数论01五上05 整除.doc

五年级上学期 第五讲，数论问题第01讲整 除【内容概述】熟练掌握能被2、3、4、5、8、9、11整除的性质，并了解这些性质的来源．学会用筛选法找质数，发现一些和数论有关的问题．【典型问题】1. 【50501】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★）173□是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？2. 【50502】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★）如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？3. 【50503】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？4. 【50504】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少？5. 【50505】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数．问修改后的这个数是多少？6. 【50506】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？7. 【50507】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）已知四十一位数55…5□99…9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？8. 【50508】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除．这个六位数是多少？9. 【50509】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）将自然数1，2，3，… 依次写下去组成一个数：12345678910111213…．如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少？10. 【50510】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★50502）1至9这9个数字，按图4-1所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到两个数是193426857和758624391）．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？193426857图4-111. 【50511】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．l号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对．问： (1) 说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？ (2) 如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．12. 【50512】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★★）找出4个不同的正整数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除．如果要求这4个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这4个数里中间两个数的和是多少？13. 【50513】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）把若干个自然数1，2，3，…乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？14. 【50514】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）975´935´972´□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？15. 【50515】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）如图4-2，依次排列的5个数是13，12，15，25，20．它们每相邻的两个数相乘得4个数．这4个数每相邻的两个数相乘得3个数．这3个数每相邻的两个数相乘得2个数．这2个数相乘得1个数．请问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个零？1312154254204图4-216. 【50516】（郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲 ★）求从1001开始第100个不被11整除的数。

1110从1001开始，每11个数中有10个不能被11整除的数，前110个数中有100个不被11整除的数，故第100个数是1001+110-1=111017. 【50517】(郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲★)一个6位数，它的前3位组成的数加后3位组成的数的和是220，且它能被7整除，求满足条件的所有6位数条件表明前3位和后3位都介于100~120之间，且差能被7整除，并且奇偶性相同，故差只能是0或14最终检验得110110，117103，103117是满足条件的数18. 【50518】(郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲★)甲是一个两位数，将其个位与十位交换得到乙，丙为甲与乙之和，如果丙是一个数的平方，求甲设甲是，则乙是，丙为11×(a+b)；丙是完全平方数表明a+b也为11的倍数，从而a+b=11，甲可以是92，83，74，65，56，47，38，2919. 【50519】(郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲★★★)甲是一个两位数，将其个位与十位交换得到乙，设甲比乙大，丙是甲乙的差1） 如果丙是乙的，求甲；（2） 如果丙是乙的，求甲；（3） 如果“丁=”，则丁有多少个不同的值？设甲为=10a+b，乙=10b+a，丙=9（a-b），其中a>b。

1）（2）两问都可以由乙丙关系求出a，b的比值，得（1）中甲=51，（2）中甲=21，42，63，843）观察（1）（2）发现a和b的每一个比值对应一个丁，从而仅需计算a，b在小于10内的不同比值即可，共有27组20. 【50520】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★）求出最小的四位数，使得它是75的倍数，且各位数字互不相同127521. 【50521】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★）各位数字互不相同的11的倍数中，最小的那个是多少？13222. 【50522】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★）甲乙两人玩一个数学游戏，规则如下：他们从甲开始依次划掉九位数123456789中的一个数字，各划掉3个数字后剩下一个三位数，如果这个三位数是偶数或者25的倍数，那么甲将获胜，否则乙取得胜利甲乙谁将取得胜利呢？乙胜乙前两次划掉7和923. 【50523】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★★）请写出五个正整数，使得它们任何两个数的和都是其差的倍数12，14，15，16，18（答案不唯一）24. 【50524】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）（1）能否找到五个正整数（可以相同），使得其中的任意三个之数和都是另两个数之和的倍数。

2）能否找到五个互不相同的正整数，使得其中任意四个数之和都是剩下一个数的倍数1）可以例如：1，1，1，1，2即可，不妨设这5个数为，则、与都小于2，只能是1，所以，e＝a＋b，又由是整数可知a＝b2）可以例如1，2，3，6，1225. 【50525】（郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲★★）三位同学一起算一个式子，对连续的4个奇数求和，第一个同学说：“我算出来是2004；”第二个同学说：“我觉得是2005；”第三个同学说：“答案应该是2006”，请问哪些同学一定算错了？三位同学都算错了因为任意连续4个奇数的和都是8的倍数26. 【50526】(资坤, 五上第5讲整除，数论第1讲★★★)将1，2，3，…依次写下去组成一个数12345678910111213…如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被225整除，那么这个组成的数的各位数字之和是多少？1053225=25×9而能被25整除的数的末两位数能被25整除，于是我们只要考虑写到25，50，75，100，…的数，哪个的各位数字之和最先能被9整除即可试验知125是最小的27. 【50527】（郝挺，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）一个六位数：（1）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被9整除；（2）根据（1）的结果说明该六位数一定不能被72整除；（3）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被24整除；（4）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被55整除；（5）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被91整除；（1） 由已知要求需，即，且，因此（x，y）只能是如下组合（0，9）、（1，7）、（2，5）、（3，3）、（4，1）、（5，8）、（6，6）、（7，4）、（8，2）、（9，9）（2） 验证（1）中的11组结果，容易得到没有结果符合条件。

3） 欲使该6位数被24整除，则首先必须是偶数，且，即要求，这样的组合只可能如下（0，6）（1，4）（2，2）（3，0）（2，8）（3，6）（4，4）（5，2）（6，0）（5，8）（6，6）（7，4）（8，2）（9，0）（8，8）（9，6），又要求该六位数能被8整除，即要求3xy被8整除，这样可以得到只有（2，8），（3，6），（4，4），（5，2）（6，0）4） 为使能整除55，首先y只可能是0或者5，其次偶数位减奇数位整除11.因此即，这样组合仅有（8，5）一组5） 为使能整除91，则要求，，，即要求x+51=10x+y+27，由此得出（x，y）=（2，6）28. 【50528】（杨笑山，五上第5讲整除，数论第1讲 ★★★）如果把一个四位数的前面插入一个2，中间插入00，末尾添上7，变成，并且这个新的8位数还是11的倍数，那么就称这样的四位数为“2007的11数”那么“2008的11数”有几个？818个通过分析，可知四位数abcd必须是除以11余5的所以从1006到9993一共881个29. 【50529】（杨笑山，五上第5讲整除，数论第1讲 ★★）如果把一个四位数插入2007的中间，变成，并使得新的8位数是7的倍数，那么这样的四位数就称为“2007的7数”。

那么“2008的7数”数有多少个？1286个通过分析，四位数abcd应该正好是7的倍数就行所以，从1001到9996一共1286个30. 【50530】（杨笑山，五上第5讲整除，数论第1讲 ★★★）是否存在一个各位数字互不相同的数，使得它是999999的倍数？如果存在，请构造，如果不存在，请说明理由因为各位数字互不相同，至多是10位数根据999999的整除性，将该多位数从右往左六位断开后求和，这个和一定是999999通过分析这个加法竖式，可知其无进位所以一定会有两个数字9，出现重复££££££+££££99999931. 【50531】（王坤，五上第5讲整除，数论第1讲★★★）任意连续n个自然数的乘积都是8100的倍数，那么n最小是多少？108100是4，25以及81的倍数，任意连续10个自然数中必有两个2的倍数，两个5的倍数，三个3的倍数（其中有一个还是9的倍数）32. 【50532】（王坤，五上第5讲整除，。