＋(b－2)2=0，，即a=0，，b=2.1.解下列方程：（（1））x2+4x-9=2x-11；（；（2））x(x+4)=8x+12；；（（3））4x2-6x-3=0；； （（4）） 3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，，(x+1)2=-1.此方程无解；解：x2-4x-12=0，，(x-2)2=16.x1=6，，x2=-2；；解：x2+2x-3=0，，(x+1)2=4.x1=-3，，x2=1.当堂练习当堂练习2.已知代数式x2+1的值与代数式2x+4的值相等，求x的值.解：根据题意得x2+1=2x+4整理得x2－2x－3=0，配方得(x－1)2=4，解得x1=－1，x2=3.3.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.解：－x2－x－1=－(x2+x+ )+ －1所以－x2－x－1的值总是负数.当 时，－x2－x－1有最大值4.若 ，求(xy)z 的值.解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 5.已知a，b，c为△ABC的三边长，且a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断△ABC的形状.解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ABC为等边三角形. 课堂小结课堂小结配方法定义通过配成完全平方形式解一 元 二 次 方 程 的 方 法.步骤一移常数项；二配方[配上 ]；三写成（（x+n)2=p (p ≥0);四直接开平方法解方程.特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.应用求代数式的最值或证明。