圆锥曲线专题复习与训练(金典大题训练带答案56页).doc

精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 圆锥曲线专题复习与训练常用性质归纳、解题方法探寻、典型例题剖析、高考真题演练【高考命题特点】圆锥曲线是历年高考的重点内容，常作为高考数学卷的压轴题1. 从命题形式上看，以解答题为主，难度较大2. 从命题内容上看，主要考查求圆锥曲线的标准方程、求动点的轨迹方程、根据方程求最值、求参数的取值范围、证明定点、定值、探索存在性等3. 从能力要求上看，主要考查数学思想方法（如数形结合、分类讨论等）的运用能力分析问题和解决问题的能力及运算能力一、圆锥曲线的常用性质1.椭圆知识盘点一．椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（　　　）的点的轨迹叫做椭圆，用符号表示为　　　　　　　　　　这两个定点叫椭圆的　　　　，两个焦点之间的距离叫做椭圆的　　　注：当2a=时，点的轨迹是线段；当2a<时，点无轨迹. 二．椭圆的简单几何性质 椭圆定义到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹图形焦点在x轴上焦点在y轴上方程标准方程参数方程范围─a£x£a，─b£y£b─a£x£a，─b£y£b中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点A1（－a,0），A2(a,0)B1(0,─b)，B2(0,b)A1（0，－a），A2(0，a)B1(─b，0)，B2(b，0)对称轴关于x,y轴成轴对称关于原点成中心对称关于x,y轴成轴对称关于原点成中心对称焦点F1(c,0), F2(─c,0)F1(0,c), F2(0，─c)焦距2c （其中c=）2c （其中c=）长轴短轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b　　　长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b　离心率通径三．椭圆的性质：椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF1|+|PF2|=2a(第一定义)，（2）椭圆上的点到左焦点的距离最小值:，椭圆上的点到左焦点的距离最大值: ；（3）椭圆上过焦点的弦长中长轴最长，通经最短；（4）斜率为定值的动直线与椭圆所截的弦中过椭圆中心的弦长最长；（对称性）（5）在焦点三角形PF1F2中，①顶角∠PF1F2的大小当点P与短轴顶点重合时最大；②，当越大S越大，所以当点P与短轴顶点重合时焦点三角形PF1F2的面积最大；③设顶角∠PF1F2=θ，则（椭圆的定义及余弦定理推导）④椭圆的离心率与焦点三角形PF1F2的内角的关系： （正弦定理推导）（6）离心率e＝＝(0＜e＜1) ，确定椭圆的形状：越大椭圆越扁，越小椭圆越圆.θ（7）点在椭圆内，则，点在椭圆外，则；［特别提醒］1．涉及到直线与椭圆的位置关系问题时，要注意判别式及韦达定理的运用。

2．直线与椭圆相交时的弦的中点与斜率的问题时可利用点差法，设点而不求3．弦长公式2. 关于椭圆的补充性质（常在解题中遇到）：① 经过焦点或的椭圆的弦，当轴时，最短，且 ② 过焦点的直线交椭圆于P、Q两点，点M是轴上一定点，则当轴时，的面积最大 ③ 设右（左）准线与轴交于点E，过E点的直线与椭圆交于P,，Q两点，点与点P关于轴对称，则直线一定过椭圆的右（左）焦点F一般地，设P、Q是椭圆上两动点，直线PQ交轴于点，点与点P关于轴对称，直线交轴于点，则为定值④ 设点P是椭圆右（左）准线上任一点（不在轴上），是椭圆的左、右顶点，直线, 与椭圆分别交于两点，则直线一定过椭圆的右（左）焦点 反之，过椭圆右（左）焦点F的直线交椭圆于两点，则直线的交点P在椭圆的右（左）准线上 ⑤ 设是椭圆的左、右顶点，是椭圆的上、下顶点，P是椭圆上异于顶点的任一点，则为定值 一般地，设过椭圆中心的直线交椭圆于M、N两点，P是椭圆上异于M、N的任一点，则为定值⑥ 存在以坐标原点为圆心的圆，使得圆的任一切线与椭圆交于P, Q两点，满足，且圆的方程为；反之，若，则点到直线PQ的距离为定值. 当时，|PQ|取得最大值；当或轴时，|PQ|取得最小值。

⑦ 设ABCD是椭圆的内接矩形，则矩形ABCD的最大面积为.⑧已知点P在椭圆上，设，则焦点三角形的面积3.双曲线知识盘点一．双曲线的定义：我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于　　）的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为　　　　　　　　　　这两个定点叫双曲线的　　　　，两个焦点之间的距离叫做双曲线的　　　注意：当2﹤2时，轨迹是双曲线；当2＝2时，轨迹是两条射线；当2﹥2时，轨迹不存在二．双曲线的几何性质椭圆定义到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(2a<|F1F2|)的点的轨迹图形焦点在x轴上焦点在y轴上yOA1F1A2F2xyOB1F1B2F2x方程范围或或中心原点O（0，0）顶点A1（－a,0），A2(a,0)B1(0，─b)，B2(0，b)对称轴关于x,y轴成轴对称关于原点成中心对称焦点F1(─c,0), F2(c,0)F1(0,c), F2(0，─c)焦距2c （其中c=）实轴虚轴实轴A1A2的长为2a虚轴B1B2的长为2b　离心率通径渐近线三．双曲线的性质：（1）双曲线参数的几何意义：在Rt△OAB（如图），它的三边长分别是a、b、c.易见c2=a2+b2，若记∠AOB=θ，则e==.（2） 定义： ||MF1|－|MF2||=2a，其中2a＜|F1F2|，注意： 当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.（3）双曲线上到左（右）焦点的距离最小值的点是左（右）顶点: ，（4）双曲线上过焦点的弦中，端点在同一支上时通经最短，端点在两支上时实轴最短。

5）双曲线的焦点到准线的距离为b；（6）在焦点三角形PF1F2中，①设顶角∠PF1F2=θ，则（双曲线的定义及余弦定理推导）②双曲线的离心率与焦点三角形PF1F2的内角的关系： （正弦定理推导）（7）双曲线的e>1，e越大，渐近线的斜率的绝对值就越大，它的开口就越阔.（8）点在双曲线内，则，点在双曲线外，则；（9）等轴双曲线：1) 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. （a=b）2）性质：①渐近线方程为：；②渐近线互相垂直；③离心率.④等轴双曲线可以设为：当时交点在x轴，当时焦点在y轴上 （10）共轭双曲线:  1)定义：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线.2）区别：三量a,b,c中a,b互换，c相同.共用一对渐近线.确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1.（11）渐近线：给定了双曲线方程－=1，令－=0就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程．共渐近线的双曲线系：若已知渐近线方程是±=0，则可把双曲线方程表示为－=（≠0），再根据已知条件确定的值，求出双曲线的方程.4. 双曲线的补充性质（在解双曲线问题时常遇到）：① 平行于渐近线（斜率为）的任一条直线与双曲线有唯一交点.②若斜率为k的直线与双曲线的两支各交于一点，则，若直线只与双曲线的同一支相交于两点，则。

在的前提下，反之也成立）.③双曲线上任一点到两条渐近线的距离的乘积为定值..④ 当焦点弦轴时，，是同一支上所有焦点弦中的最短者⑤在焦点三角形中，设，则焦点三角形的面积⑥设P是双曲线右（左）支上任一点，则的内切圆与x轴的切点为双曲线的右（左）顶点⑦双曲线和称为共轭双曲线共轭双曲线的性质：⑴渐近线相同 ； ⑵ 5.抛物线知识盘点一．抛物线的概念抛物线：平面内与一个定点和一条定直线的 的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的 ，定直线叫做抛物线的 .二．抛物线的标准方程及几何性质标准方程 图 形lyFxlyFxlyFxlyFx范 围对称轴轴轴顶点坐标原点O(0,0)原点O(0,0)焦点坐标准线方程离心率焦半径焦点弦的长度三．抛物线的性质（1）抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;抛物线的离心率是确定的e=1;抛物线标准方程中的p影响抛物线的开口:P越大,开口越开阔（成比例地放大）（2)抛物线的通径：抛物线的过焦点垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通径. 抛物线通径长为2P.（3）点P（x0、y0）在抛物线y2=2px内部的充要条件是y02<2px0（4) 抛物线的焦点弦问题：过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设A，B，直线AB的倾斜角为。

②P是其上任意一点，则③=或④，，而且.⑥以AB为直径的圆与准线相切，切点为A、B在准线上射影、的中点M⑦以为直径的圆过焦点6. 抛物线的常用性质（常在解题中遇到）：抛物线的补充性质： ⑴ 设A、B是抛物线上两动点，且满足，（O为坐标原点），则直线AB经过轴上的定点反之，也成立⑵ 设抛物线的准线交轴于点E，过E点的直线交抛物线于A,B两点，是点A关于轴的对称点，则直线过抛物线的焦点F.⑶ 过轴上的定点的直线与抛物线) 交于两点，则 （定值）⑷（抛物线的切线） 设 是抛物线上两动点，分别过A、B两点作抛物线的切线相交于点，则有： ① 切线的方程分别为： ② 切线的交点坐标为：， 即 ③ 直线AB的斜率为： ④ 若直线AB与轴交于点，则二、圆锥曲线常见题型及解题思路方法1. 求圆锥曲线的标准方程 先判断焦点的位置，设出相应圆锥曲线的方程，再根据已知条件和圆锥曲线的性质列方程（组）（如求椭圆方程，就是根据条件和性质列出关于a、b、c的方程组），求出待定参数在解方程（组）求a，b时，要注意考题中经常出现的几种方程的形式，对于复杂的方程（组），常常是观察——猜想——验证，得出a，b的值。

2. 求椭圆（或双曲线）的离心率或离心率的取值范围 求离心率就是根据条件和圆锥曲线的性质，寻找a、b、c之间的等量关系，求出的值在椭圆中，有：；在双曲线中，有：能求出，也就求得了离心率在双曲线中，还要注意渐近线与离心率的关系 求离心率的取值范围就是根据条件和圆锥曲线的性质寻找a、b、c之间的不等关系关于不等式的来源，通常是依据已知不等式，同时还要注意圆锥曲线中 几个常用的不等关系：①圆锥曲线上点的坐标的范围；②在椭圆中，有，（其中B为短轴的。