数列与函数例题分析.doc

第第 26 课课 数列与函数数列与函数●●考试目标考试目标 主词填空主词填空 1.函数的定义域常要推导或计算才能确定，而数列的定义域都是已知的，是事先确定的，要么是 集合{1，2，3，…，n}.要么是{1，2，3，…，n，…}. 2.函数的值域须依其定义域推算确定，数列的值域也是计算所得：且为{a1，a2，…，an}或 {a1，a2，a3，…，an，…}. 3.函数的图像最常见的是连续不断的曲线(若是分段函数则在每一段上是连续不断的曲线)，而数 列对应的点(n，an)描绘出来的图形是一些“孤零零的点” ，不是线状图形. 4.函数的单调性考察，须在其定义域内任取 x1，x2，不妨设 x110.故 n∈{11，12，13，…}. 【【解后归纳解后归纳】】 考察数列{an}的单调性，关键是看 anan+1)成立与否. 【【例例 2】】 判断并证明函数 f(x)=-(x∈N*)的单调性. 1xx【【解前点津解前点津】】 化函数 f(x)为再比较 f(x+1)与 f(x)的大小.)1(1xx【【规范解答规范解答】】 证明：f(x)= >0(x∈N*),故=0，a≠1)，nan xy log设 y3=18，y6=12. (1)数列{yn}的前多少项和最大?最大值为多少? (2)试判断是否存在自然数 M，使得 n>M 时，xn>1 恒成立，若存在，求出相应的 M；若不存在， 请说明理由.(3)令 an=logxn+1(n>13，n∈N*),试比较 an与 an+1的大小. nx【【解前点津解前点津】】 通过计算 yn+1-yn，考察{yn}的属性，才能计算其前 n 项和.【【规范解答规范解答】】 (1)yn=2logaxn，yn+1=2logaxn+1yn+1-yn=2logaxn+1-2logaxn=2loga，∵{xn}为等比nn xx1数列，∴为定值，∴{yn}为等差数列，又 y6-y3=3d=12-18，∴d=-2.y1=y3-2d=22，∴Sn=22n+nn xx1(-2)=-n2+23n，∴当 n=11 或 n=12 时，Sn取最大值 132.2) 1( nn(2)已知 yn=22+(n-1)·(-2)=2logaxn，∴xn=a12-n，又 xn=a12-n>1 恒成立，∴当 a>1 时，12- n>0，n12. ∴当 0M 时，xn>1 恒成立.(3)an=log==1+，已知 an在(13，+∞)上是减函数，∴an>an+1.1nnx xnn aan an a 1211 loglog1211121 n【【解后归纳解后归纳】】 存在性问题，常从计算，假设存在推导入手，值得注意的是：①假设应与条件背 景相符合，②对结果进行检验.●●对应训练对应训练 分阶提升分阶提升 一、基础夯实 1.数列{an}是公差不为 0 的等差数列，且 a7、a10、a15是等比数列{bn}的连续三项，若等比数列 {bn}的首项 b1=3，则 b2等于 ( )A. B.5 C.2 D.524 592.在数列{an}中，an=n2-22n+10，则满足 am=an(m≠n)的等式有 ( ) A.8 个 B.9 个 C.10 个 D.11 个3.已知 an=sin+cos，则无穷数列{an}中 ( )n1 n1A.有最大项无最小项 B.有最小项无最大项 C.既有最大项又有最小项 D.既无最大项又无最小项4.设 an=cos()，则数列{an} ( )nn1A.单调递增 B.单调递减 C.先递增后递减 D.先递减后递增 5.设 an=an+bn 且 a1=1，a2=5，则 a4 ( ) A.71 B.72 C.73 D.74 6.设数列{xn}，{yn}满足递推关系式组：xn+xnyn=1-n+n2-n3及 yn+xnyn=2n2-n3，则以下结论正确的是 ( ) A.{xn}是递增数列，{yn}是递减数列 B.{xn}是递减数列，{yn}是递增数列 C.{xn}与{yn}都是递增数列 D.{xn}与{yn}都是递减数列7.设 an=log (4n-2n+5+259)，则在无穷数列{an}中，必有 ( )31A.最大项是-1 B.最小项是-1 C.最大项是 1 D.最小项是 18.已知正项无穷数列{xn}，{yn}满足递推关系：2xn-yn=n，3x -y =3n2-1,则的值2 n2 nnlimnnnn yxnyx222为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.29.若无穷数列各项和为 S，则 log2S 的值为 ( )  n31A.1 B.-1 C. D.21 3110.无穷数列{logm(n2-2n+8)}中的最大项是-1，则 m∈ ( )A.(1，+∞) B.(0，) C.(，1) D.71 71  71二、思维激活 11.在数列{an}中，若 a1=1，an+1=n+an，则 a2004= .12.数列中最大项的值是 .   6tann13.已知数列{an}各项为非负实数，且满足：+a =1，则此数列各项之和为 .252n2 n14.已知数列{an}中，an=1+x+2x2+3x3+…+nxn.则此数列前 4 项之和是 . 三、能力提高15.已知函数 f(x)=a·bx的图像过点 A(1，)和 B(2，).81 21(1)求函数 f(x)的解析式； (2)记 an=log2f(n)，n 是正整数，Sn是数列{an}的前 n 项和，求 S30.16.已知一次函数 f(x)的图像关于直线 x-y=0 对称的图像为 C.且 f［f(1)］=-1，若点(n，)nn aa1(n∈N*)在曲线 C 上并有 a1=1，-=1 (n≥2).nn aa11nn aa(1)求 f(x)的解析式及曲线 C 的方程； (2)求数列{an}的通项公式；(3)设 Sn=+++…+，求：Sn之值. ! 31a ! 42a ! 53a )!2( nannlim17.设 f(x)=sinx，x∈R，求 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2004)之值.618.在数列{an}中，an+1+an=3n-54 (n∈N*). (1)若 a1+20=0，求通项 an； (2)设 Sn为{an}的前 n 项和，证明：当 a1+27>0 时，存在自然数 m，使得当 n=m 时，和|an+1+an|都 取得最小值，并求此时 m 的值.第第 5 课课 数列与函数习题解答数列与函数习题解答1.B ∵a=a7·a15，∴(a1+9d)2=(a1+6d)·(a1+14d)a1=-d公比 q===，2 1023710 aa dada 6911  35∴b2=3×=5.352.C an=(n-11)2-111，函数 y=(x-11)2-111 的对称轴 x=11 其对称点有 10 对.3.A an=sin(+)，故 a1>a2>a3>…>an>…. 2n1 44.A an=cos是递增. nn115.C 其中 an=3n-2n. 6.B 解关于 xn，yn的二元方程组得：xn=1-n，yn=n2. 7.A 注意到 f(n)=4n-2n+5+259=(2n-24)2+3≥3.即 n=4 时有最小值 3. 8.D 解关于 xn及 yn的二元二次方程组得：xn=2n-1，yn=3n-2.9.B ∵S==故为-1. 3113 2110.D 令 an=logm(n2-2n+8)，则 a1=logm7=-1m=.7111.由 an+1-an=n(ak+1-ak)=kan-a1=(n-1)，∴an=1+，11nk11nk2n 2) 1( nn∴a2004=1+2003×1002=2007007. 12.这是一个周期数列.当 n=1 时值为，当 n=2 时值为，n=3 时无意义，故此数列只两项.33313.∵n∈{1，2，3，4，5}.∴此数列只有 5 项，且点(n，an)在椭圆上.∵an=，2512n∴a1+a2+a3+a4+a5=+++=+++25112541259125161524 521 516 59=(7+2).51216 14.由条件知：a1=1+x，a2=1+x+2x2，a3=1+x+2x2+3x3，a4=1+x+2x2+3x3+4x4故其前 4 项之和是 a1+a2+a3+a4=4+4x+6x2+6x3+4x4.15.由题意得 ab=且 ab2=a=，b=4f(x)= .81 21321324x(2)an=log2f(n)=log2f(n)=log2=2n-5(n∈N*)，∵an+1-an=2(n∈N*)，故{an}是公差为 2 的等差数列，324x且 a1=-3，由 Sn=n(a1+an)S30=×30×(-3+2×30-5)=780. 212116.(1)设 f(x)=kx+b(k≠0)，则 f［f(1)］=k(k+b)+b=-1 即 k2+kb+b+1=0，又 f -1(x)== -是曲线kbx  kx kbC 的解析式，∵点(n，)在曲线 C 上，∴f -1(n)-f -1(n-1)=-=1，又 f -1(n)-f -1(n-1)= nn aa1nn aa11nn aa=，故 k=1 代入 k2+kb+b+1=0 得 b=-1，∴f(x)=x-1f -1(x)=x+1，∴曲线 C 为：x- knn) 1(  k1y+1=0.(2)由(1)知当 x=n 时，f -1(x)=n+1，故=n+1，而 a1=1 于是··…=2·3·4…n，nn aa112 aa23 aa34 aa1nn aa即 an=n!.(3)，∴Sn=-Sn=.21 11 )!2(! )!2(nnnn nan 21 21 n nlim2117.f(1)=的正弦=，f(2)=sin=，f(3)=sin=1，f(4)=sin=，f(5)=sinπ=，f(6)6 21 3 23 2 32 23 65 21=0，f(7)=-，f(8)=- ，f(9)=-1，f(10)=-，f(11)=- ，f(12)=0。