中考高分的十八个关节 关节3 函数知识的三个支点
15页1、苏科版数学网 免费提供优秀苏科版初中数学教案、课件和试卷。关节三函数知识的三个支点函数是“数与代数”部分最重要的内容之一,它在实际问题及综合性问题中都有着极为广泛的应用,而且在以后的数学乃至其他学科的学习中,也都发挥着基础性与工具性的作用。那么,怎样才算较好地掌握了函数知识呢?从一道简单的数学题说起。题目:若满足不等式组 那么,代数式最大值和最小值分别是多少?简解:由所给的不等式组解得又 可将其中,看作是一段抛物线,该抛物线的对称轴为且开口向上,可知原式在时有最大值,21,在时有最小值15。 析评:以上解法的思考基础可分为三层:第一层,认识到这是个求函数最值的问题;第二层,求得这个函数的标准表示式为第三层,用二次函数的性质解决原来的问题。由此可以看出:把未指明的函数总题恰当地归为函数问题。再定出其表达式,进而应用函数的性质解决问题,正是掌握与运用函数知识的三大支点。函数知识的三个支点:一、明意义:指总能在需要的情况下恰如其分地将问题归结为函数,即形成“函数思想”;二、定表达式;三、用性质:指恰当地运用函数的性质解决相应的问题。一、明意义1、函数“明意义”的基本体现对函数相关的问题,能
2、够从以下两个方面来观察、认识和把握:能从“总体感知”和“具体对应方式”两个视角来认识与考虑问题;能从“整体过程”和某些“特殊值的对应情况”来认识与考虑问题;例1 如图所示:边长分别为1和2的两个正方形,其一边在同一水平纸上,小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形,设穿过的时间为,大正方形内除去小正方形部分的面积为(阴影部分),那么与的函数图象大致应为( )ABCD减至433定值4增值 【观察与思考】“总体感知”:大正方形的面积为4,小正方形的面积为1,在小正方形平移的整个过程中阴影部分面积变化的过程是解:选A。GCDEFH 例2 已知:如图(1),点G是BC的中点,点H在AF上,动点P以每秒的速度沿图(1)的边线运动,运动路径为:相应的的面积关于运动时间的函数图象如图(2),若则下列四个结论中正确的个数有( )A、 图(1)中的BC边长是8 B、 图(2)中的M点表示第4秒时的值为2424712NMC、 图(1)中的CD长是4, D、 图(2)中的N点表示第12秒时的值为18ABGCEFDH(2) (1)A、 1个 B、2个 C、 3个 D、 4个GCDEFH 【观察与思考】若把点
3、 P由对应的图象分别记为第段、第段、第段、第段、第段,则从图(1)和图(2)的对应情况可知:(1)由的两端点横坐标,知由G到C运动2秒,可得GD=4,即BC=8;(2)M点的纵坐标等于 (3)图象两端点横坐标为2和4,可知;(4)由的两端点横坐标为4和7,知DE=6,而EF=ABCD=2,可知的右端点的横坐标为8,再由的两端点横坐标为8和12,推得FH=8,从而所以,N点的纵坐标等于解:应选D。 【说明】对函数“明意义”,就要善于从自变量与函数值的对应关系入手,从原背景、关系式、图象三者的统一来认识和解决问题。2、“明意义”的更高体现 对于函数意义的掌握,不仅是指对给定的函数能从恰当的角度对其进行研究,更为重要的是遇到具体问题时,能够而且善于把函数作为研究与解决的工具,即确立了这样的意识: 凡是涉及变化的量之间的对应关系的问题,就要想到用函数来研究和解决,这才是“明意义”的更高体现,才是“函数思想”深刻与强烈的表现。例3 在五环图案内,分别填写五个数,如图,其中,是三个连续24657偶数是两个连续奇数,且满足例如请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图: 【观察与思考】可以看作
4、一个函数问题,因为:设表示的三个连续偶数为表示的两个连续奇数为均为整数)。则有,得,只需和都是整数,如此一来,满足要求的、有无穷多对(只需取偶数即可)。如(这就得到题目中所举的例);而使五个数均在0和20之间的,除例子之外,就只有这两种情况了.1012214217219268101113 解: 或 例4 如图,四边形ABCD为边长等于4的菱形,点M为边AD上一点,点N为边DC上一点,且AM=DN. (1)当AM=DN=3时,求的面积.ABCDMN (2)是否存在点M和点N,使的面积等于?若存在,请指出点M和点N的位置;若不存在,请说明理由。 【观察与思考】问题(1)和问题(2)都涉及到的面积和AM(相应地DN)之间的对应关系,而的面积和AM的值具有函数关系,因此如果把它们之间的函数关系搞清楚了,问题(1)、(2)就可迎刃而解了。解:菱形的长为4,菱形的高为。设AM的长为的面积为S。则 (1)当时,由S与的函数关系式得(2)由S与的函数关系得。这说明的面积最小值为,因此不存在点M,N使正是函数意识我们看到问题(1)、(2)的共同基础,并借助函数将问题顺利而明快地解决。 由以上诸可知: 时
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