2023年平面解析几何知识点总结归纳全面汇总归纳与训练.pdf

学习必备 欢迎下载 苏教版必修 2 第 2 章 平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180, 0[, 90斜率不存在. （2）直线的斜率：tan),(211212kxxxxyyk．（111(,)P x y、222(,)P xy）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11xxkyy ( 直线l过点),(111yxP，且斜率为k)． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0xx ． （2）斜截式：bkxy (b 为直线l在 y 轴上的截距). （3）两点式：121121xxxxyyyy (12yy，12xx). 注：① 不能表示与x轴和y轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112xxyyyyxx时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1byax （ba,分别为x轴y轴上的截距，且0, 0 ba） ． 注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0CByAx (其中 A、B 不同时为 0)． 一般式化为斜截式：BCxBAy，即，直线的斜率：BAk． 注： （1）已知直线纵截距b，常设其方程为ykxb或0x ． 已知直线横截距0x，常设其方程为0xmyx(直线斜率 k存在时，m为 k的倒数)或0y ． 已知直线过点00(,)xy，常设其方程为00()yk xxy或0xx． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为 0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．直线的斜率为1或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．直线的斜率为 1 或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．直线的斜率为1或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:lyk xb，222:lyk xb ① 212121,//bbkkll； ② 12121llk k  . （2）若0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl，有 ① 1221122121//CACABABAll且．② 0212121BBAAll． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y、222(,)P xy) ，22122121)()(yyxxPP．x轴上两点间距离：ABxxAB． 线段21PP的中点是),(00yxM，则22210210yyyxxx ． 6．点到直线的距离公式： 学习必备 欢迎下载 点),(00yxP到直线0CByAxl：的距离：2200BACByAxd． 7．两平行直线间的距离： 两条平行直线002211CByAxlCByAxl：，：距离：2221BACCd． 8．直线系方程： （1）平行直线系方程： ① 直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程． ． ② 与直线:0l AxByC 平行的直线可表示为10AxByC． ③ 过点00(,)P xy与直线:0l AxByC 平行的直线可表示为：00()()0A xxB yy． （2）垂直直线系方程： ① 与直线:0l AxByC 垂直的直线可表示为10BxAyC． ② 过点00(,)P xy与直线:0l AxByC 垂直的直线可表示为：00()()0B xxA yy． （3）定点直线系方程： ① 经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()yyk xx( 除直线0xx), 其中k是待定的系数． ② 经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()()0A xxB yy, 其中,A B是待定的系数． （4）共点直线系方程：经过两直线0022221111CyBxAlCyBxAl：，：交点的直线系方程为0)(222111CyBxACyBxA ( 除2l) ，其中λ是待定的系数． 9．曲线1:( , )0Cf x y 与2:( , )0Cg x y 的交点坐标方程组( , )0( , )0f x yg x y的解． 10．圆的方程： （1）圆的标准方程：222)()(rbyax（0r） ． （2）圆的一般方程：) 04( 02222FEDFEyDxyx． （3）圆的直径式方程： 若),(),(2211yxByxA，， 以线段AB为直径的圆的方程是：0))(())((2121yyyyxxxx． 注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(ED，FEDr42122． （2）一般方程的特点： ① 2x和2y的系数相同且不为零；② 没有xy项； ③ 0422FED （3）二元二次方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的等价条件是： ① 0 CA； ② 0B； ③ 0422AFED． 11．圆的弦长的求法： （1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r， 则： “半弦长2+弦心距2=半径2”——222)2(rdl； （2）代数法：设l的斜率为k，l与圆交点分别为),(),(2211yxByxA，，则||11||1||22BABAyykxxkAB （其中|| |,|2121yyxx的求法是将直线和圆的方程联立消去y或x，利用韦达定理求解） 12．点与圆的位置关系：点),(00yxP与圆222)()(rbyax的位置关系有三种 ①P在在圆外22020)()(rbyaxrd． ②P在在圆内22020)()(rbyaxrd． ③P在在圆上22020)()(rbyaxrd． 【P到圆心距离2200()()daxby 】 13．直线与圆的位置关系： 直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种(22BACBbAad): 圆心到直线距离为d，由直线和圆联立方程组消去x（或y）后，所得一元二次方程的判别式为． 斜率不存在直线的斜率直线方程的五种形式点斜式直线过点且斜率为注式分别为轴轴上的截距且注不能表示与轴垂直的直线也不能表示与轴垂斜率存在时为的倒数或常设其方程为已知直线过点解析几何中究两条直学习必备 欢迎下载 0相离rd；0相切rd；0相交rd． 14．两圆位置关系 : 设两圆圆心分别为21,OO，半径分别为21,rr，dOO21 条公切线外离421rrd； 无公切线内含 21rrd； 条公切线外切321rrd；条公切线内切121rrd； 条公切线相交22121rrdrr． 15．圆系方程：) 04( 02222FEDFEyDxyx （1）过点11(,)A x y,22(,)B xy的圆系方程： 1212112112()()()()[()()()()]0xxxxyyyyxxyyyyxx 1212()()()()()0xxxxyyyyaxbyc , 其中0axbyc 是直线AB的方程． （2）过直线0CByAxl：与圆C:022FEyDxyx的交点的圆系方程：0)(22CByAxFEyDxyx, λ是待定的系数． （3）过圆1C:011122FyExDyx与圆2C:022222FyExDyx的交点的圆系方程：0)(2222211122FyExDyxFyExDyx, λ是待定的系数． 特别地，当1 时，2222111222()0xyD xE yFxyD xE yF 就是 121212()()()0DDxEEyFF表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线． 16．圆的切线方程： （1）过圆222ryx上的点),(00yxP的切线方程为:200ryyxx． （2） 过圆222)()(rbyax上的点),(00yxP的切线方程为:200))(())((rbybyaxax ． （3）过圆220xyDxEyF 上的点),(00yxP的切线方程为: 0000()()022D xxE yyx xy yF ． (4) 若 P(0x,0y) 是圆222xyr外一点, 由 P(0x,0y) 向圆引两条切线, 切点分别为 A,B 则直线 AB的方程为200xxyyr (5) 若 P(0x,0y) 是圆222()()xaybr外一点, 由 P(0x,0y) 向圆引两条切线, 切点分别为A,B 则直线 AB的方程为200()()()()xaxaybybr  （6）当点),(00yxP在圆外时，可设切方程为)(00xxkyy，利用圆心到直线距离等于半径， 即rd ， 求出k； 或利用0， 求出k． 若求得k只有一值， 则还有一条斜率不存在的直线0xx ． 17．把两圆011122FyExDyx与022222FyExDyx方程相减 即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121FFyEExDD ． 18．空间两点间的距离公式: 若A111(,,)x y z，B222(,,)xyz，则AB222212121()()()xxyyzz 19．对称问题： （1）中心对称： ① 点关于点对称：点),(11yxA关于),(00yxM的对称点)2 ,2(1010yyxxA． ② 直线关于点对称： 法 1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程． 法 2：求出一个对称点，在利用21//ll由点斜式得出直线方程． （2）轴对称： ① 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上． 斜率不存在直线的斜率直线方程的五种形式点斜式直线过点且斜率为注式分别为轴轴上的截距且注不能表示与轴垂直的直线也不能表示与轴垂斜率存在时为的倒数或常设其方程为已知直线过点解析几何中究两条直学习必备 欢迎下载 点 AA、关于直线l对称上中点在⊥lAAlAA 方程中点坐标满足·lAAkklAA 1 ． ② 直线关于直线对称： （设ba,关于l对称） 法 1：若ba,相交，求出交点坐标，并在直线a上任取一点，求该点关于直线l的对称点． 若la //，则lb//，且ba,与l的距离相等． 法 2：求出a上两个点BA,关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程． （3）点( a, b) 关于 x 轴对称：( a,- b) 、关于 y 轴对称：(-a, b) 、关于原点对称：(-a,- b) 、 点( a, b) 关于直线 y=x 对称：( b, a) 、关于 y=- x 对称：(-b,- a) 、 关于 y = x +m 对称：( b -m、a +m) 、关于 y=-x+m 对称：(-b+m、- a+m) ． 20．若),(),(),(332211yxCyxByxA，，，则△ABC 的重心 G 的坐标是33321321yyyxxx，． 21．各种角的范围： （1）两个向量的夹角 1800 （2）直线的倾斜角 1800 两条相交直线的夹角 900 （3）两条异面线所成的角 900 直线与平面所成的角 900 斜线与平面所成的角 900 二面角 1800 一、选择题 1．(文)(2010· 山东潍坊)若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x－3y＝0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是( ) A．(x－3)2＋y－732＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x－322＋(y－1)2＝1 (理)(2010· 厦门三中阶段训练)以双曲线x26－y23＝1 的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( ) A．x2＋y2－2 3x＋2＝0 B．(x－3)2＋y2＝9 C．x2＋y2＋2 3x＋2＝0 D．(x－3)2＋y2＝3 2．已知两点 A(－1,0)，B(0,2)，点 P 是圆(x－1)2＋y2＝1 上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( ) A．2，12(4－ 5) B.12(4＋ 5)，12(4－ 5) C. 5，4－ 5 D.12( 5＋2)，12( 5－2) 3．(文)(2010· 延边州质检)已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1 上一点 P 到直线 3x－4y－3＝0 距离为 d，则 d 的最小值为( ) A．1 B.45 C.25 D．2 斜率不存在直线的斜率直线方程的五种形式点斜式直线过点且斜率为注式分别为轴轴上的截距且注不能表示与轴垂直的直线也不能表示与轴垂斜率存在时为的倒数或常设其方程为已知直线过点解析几何中究两条直学习必备 欢迎下载 (理)(2010· 安徽合肥六中)已知圆 C 的方程为 x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，当圆心 C 到直线 kx＋y＋4＝0 的距离最大时，k 的值为( ) A.13 B.15 C．－13 D．－15 4．方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示的圆的充要条件是( ) A.141 C．m<14 D．m<14或 m>1 5．(2010· 北京海淀区)已知动圆 C 经过点 F(0,1)，并且与直线 y＝－1 相切，若直线 3x－4y＋20＝0 与圆 C有公共点，则圆 C 的面积( ) A．有最大值 π B．有最小值 π C．有最大值 4π D．有最小值 4π 6．(文)已知 a≠b ，且 a2sinθ ＋acosθ －π4＝0，b2sinθ ＋bcosθ －π4＝0，则连结(a，a2)，(b，b2)两点的直线与单位圆的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 7．(2010· 吉林省质检)圆 x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0 关于直线 y＝x＋2b 成轴对称图形，则 a－b 的取值范围是( ) A．(－∞ ，4) B．(－∞ ，0) C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞) 9．(文)已知不等式组 x≥0y≥0x＋2y－4≤0表示的平面区域恰好被面积最小的圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 及其内部所覆盖，则圆 C 的方程为( ) A．(x－1)2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋(y－1)2＝8 C．(x－4)2＋(y －1)2＝6 D．(x－2)2＋(y－1)2＝5 10．(文)(2010· 烟台诊断)已知圆 C 的圆心为 C(m,0) ，m<3，半径为 5，圆 C 与椭圆 E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)有一个公共点 A(3,1)，F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点． (1)求圆 C 的标准方程； (2)若点 P 的坐标为(4,4)，试探究斜率为 k 的直线 PF1 与圆 C 能否相切，若能，求出椭圆 E 和直线 PF1 的方程；若不能，请说明理由． 斜率不存在直线的斜率直线方程的五种形式点斜式直线过点且斜率为注式分别为轴轴上的截距且注不能表示与轴垂直的直线也不能表示与轴垂斜率存在时为的倒数或常设其方程为已知直线过点解析几何中究两条直学习必备 欢迎下载 11．(文)设 O 点为坐标原点，曲线 x2＋y2＋2x－6y＋1＝0 上有两点 P、Q 关于直线 x＋my＋4＝0 对称，且OP→· OQ→＝0. (1)求 m 的值； (2)求直线 PQ 的方程． 斜率不存在直线的斜率直线方程的五种形式点斜式直线过点且斜率为注式分别为轴轴上的截距且注不能表示与轴垂直的直线也不能表示与轴垂斜率存在时为的倒数或常设其方程为已知直线过点解析几何中究两条直。