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耦合模理论的推导公式作者:日期:耦合模理论耦合模理论(C OU p 1 ed-Mode Theo r y,C MT )是研究两个或多个电磁波模式间耦合的一般规律的理论 CM T可用于非接触电能传输( C o ntac tl e ss Power Tra n sfer,CPT )系统的计算，以降低多线圈耦合电路计算的复杂性为了用 CMT来估算线圈间的能量传输效率,首先用电路原理(C i r cu i t Theor y, CT)的思想解决两个线圈的能量传输效率问题 ，然后通过C MT得出两个线圈感应连接的能量传输效率方程， 将两个方程对比后发现可以变换为一套相同的公式随后分析 3个线圈、4个线圈、一直到n -1个线圈都可以变换为同一套公式,最后将此方法推广到在同一平面的 n个负载线圈的效率求解1单负载的电路分析1 .1电路分析图1社负截线圈的CPT折扑结构在图1中磁共振系统的逆变和整流部分可以得到高频的交流电 ，U是逆变后的交流电源,R为原副边的内阻，R l是负载，耦合系数 K M h. L1L2 ,其中M为L1和L2的互感系统 最佳的工作频率就是谐振点 ，由集总参数的能量守恒原理可以得到L11C1I1MI 2R Rl1C2j MI1MUI 22 Rl(Rl X2)X 1(3)j L1CiPCT UI 1|22RlUI 12M 2Rl ((Rl X2)X1 2M 2)(Rl X 2)(4)1 1在谐振状态下‘ oLi ―, 0L2 —，Xi RX R，从而得到2 2CT2M2Rl2 2((Rl R)R M )(Rl R)1. 2 C MT分析CPT系统中，常常只涉及稳态分析，在此也仅分析稳态特性。

主线圈的幅值在正弦时为个常数；同理，次线圈的幅值也是一个常数 ，两个时间域线圈ai(t), a2(t)的原始储能可分别表示为 ai(t) $, a2(t)—由 c mt 可得ai(t) (j i)ai(t) jK i2a2(t) Fs(t) (6)a』t) (j 2 1)a2(t) jK 12 a1 (t) (7)在上述公式中， 1, 2, L分别为原线圈的损耗、负载线圈的损耗和负载的吸收功率 ，心2为两个线圈的耦合率，Fs(t)为励磁损耗(忽略不计)CMT中，a1(t)A1e J 1a2(t)A2e都是正弦信号I .2 2 2P1 2 1A1，P2 2 2 A2和Pl 2 L A2分别为原线圈、副线圈和负载的功率由能量守恒定律可得2 LA2222 22 1A12 2A22 L A2PlCMT P1 P2 PljK1212 L--，QljK12L2由方程(6)和(7 )可得—A2Rl，Q1L1 L2 亠，Q2 将两者R R之间关系 L ，1 ，2 以及K122Ql 2Q1 2Q2代入式(8 )，解得LK122CMT (L 2)(( L 2)1 K 122M 2Rl2 2((Rl R)R 2M 2)( Rl R)2K2L1L2Rl2 2((Rl R)R K L1L2)(Rl R)与式(5)对比可知，两种方法求出的传输效率的表达式相同。

2两个负载电路的传输效率分析2.1电路分析R\图2两个负載线惓|的CPT折扑结构对于图2电路，M 2和M 3为L1分别与L2和L3的互感,RL3为线圈3所带的负载,K2和K3分别为两个负载线圈的耦合系数•同理可得L1j M2I2 j M 313(10)RL2L2M2I1(11)RL3L3M3I1(12)在谐振状态下的传输效率为CT U|1|22RL2 IUI13 Rl32M2 222RL2(R RL3)22M 32 Rl3(R RL2)2G1(R Rl2)(R Rl3)(13)式中：G1 (RRl2)( R Rl3)"M22(R Rl3) 2M 32(R Rl2) •2.2 CMT分析3个线圈的CMT分析和两个线圈的CMT分析方法类似，如下所示:a®(j1)a*t) jK 12a2(t)Fs(t)(14)a2(t)(j2+ L2)a2(t)jK12a(t)(15)a«t)(j3+ L3) a3(t)jK13a1(t)(16)同理可得L 3 L1jK13 ，Q R，QMQL2rL2r?q上,QL3rL 3-•同时有关RL3系式L2 L32Ql2‘2Ql32Qi2 2Q23 2Q3,Kl2d,Ki3 亠•从而2 2解得CMTPL2 PL3Pl P 2 P3 PL2 PL32 L2|A2『2 7a?2 2 ~a222 3 A32L3 A3： _ _ _2 L2| A2 2 2 L3 A322 2 22M22RL2(R Rl3)22m2 232Rl3(R Rl2)2G2(R RL2)(R RL3)(1 7)式中：G2 R(R Rl2)(R Rl3) 2M 22(R Rl3)2M 32(RRL2)•解出的结果与式(13)相同•用C T方法和CMT方法能够得到相同的效率公式.3 3个负载电路的传输效率分析图3 3个负载纟戈圈的(:PT拓扑结构对于图3中3个负载电路的拓扑结构，用同样的方法能够证明用集总参数分析方法和C MT求传输效率是相同的•P |22RL2 I 32RL3 I 42 RL4CT ( 18)UI 1 UI 1PL2 PL3 PL4CMT (19)Pl P2 P3 P4 PL2 PL3 PL4令(R(R RL2)(R Rl3)(R RL4) 2M 22(R Rl3)(R RL4) 2M 32(R RL2)(R RL4)2M42(R RL2)(R RL3))(R RL2)(R RL3)(R RL4)1 2M 22Rl2(R Rl3)2(R RL4)2 2M32Rl3(R Rl2)2(R RL4)22M32Rl3(R Rl2)2(R Rl3)2 ,求得传输效率公式为CMT (20)4 n -1个负载电路的传输效率分析用集总参数分析图R Az图4 n- I个负载线圈的匚PT拓扑结构4拓扑结构，图4有n-1个负载线圈，有n个方程，分别为j L1 — I1C1j M2I2j MnIn(21)RLi j Li1Ci|i jMI(i 2,..., n)(2 2 )解上述n个方程，并将Ii, I2,...,|代入2 2 2I 2 RL2 I 3 RL3 …+ |n RLnCT UI 12 2 —Mi RLi式中： 2nj 2(R RLj) Rnj 2(R RLj)22,ji(R RLj)(2 3)2 n 2 ni2Mi j2,ji(RRLj)用CMT方法分析图4的拓扑结构图，同样忽略励磁效应，由前面的方法可得*t) (j 1 1)a1(t) jK 1232(t)…jKman(t) Fs(t)(2 4 )d2(t) (j i i+ Li)ai(t)jKiiai(t) (i 2,…，n)(2 5 )将以上各变量代换，得到ni2P^CMTn nPi PLii 1 i 2ni12/「A2i Ai(2 6)A1 i Li将条件 ，QlA2 jK1i古,QiRLiLiRLi2Qli2Qi,Kii—代入式(2 6 ),忽2CMT能得到同样的结果略两个负载之间的耦合现象及原线圈的励磁后，用集总参数和。