北京市通州区2022-2023学年高一年级下册期末质量检测数学（ 含解析）.pdf

通州区20222023学年高一年级第二学期期末质量检测数学试卷本试卷共4 页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合愿目要求的一项.1 .已 知 尸 是 复 平 面 内 表 示 复 数 的 点，若 复 数 是虚数，则点）A.在虚轴上 B.不在虚轴上 C.在实轴上 D.不在实轴上【答案】D【解析】【分析】根据复数的分类和其几何意义即可得到答案.【详解】由题意得b H O,则点P不在实轴上，则C错误，D正确，若工0,人工0,则A错误，若a =（）,0H（）,则其在虚轴上，则B错误，故选：D.2 .对于任意两个向量&和人，下列命题中正确的是（）A.|a +i|2-Z?|B.+C.|a +/?|a|+|/?|D.|a-f e|,一 目,故A错误，对B,当a,人工0,且a,b反方向时，卜一目,+0,故B错误，对C,根据向量加法的平行四边形法则，得卜+0卜|+忖，故C正确，对D,根据向量减法的三角形法则，得一忖一恸，故D错误，故选：C.3 .在_ A B C中，若2 a c os B =c.则一ABC一 定 是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理进行边化角，结合两角和与差的正弦公式即可判断三角形形状.【详解】因 为 2acosB =c,由正弦定理得 2sin Acos8=sinC=sin(4+B)=sin Acos 8+sin 8cos A,所以 sin A cosB-sinB cosA =0,BP sin(A-B)=0,因为 A,3 (0,)，所以 A 8 e(兀,兀)，则 A-8 =0,即 A=3，故一 A BC为等腰三角形.故选：A.4.从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则中被选中的概率为()【答案】C【解析】【分析】用列举法得出甲、乙、丙、丁四人中随机选出2 人的事件数，从而可求甲被选中的概率.【详解】从甲、乙、丙、丁四人中随机选出2 人，包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁 6 种情况，3 1，甲被选中的概率为二=一.6 2故选：C.5.已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10,5,7,6,第五组的频率是0.2 0,则第六组的频率是()A.0.10 B.0.12 C.0.15 D.0.18【答案】A【解析】【分析】利用各组的频率之和等于1的性质即得.【详解】由已知条件可得第一组到第四组数据的频率分别为0.25,0.125,0.175,0.1 5,又这六组的频率之 和 是 1,因此，第六组的频率为 10.25 0.125 0.175 0.15 0.2()=0.1().故选：A.6.某市6 月 前 10天的空气质量指数为35,54,80,86,72,85,58,125,111,5 8,则这组数据的第70百分位数是（）A.86 B.85.5 C.85 D.84.5【答案】B【解析】【分析】按照百分位数的定义计算即可.【详解】1 0 x 0.7=7,故从小到大排列后，35,54,58,58,72,80,85,86,111,125,取第7 个数和8 个数的平均数得国 上 般=85.5，2故选：B.7.下列命题正确的是（）A.一条线段和不在这条线段上的一点确定一个平面B.两条不平行的直线确定一个平面C.三角形上不同的三个点确定一个平面D.圆上不同的三个点确定一个平面【答案】D【解析】【分析】根据平面的确定情况即可得到答案.【详解】对 A,若这个点位于这条线段所在的直线上，则无法确定一个平面，故 A 错误，对 B,若两条直线异面，则无法确定一个平面，故 B 错误；对 C,若三点位于一条直线上，则无法确定一个平面，故 C 错误；对 D,圆上不同的三点一定构成一个三角形，则可确定一个平面.故选：D.8.若 m ,是两条不同的直线，a,是两个不同平面，机u a ,则“a 尸”是“）A,充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由线线、面面关系以及充分、必要条件的概念即可得出结论.【详解】若 加，是两条不同的直线，a,是两个不同平面，m u a ,n u（3,则a4=加或加，异面；夕或平面a 与 平 面/相 交；故“a/p”是“m n”的既不充分也不必要条件.故选：D.9.设/是直线，a,/是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）A,若/a,/|/，则a#B.若/a,I。

则分C.若/，尸，a 1 0 ,则/a D,若/a,a_ L 则/，尸【答案】B【解析】【分析】根据线线关系、线面关系以及面面关系逐个判断各选项即可得出答案.【详解】/是直线，a,尸是两个不同平面，若/a,I（3,则a 尸或平面a 与平面相交，故 A 错误；若/a,1工则故B 正确；若/，a L 3 ,则/a 或/u a，故 C 错误；若/a,a J _ 4 则/与平面相交或人 或/u p,故 D 错误.故选:B.10.如图，在棱长为2 的正方体ABC一 4 A G中，点 E,G 分别是棱B C,C G，G的中点，点尸为底面A A C 2 上在意一点，若直线B P 与平面E F G 无公共点，则忸尸|的最小值是（）【答案】B【解析】【分析】由直线5q与平面EEG无公共点，知5尸/平面E E G,由平面64G 平面瓦6，知P点在AG上，利用三角形B A 为等边三角形可得忸P|的最小值.如图：连接C ,即,3G,4 G，由正方体性质可知：B A J/C D J/G F ,因G E u平面EFG,平面EFG,所以8 4 平面EEG,同理，B C J I E F,因EE u平面E F G,B q(2平面E F G,所以6 C/平面EEG,又班 B G =B ,BA U 平面 BAG,BCi u 平面 BA,C,所以平面BAG/平面E F G ,因直线BP与平面EEG无公共点，点P 底面4 4 G R上在意一点所以P点在4 G上，故忸“最小时，BPVA.C,因正方体ABC。

A 4G的棱长为2,所以三角形BAG为边长为2拉的等边三角形，4G 时，忸H=20 xsin6O=瓜故选：B第二部分（非 选 择 题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.1 1 .在复数范围内，方程f+2 =0的解为.【答案】J 5 i【解析】【分析】根据复数的运算性质即可得方程的根.【详解】在复数范围内，由方程/+2=0得一=一2,即x=&i故答案为：J 5 i.1 2 .已知一组数1,2,m,6,7的平均数为4,则 这 组 数 的 方 差 为.【答案】5【解析】【分析】先根据平均数计算出加的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差.【详 解】依 题 意 1 +2+7 6 +7=4,-=4 .所 以 方 差 为l r（l-4）2+（2-4）2+（4-4）2+（6-4）2+（7-4）2l =9 +4 +4 +9=竺.5 L5 5故答案为生.5【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.1 3.如图，正方形A 8 C的边长为2,P为 边 上 的 一 个 动 点，则尸A-P B的取值范围是.p C【答案】3,4【解析】【分析】以为原点，建立合适的直角坐标系，设尸（x,0）,0 x 厂的面积为定值；四棱锥F-A 344是正四棱锥.其中所有正确命题的序号是【答案】【解析】【分析】利用锥体 体积公式可判断，利用线面垂直的判定定理可判断，利用平行线的传递性及三角形面积公式可判断，利用正棱锥的定义可判断.详解】因为三棱锥4 48后体积为匕_4蝮=匕,-.=0,?0）满足回=5,且Z 3是纯虚数.（1）求z及LZ 若z?+a z+b =0（a,/?e R）,求n和的值.1 3 4 .【答案】（1）z-3+4 1）=-iz 25 25（2）。

6,b 25【解析】【分析】（1）根据复数的类型即可得到关于的方程，解出即可；（2）根据一元二次方程复数根的特点结合韦达定理即可.【小问1详解】z-3 =x-3+y i为纯虚数，：.x=3,忖=x2+V=5且 y 0,y=4,z=3 +4 i,1 1 （3-4 i）3 4 .z 3 +4 i （3 +4 i）（3-4 i）25 25,【小问2详解】由(1)知，方程z?+Rz +c =O 的一根为z=3 +4 i,则另一根为：z=3 4 i,解得：=25,a=6.1 7.已知a,z?是同一平面内的两个向量，其中1,2),且|Z?I=JG.(1)若d b，求b的坐标；(2)若|4+3=|一2切，求a 与b 夹角.【答案】(1)1 =(2,1)或万=(一2,1)(2)-3【解析】【分析】(1)设x,y),按照向量的坐标表示计算即可；(2)根据数量积与模、夹角的关系转化即可.【小 问 1 详解】设石=(x,y).因为上 b，c i=(1,2),所以力=0 即x +2y =0又因为|右，所以J f+y=6解之得x=2 时，丁 =-1 或 x=-2 时，y =i.所以 b=(2,l)或 6=(-2,1).【小问2 详解】记6与b夹角为e.因|“+。

一2所以(a +b)2=(a 26)2,则a?+人3=2+4 8 2-4匕，即2匕=8 2,a-hb2 1所以c osab 2|b 2TV又因为6 e 0,7 i ,所以6 =.1 8.为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查.随机抽取了 1 00户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：6 0,6 5),6 5,7 0),7 0,7 5),(2)求 这 1 00户居民问卷评分的中位数；(3)若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在 65,70)和 70,75)内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6 户居民中选取2 户进行专项调查，求这2 户居民中恰有1 户的评分在 65,70)内的概率.【答案】(1)0.0 28(2)77.5(3)1 5【解析】【分析】(1)根据己知条件，由频率分布直方图中各组矩形面积之和等于1,即可求出的值；(2)结合频率分布直方图的性质，以及中位数的定义，即可求解；(3)根据已知条件，结合分层抽样的定义，列举法，以及古典概型的概率公式，即可求解.【小 问 1 详解】由频率分布直方图可得，(0.0 1 +2 4+0.0 4+0.0 5+0.0 6)x 5=1 ,解得 a =0.0 2;【小问2详解】由频率分布直方图可得，(0.0 1 +0.0 2 +0.0 4)X 5=0.35 0.5则中位数在 75,8 0）之间，设 为x,则（x 75）x 0.0 6+0.35=0.5,解得%=77.5,故中位数为77.5分；【小问3详解】评 分 在 65,70）,70,75）对应的频率为0.1,0.2,从评分在 65,70）和 70,75）内的居民中共抽取6人，则评 分 在 65,70）占2人，设为a,b,评 分 在 70,75）占 4 人，A,B,C,D,从6人中选取2人的情况为：ab,aA,aB,aC,aD,bA,bB,hC,hD,AB,AC,AD,BC,BD,C D,共 1 5 种，其中这2人中 恰 有1人的评分在 65,70）的情况为:山，。

氏a C,“D,处，共8种，Q故 这2人中 恰 有1人的评分在 65,70）内的概率为：1 9.已知.中，/?si nB+c si nC =（-2 Z?si nC）si n A.（1）求A的大小；（2）若力是边A B的中点，且8 =2,求 匕+注c的取值范围，23兀【答案】（1）A-4（2）（2,2解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理得到si n A =c os 4,即可求出A；（2）设N A C ）=a，利用正弦定理表示出AO，A。