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GM(1_1)模型,灰色预测

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1、小额贷款远程智能预警系统人数预测算法的设计一、灰色系统的引入：灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述.灰色系统模型的特点：对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。目前，灰色系统已经成为社会、经济、科教、技术等很多领域进行预测、决策、评估、规划、控制、系统分析和建模的重要方法之一。特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的建模与分析，具有独特的功效。灰色模型的优点（一）不需要大量的样本。（二）样本不需要有规律性分布。（三）计算工作量小。（四）定量分析结果与定性分析结果不会不一致。（五）可用于近期、短期，和中长期预测。（六）灰色预测精准度高。二、 GM（1,1）模型（grey model一阶一个变量的灰微分方程模型）灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。同时，灰色理论建立的是生成数据模

2、型，不是原始数据模型。因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。 GM（1,1）的具体模型计算式设非负原始序列对作一次累加 ;k=1,2,n得到生成数列为于是的GM（1,1）白化微分方程为(11)其中a,u为待定参数，将上式离散化，即得（12）其中为在（k+1）时刻的累减生成序列，（13）为在（k+1）时刻的背景值（即该时刻对应的x的取值）（14）将（13）和（14）带入（12）得（15）将（15）式展开得（16）令，为待辨识参数向量，则（16）可以写成（17）参数向量可用最小二乘法求取，即（18）把求取的参数带入（216）式，并求出其离散解为（19）还原到原始数据得（110）（19）、（110）式称为GM（1,1）模型的时间相应函数模型，它是GM（1,1）模型灰色预测的具体计算公式。建立灰色预测模型的一般步骤第一步：级比检验，建模可行性分析。第二步：数据变换处理。第三步：用GM(1,1)建模。第四步：模型检验。三、灰建模事例北方某城市1986-1992年交通噪声平均声级数据序号年份Leq1198671.1 2198772.4 3198

3、872.4 4198972.1 5199071.4 6199172.0 7199271.6 表：某城市近年来交通噪声数据dB(A)第一步：级比检验，建模可行性分析。1、建立交通噪声平均声级数据时间序列：2、求级比：3、级比判断：由于所有的，（k=2,3,7），故可以用作满意的GM（1,1）建模。（注：由此处可见，当样本数量增加时，GM模型能够接受的相邻两个样本的变化范围变小，正常情况上公司每天的上班人数基本恒定，因此可以在样本数量的选择和可能的变换范围之间作一个平衡：n取20时，允许的变化范围大致为（0.91 , 1.1）；n取40时，允许的变化范围大致是（0.95 ，1.05）在进行预测时，只要使用最新的n组数据即可）第二步：用GM（1,1）建模1、对原始数据作一次累加：（k=1,2,7）得： =（71.1，143.5，215.9, 288, 359.4, 431.4, 503）2、构造数据矩阵B以及数据向量Y：于是可以得，3、用最小二乘法估计求参数列于是可以得到，4、建立模型解得时间响应序列为 =5、求生成数列值及模型还原值；令k=1,2,6带入时间响应函数即可得到

4、其中取由，得到还原值 =（71.1, 72.4, 72.2, 72.1, 71.9, 71.7, 71.6）第三步：模型的误差分析序号年份Leq原始值Leq模型值残差相对误差1198671.1 71.1002198772.4 72.4003198872.4 72.20.20.28%4198972.1 72.1005199071.4 71.9-0.50.70%6199172.0 71.70.30.42%7199271.6 71.600由此可见，该模型精确度较高，可以进行预报及预测。备注：灰色模型的创建者邓聚龙已经证明，只需要4个数据就可以建立GM（1，1）模型经典GM（1,1）模型要求发展系数|a|2，且a的值越接近0，预测的结果越精确。这一点对于预测公司每日上班人数等变化不大的数据无疑是有利的。樊肇楠2013.04.246.2.1.2模型建立步骤（1）级比检验，建模可行性分析。（2）数据变换处理（3）用GM（1,1）建模设非负原始序列对作一次累加 ;k=1,2,n 得到生成数列为于是的GM（1,1）白化微分方程为(11) 其中a,u为待定参数，将上式离散化，即得（12）其中为在（k+1）时刻的累减生成序列，（13）为在（k+1）时刻的背景值（即该时刻对应的x的取值）（14）将（13）和（14）带入（12）得（15）将（15）式展开得（16）令，为待辨识参数向量，则（16）可以写成（17）参数向量可用最小二乘法求取为（18）把求取的参数带入（216）式，并求出其离散解为（19）还原到原始数据得（110）（19）、（110）式称为GM（1,1）模型的时间相应函数模型，它是GM（1,1）模型灰色预测的具体计算公式。（4）预测模型精度检验通过求得模型的相对误差，关联度，均方差比，小误差概率与灰色预测精度检验等级表（见表11）进行对比，只有通过检验的模型才能使用。

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