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含绝对值的不等式解法(总结归纳).doc

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文档编号：488170562

上传时间：2023-08-01

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含绝对值的不等式解法、一元二次不等式解法　　[教材分析] |x|的几何意义是实数x在数轴上对应的点离开原点O的距离，所以|x|0)的解集是{x|-aa (a>0)的解集是{x|x>a或x<-a}把不等式|x|a (a>0)中的x替换成ax+b，就可以得到|ax+b|c (c>0)型的不等式的解法　　一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0)图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c>0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c<0的解而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集　　求解以上两种不等式的方法，就是将不等式转化为熟悉，可解的不等式，因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法　　x2+3x-4<0 (x+4)(x-1)<0 或或 -4

　　x2+3x-4<0 (x+)2< |x+|< -0)型∴ -40时，-x>, 　　当a=0时，不等式化为2<4，显然x∈R 　　故a>0时不等式解集是{x|-

　　[分析与解答] 设y=x2+(2-a)x-2a，其表示的抛物线开口向上，Δ=(2-a)2-4(-2a)=(2+a)2≥0,抛物线与x轴相交或相切，方程x2+(2-a)x-2a=0的两个根是-2或a下面只需确定两个根的大小关系，就可以写出不等式的解集　　x2+(2-a)x-2a<0　 (x+2)(x-a)<0 　　当a>-2时，原不等式解集是{x|-20的解是-30的解集是-3

　　另法：∵ a<0，将所求不等式两边同除以a得x2+(1+)x+6(-1)>0, 　　将=-3，=2，代入得-3x2+3x+6>0，即x2-x-2<0, 　　以下同上面解法　　在本题条件下，要求解每一个字母a,b,c的值是不正确的由于满足条件的二次函数只要开口向下，与x轴交于点(-3,0)和(1,0)即可，而这样的二次函数有无穷多个，故a,b,c无唯一解　　例5．解关于x的不等式ax2-(a-8)x+1>0，其中a∈R 　　[分析与解答] a的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，a的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x轴的位置关系因此求解中，必须对实数a的取值分类讨论　　当a=0时，不等式化为8x+1>0不等式的解为{x|x>-,x∈R} 　　当a≠0时，由Δ=(a-8)2-4a=a2-20a+64=(a-4)(a-16) 　　(1)若016时，Δ>0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上，方程ax2-(a-8)x+1=0两根为　　，　　不等式的解为{x|x<或x>} 　　(2)若4

　　(3) 若a=4时，Δ=0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相切，方程ax2-(a-8)x+1=0有重根x=-不等式的解为{x|x≠-,x∈R} 　　(4) 若a=16时，Δ=0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相切，方程ax2-(a-8)x+1=0的重根为x=不等式的解为{x|x≠,x∈R 　　(5) 若a<0, Δ>0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向下，此时方程ax2-(a-8)x+1=0的两根大小关系是<, 不等式的解集是： {x|β，其中α<β<0，求不等式cx2-bx+a>0的解　　4．不等式x2-ax-6a>0的解为x<α或x>β，且β-α≤5(α≠β),求实数a的取值范围　　[参考答案]：　　1．解：由|ax+1|≤b,　∴ -b≤ax+1≤b，∴ -b-1≤ax≤b-1当a>0时，≤x≤ 　　∴ , 不满足a>0,舍去当a<0时，≥x≥。

　　∴ 　当a=0时，不合题意，所以a=-2，b=2 　　2．解由1<|x-2|≤7,∴10的解为x<α或x>β，∴α+β=-, α·β= 　　将cx2-bx+a>0两边同除以a(a<0)，∴ x2-x+1<0, ∴ αβx2+(α+β)x+1<0, 　　∵ αβ>0，∴ x2+()x+<0，∴ (x+)(x+)<0, 　　∵ α<β<0, ∴ ，即<, ∴->-，不等式解为-α）　　∴ β-α=，∴ a2+24a≤25,　　　 -25≤a<24或0

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