套利与资产定价课件.pptx

1本章简述o在第3章中我们考虑的是一个特殊的证券市场结构，即Arrow-Debreu证券市场结构o本章从任意的市场结构出发，只作最少的假设，以探究最一般的结论由于证券市场的重要性以及证券价格在资源配置中所扮演的关键角色，我们将重点讨论证券价格的基本性质和基本的定价原理为之后的学习提供一个基础24.1一般市场结构oA 复合证券o在一般市场上绝大多数证券在不止一个状态下有支付这些证券有时也叫复合证券复合证券(composite security)，从概念上它们的支付都可以看成是由状态或有证券的组合产生的记n=1，N为市场中交易的证券，每一证券有支付向量为3o那么，证券市场的结构就由支付矩阵X给定：4oB 冗余证券o给定市场上的交易证券集合，它们的支付可能是相关联的比如，可能存在一只证券j，它的支付可以表示成其他证券支付的线性组合在这种情况下，支付矩阵X不是满秩的令 为剔除证券j后的支付矩阵，这里xn是证券n的支付向量很明显，由原来N只证券的组合所生成的任意支付也可以由剔除了证券j以后的N-1只证券组合产生5o令为所有N只证券组成的组合，而 是剔除j以后的N-1只证券的组合已经假设xj是由其他x的线性组合。

因此存在 使得 也就是说，用其他证券的支付可以复制证券j的支付现在考虑由任意生成的支付括号里面的是由剔除j后的N-1只证券生成的组合因此没有它我们也可以生成相同的支付所以证券j也称做冗余证券冗余证券(redundant security)6oC 证券市场的不同描述方式o在我们对市场结构X的描述中可以只包括具有线性独立支付的证券这就意味着X当中的证券数目不会超过因为X是满秩的（t它的N列是独立的），它的秩必须是N和中最小者：rank（X）=minN，=N给定具有线性独立支付矩阵X的证券集合，我们可以形成N个线性独立的组合记为1，N此时我们可以把组合当作一个证券组合当成一个证券它的支付矩阵是7o令H1，N，则H为（N*N）矩阵因为各组合（即H的列向量）之间是独立的，H满秩的由于rank(AB)minrank(A),rank(B),rank()rank(XH)rank(X)，于是，rank(XH)=rank(X)=N因而X也是满秩的，为N用这些组合作为基本单元，可以生成这些组合的组合特别的，可用这些组合来复制原始证券它的逆矩阵为8o那么 ，这样我们就复制出了原始证券同样容易证明原证券的任意组合都能这样复制：我们可以做出如下总结：如果不存在摩擦，独立组合1，N提供 了一个市场的等价描述。

9oD 生成o现在考虑rank(X)=N=的特殊情形那么X就是一个秩为的可逆矩阵这样就能复合证券复制所有的Arrow-Debreu证券即状态或有证券考虑一个复合证券的组合的支付向量是X定义1为1的列向量,其第个元素为1,其他均为0.为了复制状态或有证券的支付,必须有 当X可逆时,我们只要选择o定理4.1 当且仅当具有独立支付的证券数等于状态数时证券市场是完全的在这种情况下，我们称经济中的不确定性可以由市场中的证券生成（生成（span）104.2套利o记证券的价格向量为S=S1;SN，支付矩阵为X把从X到S的映射称做资产定价关系资产定价关系(assert pricing relation)或资产定价模型资产定价模型(assert pricing model)考虑一个交易证券的组合，=1，N它在0期的价值为 ，在1期的支付向量为X证券或组合可能在未来某一状态带来负的支付负的未来支付也叫做责任责任(liability)称未来支付非负，即X0的组合具有有限责任有限责任(limited liability)11o定义4.1 将满足下列条件的组合称做套利套利(arbitrage)或套利机会套利机会(arbitrage opportunity)：(1)0 (2)X0 (3)至少有一个不等式严格成立。

上面定义的套利可以分为三种类型：o第1类套利：0且X=0o第2类套利：=0且X0o第3类套利：012o第1类套利允许参与者获得收益而不承担任何未来责任第1类套利的一个主要特征就是它的支付没有任何不确定性第2类套利中，组合的初始投资为0却得到正的未来支付初始投资为0的组合也叫做套利组合套利组合(arbitrage portfolio)第3类套利由第1类套利和第2类套利结合而成例子见P5413o上面定义的套利只依赖于交易证券的支付和价格，而又假定所有参与者都知道这些支付和价格这意味着：第一：套利不依赖任何私有信息特别地，套利依赖于证券在每一状态下的支付，但不依赖每一状态发生的可能，而私有信息一般是相对于后者第二，如果存在套利机会的话所有人都可以利用这些套利机会(在无摩擦的假设下)144.3无套利原理o定理4.2在市场均衡中不存在套利机会证明：令ck,k=1,K为均衡配置，S为交易证券的均衡价格，X为支付矩阵假设市场中存在套利机会考虑一个参与者k的套利交易这不需要额外资源却可将他的消费提高到为 由不满足公理，因此，对于参与者k来说ck不是最优的这与均衡条件矛盾15o上面的讨论说明无套利只依赖于不满足公理，这是对参与者偏好很弱的一个假设。

实际上，它并不要求所有参与者都是不满足的，只要求一些或至少一个它不依赖于经济的其他特征由于这个原因，我们把它作为金融学的一个一般原理16o定义4.2 无套利原理（Principle of No-arbitrage）：证券市场中不存在套利机会作为证券价格和支付的基本性质，无套利原理对证券价格和支付之间的关系或资产定价关系做出了限制从上面讨论中不存在市场套利机会依赖于两个假设：一是(至少部分)市场参与者的不满足性，二是市场无摩擦174.4资产定价基本定理o如前所述，资产定价关系或模型指的是从证券的支付X到其价格S的映射可以写成S=V(X)(4.1)其中，V(.)常称为定价算子定价算子(pricing operator)或估价算子估价算子(valuation operator)无套利原理赋予了定价算子一些基本性质18o定理4.3(一价定律一价定律)两个具有相同支付的证券(或组合)的价格必定相同也就是，如果x=y，则V(x)=V(y)(4.2)一价定律的一个推论是，未来支付为0的证券或证券组合的价格为0：V(0)=0定理4.4 支付为正的证券或证券组合的价格为正即：如果x0,则V(x)0 (4.3)定理4.5 给定两只证券1和2，如果证券1的支付总是大于证券2的，那么证券1的价格必高于证券2的价格。

即：如果x1x2，则V(x1)V(x2)(4.4)19o定理4.6 在一个无摩擦市场中，定价算子是递增的线性算子也就是说，对于任意a，bR以及具有支付x，y和z=ax+by的3只证券，V(ax+by)=aV(x)+bV(y)(4.5)这就是说V(.)是线性算子，且V(0)=0.因此 定理4.6意味着资产定价算子具有如下形式：V(x)=Tx 其中，是一个(1)的正向量20o定理4.7(资产定价基本定理，资产定价基本定理，Fundamental theorem of Asset prcing)证券市场中不存在套利机会的充要条件为存在0使得 S=(Tx)T (4.6)证明：充分性是显而易见的必要性由Stiemke引理可以推出引理4.1(Stiemke引理)令X为一mn矩阵，m和n是任意的正整数，R n且，S R n当且仅当0并满足S=(Tx)T，集合:-S T;X 0是空集见P58例题21o定理4.8 在一个完全证券市场中，状态价格向量是唯一的证明：令S为只交易证券的价格向量，为由它们来复制状态或有证券的组合那么，状态的状态价格由 唯一给定三、资产定价基本定理三、资产定价基本定理 经济中不存在套利机会的充分必要条件是：存在一个每经济中不存在套利机会的充分必要条件是：存在一个每一分量都为正值的一分量都为正值的S维向量维向量 ，使得，使得成立，或者：成立，或者：通常，满足上式的通常，满足上式的 可能不是唯一的，但在可能不是唯一的，但在N=S，市场，市场完备的情况下，满足上式的完备的情况下，满足上式的 必然是唯一的，而且等于状必然是唯一的，而且等于状态价格态价格 。

这里，状态价格这里，状态价格 是指在状态是指在状态s发生情况下，发生情况下，增加一单位消费的边际成本增加一单位消费的边际成本风险资产定价风险资产定价 假设经济中存在唯一的一种风险资产的目前价格为假设经济中存在唯一的一种风险资产的目前价格为 ，期末的收益支付可能为期末的收益支付可能为 ，即未来的收益支付有两种，即未来的收益支付有两种可能的状态；经济中存在的一个无风险资产，无风险资产可能的状态；经济中存在的一个无风险资产，无风险资产当前的价格为当前的价格为1，收益率为，收益率为r，则这两种资产的收益矩阵，则这两种资产的收益矩阵为：为：利用资产定价基本定理，在无套利情况下，存在利用资产定价基本定理，在无套利情况下，存在使得使得 成立，或者成立，或者 定义：定义：由于由于 ，由上式定义的，由上式定义的 满足一般的概率条件：满足一般的概率条件：从而，我们可以将从而，我们可以将 解释为状态解释为状态s出现的出现的“概率概率”，因为，因为，上述第二个等式左边乘以（上述第二个等式左边乘以（1+r）/（1+r）后可变为：）后可变为：由于由于1/（1+r）是无风险贴现因子，上式的一种）是无风险贴现因子，上式的一种解释为：风险资产现在的价格等于其未来解释为：风险资产现在的价格等于其未来“平均价格平均价格”（按（按上面定义的上面定义的“概率概率”计算）的贴现值。

计算）的贴现值这里这里 事实上并不是状态事实上并不是状态s发生的真实概率或者投资者发生的真实概率或者投资者估计的主观概率，仅仅是按前述定义给定的概率估计的主观概率，仅仅是按前述定义给定的概率以上述这种方式定义的以上述这种方式定义的 为状态为状态s的风险中性概率的风险中性概率（risk neutral probabilities）利用风险中性概）利用风险中性概率，风险资产的当前价格可以通过计算其未来的期望收率，风险资产的当前价格可以通过计算其未来的期望收益，再以无风险利率进行贴现得到益，再以无风险利率进行贴现得到上述分析可以推广到一般情形只要经济中存在无风险上述分析可以推广到一般情形只要经济中存在无风险资产，将其记为资产资产，将其记为资产1，记余下的风险资产分别为，记余下的风险资产分别为2，N，初始价格分别为，初始价格分别为 在无套利条件下，存在在无套利条件下，存在 ，使得，使得风险中性概率定义为：风险中性概率定义为：按风险中性概率计算的每一种风险资产的期望收益率按风险中性概率计算的每一种风险资产的期望收益率都相同：都相同：相应地，我们可将风险资产的价格表述为相应地，我们可将风险资产的价格表述为 该公式称为风险中性定价公式，这里，该公式称为风险中性定价公式，这里，称为风险中性称为风险中性测度或均衡价格测度。

它表明，风险资产的价格是测度或均衡价格测度它表明，风险资产的价格是它在风险中性测度它在风险中性测度下的期望收益对无风险利率的折现下的期望收益对无风险利率的折现因此，资产定价基本定理可表述为：因此，资产定价基本定理可表述为：如果存在一个每一分量均为正值的状态价格或均衡价如果存在一个每一分量均为正值的状态价格或均衡价格测度向量，使得风险资产的价格是它在均衡价格测度下格测度向量，使得风险资产的价格是它在均衡价格测度下的期望收益对无风险利率的折现值，则市场上不存在套利的期望收益对无风险利率的折现值，则市场上不存在套利机会324.5风险中性定价和鞅o由资产定价基本定理，存在一个严格为正的状态向量可对所有交易证券定价包括无风险债券因此 o定义1单位无风险证券投资获得的净支付或收益率收益率(rate of return)，也称做无风险利率风险利率(interest r。