(经典)讲义:等比数列及其前n项和
11页1、(经典)讲义:等比数列及其前n项和1等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1,公比为q,则它的通项ana1qn1.3等比中项若G2ab(ab0),那么G叫做a与b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:anamqnm,(n,mN)(2)若an为等比数列,且klmn(k,l,m,nN),则akalaman.(3)若an,bn(项数相同)是等比数列,则an(0),a,anbn,仍是等比数列(4)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等比数列,其公比为qn.5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,当q1时,Snna1;当q1时,Sn.【注意】6.利用错位相减法推导等比数列的前n项和:Sna1a1qa1q2a1qn1,同乘q得:qSna1qa1q2a1q3a1qn,两式相减得(1q)Sna1a1qn,Sn(q1) 7.1由an1qan,q0并不能立即断言an为
2、等比数列,还要验证a10.7.2在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q1与q1分类讨论,防止因忽略q1这一特殊情形导致解题失误8.等比数列的判断方法有:(1)定义法:若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2且nN*),则an是等比数列(2)中项公式法:在数列an中,an0且aanan2(nN*),则数列an是等比数列(3)通项公式法:若数列通项公式可写成ancqn(c,q均是不为0的常数,nN*),则an是等比数列一、知识梳理1.等比数列前项和公式(1)探索导引: 求和说明:对于等比数列的前项和公式:从方程观点看:由等比数列的前项和公式及通项公式可知,若已知中的三个即可建立方程组求其余两个,即“知三求二”.在运用等比数列的前项和公式时,一定要注意讨论公比是否为1.2. 与前项和有关的等比数列的性质(1)若等比数列中,公比为,依次项和成公比为的等比数列.(2)若等比数列的公比为,且项数为,则.探索导引: 等比数列中,已知,求,并考虑等式是否成立? 说明:利用性质(1)可以快速的求出某些和.但在运用此性质时,要注意是成等比数列,而不是成等比数列.二、方法(一)等差数列前项和公式的
3、应用理解例题1:在等比数列中,(1)已知求;(2)已知求;(3)已知求和;(4)已知求;分析:在等比数列中有五个重要量只要已知任意三个,就可以求出其他两个.其中和两个最重要的量,通常要先求出和.解:(1) .(2),(3) , (4) (2)(1)得 或 当时,当时,知识体验:已知等比数列的五个量中的任意三个求其他两个时,要用等比数列的通项公式以其及前项和公式.(二)与等差数列前项和有关的性质的应用理解例题2:等比数列中,求.分析: 在有关等比数列的问题中, 均可化成有关、的关系列方程求解.本题中注意下标的关系,可考虑用等差数列前项和的有关性质来简化运算.解法一: 由,可知(若) 解得, 解法二: 成等比数列 知识体验: 在学习了等比数列前项和的有关性质后,我们用其来求解有关等差数列的前项和问题.方法提炼:求解该类问题一般有两种方法:可化成有关、的关系列方程组求解.可利用等比数列中连续等段和成等比的性质即性质(1)求解.三、 例题(一) 题型分类全析1等比数列前项和公式的基本运算例1:在等比数列的中:求公比,及. 思路直现:由已知两个条件,可建立关于的方程组,分别解出的值,代入即可求出
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