习-题---西北大学精品课程建设网
4页1、习 题2.1 试给出一个半群,它含有左幺元和右零元,但它不是含幺半群。2.2 给定代数系统U=,其中二元运算*定义如下:1)x*y=minx,y2)x*y=maxx,y对每种情况,U是否为半群?是否为含幺半群?2.3 设是半群,取定aS,在S中定义新的二元运算 为x y=x*a*y试确定是否为半群。2.4 给定半群。试证,对S中任意元素a,b和c,若a*c=c*a和b*c=c*b,则(a*b)*c=c*(a*b)。2.5 给定交换半群U=。试证,若a和b是U中的等幂元,则a*b也是U中的等幂元。2.6 给定代数系统U=,R是实数集合,a,bR,定义*运算如下:a*b=a+b+ab试证明 是含幺半群2.7 给定代数系统U=,其中S=a,b,Ss是S中所有映射的集合,而o是映射的合成。U是否为含幺半群?是否为可交换含幺半群?2.8 给定代数系统U=,其中S=a,b,c,d,运算表为* a b c da a b c db b c d ac c d a bd d a b c1) 试证U是一个循环含幺半群。2) 试求U的所有生成元和等幂元。2.9 试证,每个有限半群都有等幂元。2.10 给定代数
2、系统U=,其中S=a,b,c,d,运算表为* a b c da c b a db b b b bc a b c dd d b d d1) U是否为循环含幺半群?2) 试求U的生成集合。2.11 给定字母表V=a,b,设S是所有以a开始的有限字符串且包含空串 的集合,o是字符串的邻接运算。试证是含幺半群。2.12 给定两个含幺半群U=和V=其中X是任意集合, 和是通常集合的交和并。试求U和V的零元。2.13 设Z是半群U的左零元。试证,对S中任意元素x,x*z也是半群U的左零元。2.14 给定两个半群U=和V=,f: ST是U到V的同构。试证,若z是U的零元,则f(z)是V的零元。2.15 设a是半群U=中的一个元素,对U中任意元素x和y,要是a*x=a*y(x*a=y*a),就有x=y,则称在U中a是左(右)可约的。试证,在U中若元素a和b都是左(右)可约的,则a*b也是左(右)可约的。2.16 试证,含幺半群的左(右)可逆元素的集合,能构成一个子含幺半群。2.17 试求含幺半群U的所有子半群。并举出U的一个子半群,它是含幺半群,但不是U的子含幺半群。2.18 给定含幺半群U=,其中是
3、通常数的乘法。试证:是U的子半群,但不是子含幺半群。算*分别定义如下:1) S=1,3,4,5,9,*是模11乘法。2) S=Q,*是通常数的加法,3) S=Q,*是通常数的乘法。4) S=I,*是通常数的减法,5) S=a,b,c,d,运算表为* a b c da b d a cb d c b ac a b c dd c a d b6) S=a,b,c,d,运算表为* a b c da a b c db b a d cc c d a ad d c b b对每种情况,试确定U是否为群,若U是群,则指出它的幺元和每个元素的逆元。2.20 设U=是一个具有幺元e的群,试证,若G的任意元素a都有a2=e(或a-1=a),则U必是交换群。2.21 试证,若是交换群,而n是任意整数,则对于G的任意元素a和b,必有(a*b)n=an*bn。2.22 给定群U=。试证,U是交换群当且仅当对G中任意元素a和b,有a2*b2=(a*b)2。2.23 给定群U=。试证,若对G中任意元素a和b,有a3*b3=(a*b)3 a4*b4=(a*b)4 a5*b5=(a*b)5则U是交换群。2.24 给定两个群U
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